2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课后篇巩固探究
1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于( )
A.9 B.0 C.-3 D.-9
解析由已知得p·q=3×3×cos 180°=-9.
答案D
2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则|a+b|=( )
A.13 B.26 C.13 D.21
解析由(2a-3b)·(2a+b)=61,
得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
将|a|=4,|b|=3代入上式,求得a·b=-6.
|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13,
所以|a+b|=13.
答案A
3.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=23,且a⊥(a+b),则b在a方向上的投影为( )
A.3 B.-3 C.-332 D.332
解析由a⊥(a+b),得a·(a+b)=0,即|a|2+a·b=0,于是a·b=-9,因此b在a方向上的投影为a·b|a|=-93=-3.
答案B
4.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=23,则a与b的夹角为 ( )
A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3
解析∵|a+2b|=23,
∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.
∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.
设a与b的夹角为θ,
则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=12.
又0≤θ≤π,∴θ=π3.
答案B
5.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若AD·BE=12,则AB的长为( )
A.12 B.1 C.32 D.2
解析设AB的长为a,因为AD=BC,
所以AD·BE=BC·BE=BC·(BC+CE)=|BC|2+BC·CE=1+1·a2·cos 120°=12,解得a=2.
答案D
6.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
解析设a+b与a的夹角为θ.
由|a+b|=|a-b|可得a·b=0,
由|a+b|=2|a|可得|b|=3|a|,
于是cosθ=(a+b)·a|a+b|·|a|=|a|22|a|2=12,故所求夹角为π3.
答案B
7.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= .?
解析|2a-b|=4a2-4a·b+b2=8-4a·b.
∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,
则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;
当θ=180°时,a·b=-2.
∴|2a-b|=0或4.
答案0或4
8.已知|a|=2,向量a在向量b上的投影为3,则a与b的夹角为 .?
解析记向量a与向量b的夹角为θ,则a在b上的投影为|a|cos θ=2cos θ.因为a在b上的投影为3,所以cos θ=32.因为θ∈[0,π],所以θ=π6.
答案π6
9.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则AB·BC的值是 .?
解析(方法一)AB·BC=|AB|·|BC|·cos(180°-∠B)=-|AB|·|BC|·cos∠B=-|AB|·|BC|·|AB||BC|=-|AB|2=-1.
(方法二)|BA|=1,即BA为单位向量,AB·BC=-BA·BC=-|BA||BC|cos∠ABC,而|BC|·cos∠ABC=|BA|,所以AB·BC=-|BA|2=-1.
答案-1
10.正三角形ABC边长为2,设BC=2BD,AC=3AE,则AD·BE= .?
解析AD·BE=12(AB+AC)·(AE?AB)
=12(AB+AC)·13AC-AB
=16AB·AC?12AB2+16AC2?12AB·AC
=16AC2?12AB2?13AB·AC
=16×22-12×22-13×2×2×cos 60°=-2.
答案-2
11.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是 .?
解析由a+λb与λa+b的夹角为锐角,
得(a+λb)·(λa+b)>0,
即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,
从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-3或λ>-2+3.
当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-3)∪(-2+3,1)∪(1,+∞).
答案(-∞,-2-3)∪(-2+3,1)∪(1,+∞)
12.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.
证明(a-b)·c=a·c-b·c
=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°
=1×1×-12-1×1×-12=0,
故(a-b)⊥c.
13.如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记AB=a,AC=b.
(1)试用a,b表示向量AD,CD;
(2)若|b|=1,求AB·CD.
解(1)CB=a-b,
由题意可知,AC∥BD,BD=3BC=3AC.
∴BD=3b,则AD=AB+BD=a+3b,
CD=AD?AC=a+(3-1)b.
(2)∵|b|=1,∴|a|=2,a·b=2cos 45°=1,
则AB·CD=a·[a+(3-1)b]
=a2+(3-1)a·b=2+3-1=3+1.
14.如图,在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?
解∵a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,
即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,
即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2. ①
同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2. ②
①-②,得|b|2=|d|2,
①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.
同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.
∵AB∥CD,∴a=-c.
又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,
即b·(2a)=0.∴a·b=0,
∴AB⊥BC.故四边形ABCD为正方形.
课件32张PPT。2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一二三一、平面向量数量积的定义
1.如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?力、位移及其夹角分别是矢量还是标量?功是矢量还是标量?
提示由物理知识容易得到W=|F||s|cos α,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中力、位移是矢量,功是标量.四自主检测一二三2.填空:(1)两个非零向量的数量积. (2)规定:零向量与任一向量的数量积为零.
3.关于平面向量数量积的说明:
(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;
(2)数量积的结果为数量,不再是向量;
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定:当θ是锐角时,数量积为正;当θ是钝角时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零.四自主检测一二三四答案(1)-2 (2)8 自主检测一二三四自主检测二、平面向量数量积的几何意义
1.向量运算中的加法、减法、数乘都有几何意义,数量积运算有没有几何意义?观察下列图形,如何表达OB1?它与数量积的关系是什么?
提示向量的数量积也有几何意义,题图中OB1=|b|cos θ, a·b=|a|OB1.一二三四自主检测2.填空:(1)投影的概念
①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ .?
②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ .?
(2)数量积的几何意义.
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.?
3.关于投影的说明:
(1)向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影是不同的;一二三四自主检测4.做一做:(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,则向量a在向量b方向上的投影等于 .?
(2)若a·b=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等于 .一二三四自主检测三、平面向量数量积的运算律
1.如果根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表,这些结果正确吗?提示除结合律中的(a·b)·c=a·(b·c)是错误的,其他都是正确的.一二三四自主检测2.填空:向量数量积的运算律 一二三四自主检测四、平面向量数量积的性质
1.填空:向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为θ.
(1)a⊥b?a·b=0.一二三四自主检测答案30° 一二三四自主检测判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)0·a=0a. ( )
(2)若a·b=0,则a与b至少有一个为零向量. ( )
(3)若a·b>0,则a与b的夹角为锐角. ( )
(4)若a·c=b·c(c≠0),则a=b. ( )
(5)对于任意向量a,都有a·a=|a|2. ( )
(6)一个向量在另一个向量方向上的投影是一个向量. ( )
(7)(a·b)·c=a·(b·c). ( )
(8)两向量数量积的符号是由两向量夹角的余弦值决定的. ( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)× (8)√探究一探究二探究三求平面向量的数量积
角度1 数量积的简单计算
例1 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b);(4)|a+b|.
分析依据数量积、模、夹角的定义→逐一进行计算即可探究一探究二探究三反思感悟求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.探究一探究二探究三角度2 几何图形中的数量积的计算 探究一探究二探究三反思感悟(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三利用数量积求向量的模
例3(1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|= .?
(2)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|= .?探究一探究二探究三反思感悟根据数量积的定义a·a=|a||a|cos 0°=|a|2,得 ,这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.探究一探究二探究三变式训练2已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.
解因为|a+b|=4,所以|a+b|2=42,
所以a2+2a·b+b2=16.①
因为|a|=2,|b|=3,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= .探究一探究二探究三利用数量积解决向量的夹角与垂直问题
例4 (1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解;(2)可采用数形结合的方法构成平面图形求解.
(1)解析因为(2a+b)⊥b,所以2(a+b)·b=0,
所以2a·b+|b|2=0.设a,b的夹角为θ,
则2|a||b|cos θ+|b|2=0.
又|a|=|b|,所以2|b|2cos θ+|b|2=0,
因此cos θ=- ,从而θ=120°.选C.
答案C探究一探究二探究三探究一探究二探究三反思感悟求平面向量夹角的方法:
(1)求向量的夹角,主要是利用公式 求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.探究一探究二探究三延伸探究本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值.
解因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,12345答案B 6123456答案C 123456答案B 1234564.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=( )
A.2 B.4 C.6 D.12
解析因为(a+2b)·(a-3b)=-72,
所以a2-a·b-6b2=-72,
即|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2=-72,
所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|≥0,故|a|=6.
答案C1234565.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若(2a+b)⊥(a+λb),则λ= .?
解析∵(2a+b)⊥(a+λb),∴(2a+b)·(a+λb)=0,
∴2a2+2λa·b+a·b+λb2=0.1234566.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且a·b=1,若e为平面单位向量,则(a-b)·e的最大值为 .?
