2.3.4 平面向量共线的坐标表示
课后篇巩固探究
1.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于( )
A.-1 B.-2 C.-1或3 D.0或-2
解析由已知得-(2m+3)+m2=0,
∴m=-1或m=3.
答案C
2.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是 ( )
A.a-c与b共线 B.b+c与a共线
C.a与b-c共线 D.a+b与c共线
解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).
∴b-c=12a.∴a与b-c共线.
答案C
3.已知a=(-2,1-cos θ),b=1+cosθ,-14,且a∥b,则锐角θ等于( )
A.45° B.30°
C.60° D.30°或60°
解析由a∥b,得-2×-14=1-cos2θ=sin2θ,
∵θ为锐角,∴sin θ=22.∴θ=45°.
答案A
4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则mn等于( )
A.-2 B.2 C.-12 D.12
解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),
所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).
因为a-2b与非零向量ma+nb共线,
所以2m-n4=3m+2n-1,解得14m=-7n,mn=-12.
答案C
5.已知点A(3,1),B(0,0),C(3,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设BC=λCE,则λ等于( )
A.2 B.12 C.-3 D.-13
解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,
∴|EC|=1tan60°=33.
∵BC=λCE,λ<0,∴|λ|=|BC||CE|=333=3.
∴λ=-3.
答案C
6.(2018全国Ⅲ高考)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .?
解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),
由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12.
答案12
7.已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)∥(a-b),则实数t= .?
解析根据题意,a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2),
∵(a+b)∥(a-b),∴(1+t)×(-2)-(1-t)×0=0,解得t=-1,故答案为-1.
答案-1
8.已知OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n= .?
解析 AB=OB?OA=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),
BC=OC?OB
=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).
因为A,B,C共线,
所以AB与BC共线,
所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ①
又m=2n, ②
解①②组成的方程组得
m=6,n=3或m=3,n=32.
所以m+n=9或m+n=92.
答案9或92
9.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
解(1)由题意,得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),
所以-m+4n=3,2m+n=2,得m=59,n=89.
(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.
∴k=-1613.
10.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x的值,使向量AB与CD共线;
(2)当向量AB与CD共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?
解(1)AB=(x,1),CD=(4,x).
∵AB∥CD,∴x2=4,x=±2.
(2)由已知得BC=(2-2x,x-1),
当x=2时,BC=(-2,1),AB=(2,1),
∴AB和BC不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.
当x=-2时,BC=(6,-3),AB=(-2,1),
∴AB∥BC,此时A,B,C三点共线.
又AB∥CD,
∴A,B,C,D四点在一条直线上.
综上,当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.
11.如图,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
解因为OC=14OA=14(0,5)=0,54,所以C0,54.
因为OD=12OB=12(4,3)=2,32,
所以D2,32.
设M(x,y),则AM=(x,y-5),CM=x,y-54,CB=4,74,AD=2,32-(0,5)=2,-72.
因为AM∥AD,所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. ①
因为CM∥CB,
所以74x-4y-54=0,即7x-16y=-20. ②
联立①②,解得x=127,y=2,故点M的坐标为127,2.
课件24张PPT。2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示
1.共线向量定理:若a是非零向量,则a与b共线,当且仅当存在唯一实数λ,使得b=λa.如果向量a与b都用坐标表示,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么根据数乘向量的坐标运算法则,你能发现a与b的坐标之间的关系吗?
提示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a与b共线,则x1y2=x2y1.
2.填空:平面向量共线的坐标表示3.做一做:
(1)下列各组向量中,共线的是( )
A.a=(1,2),b=(4,2)
B.a=(1,0),b=(0,2)
C.a=(0,-2),b=(0,2)
D.a=(-3,2),b=(-6,-4)
(2)若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x= .?
解析(1)C选项中,b=-a,所以a与b共线,其余各组向量均不共线;
(2)因为两个向量共线,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6.
答案(1)C (2)-6自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ 探究一探究二探究三思想方法共线向量的判断与证明 探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法反思感悟 探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法根据向量共线求参数值
例2已知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3),若向量2a+b与向量3a-2b共线,求实数x的值.
分析首先求出向量2a+b与向量3a-2b的坐标,然后根据共线的坐标表示建立方程求解.
解因为a=(-1,x),b=(x-2,-3),
所以2a+b=(x-4,2x-3),3a-2b=(-2x+1,3x+6).
因为向量2a+b与向量3a-2b共线,
所以(x-4)(3x+6)=(2x-3)(-2x+1),
整理得x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.
故实数x的值是3或-1.探究一探究二探究三思想方法反思感悟根据向量共线求参数值的方法
根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用向量共线定理a=λb列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0或 (y1y2≠0)直接求解.探究一探究二探究三思想方法延伸探究本例中,若已知“向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向”,如何求实数x的值?
解法一由题意可知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)共线,则有(-1)×(-3)=x(x-2),即x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.
当x=3时,a=(-1,3),b=(1,-3),这时a=-b,a与b反向;当x=-1时,a=(-1,-1),b=(-3,-3),这时3a=b,a与b同向,故实数x的值为3.
解法二因为向量a=(-1,x)与b=(x-2,-3)反向,所以设a=λb(λ<0),即(-1,x)=λ(x-2,-3),探究一探究二探究三思想方法利用共线向量证明三点共线 探究一探究二探究三思想方法反思感悟 三点共线的实质与证明步骤
(1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.
(2)证明步骤:利用向量平行证明三点共线需分两步完成:
①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.探究一探究二探究三思想方法答案C 探究一探究二探究三思想方法利用共线向量解决几何问题
典例 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.
【审题视角】(1)AC与OB相交于点P,则必有O,P,B三点共线和A,P,C三点共线;(2)根据O,P,B三点共线可得到点P坐标应满足的关系,再根据A,P,C三点共线即可求得点P坐标.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法方法点睛应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤:
首先分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化,再利用题目条件,寻找向量关系,列出方程(组)求出有关变量,最后回归到几何问题中.123451.已知向量a=(-2,4),b=(3,-6),则a和b的关系是 ( )
A.共线且方向相同 B.共线且方向相反
C.相反向量 D.不共线
解析由已知可得b= a,所以a与b反向共线.
答案B612345答案C 612345解析A,C,D中向量e1与e2共线,B中e1,e2不共线,所以可作为一组基底.
答案B61234564.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.
解析:由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),故a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).
答案:(-1,1)或(-3,1)12345答案4 61234566.已知平面上三个点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标,使得A,B,C,D四点构成平行四边形.
