2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课后篇巩固探究
基础巩固
1.向量a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是( )
A.a∥b B.a⊥b
C.a∥(a-b) D.a⊥(a-b)
解析由a-b=(-2,-1),易得a·(a-b)=0,故a⊥(a-b),选D.
答案D
2.若a=(3,4),则与a共线的单位向量是( )
A.(3,4)
B.35,45
C.35,45或-35,-45
D.(1,1)
解析与a共线的单位向量是±a|a|=±15(3,4),即与a共线的单位向量是35,45或-35,-45.
答案C
3.若平面向量a=(3,x),b=(1,2),向量a在b方向上的投影等于5,则x的值等于( )
A.2 B.6 C.1 D.-2
解析依题意有a·b|b|=3+2x5=5,解得x=1.
答案C
4.在?ABCD中,AB=(1,0),AC=(2,2),则AD·BD等于( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
解析如图,由向量的加减,可得AD=BC=AC?AB=(1,2),BD=AD?AB=AC?AB?AB=AC-2AB=(0,2).
故AD·BD=(1,2)·(0,2)=0+4=4.
答案A
5.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.5 B.10 C.25 D.10
解析∵向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有|a+b|=32+(-1)2=10,故选B.
答案B
6.若向量BA=(1,2),CA=(4,5),且CB·(λBA+CA)=0,则实数λ的值为( )
A.3 B.-92 C.-3 D.-53
解析∵BA=(1,2),CA=(4,5),
∴CB=CA+AB=CA?BA=(3,3),
λBA+CA=(λ+4,2λ+5).
又CB·(λBA+CA)=0,∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,
解得λ=-3.
答案C
7.已知单位向量a与向量b=(1,-1)的夹角为45°,则|a-b|= .?
解析由已知得|a|=1,|b|=2,a·b=|a||b|cos 45°=1,于是|a-b|=(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2=1.
答案1
8.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y= .?
解析a·b=-1+3y,|a|=10,|b|=1+y2,
∵a与b的夹角为45°,
∴cos 45°=a·b|a||b|=-1+3y10×1+y2=22.
解得y=2或y=-12(舍去).
答案2
9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a∥b,求|a-b|;
(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.
解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
所以a-b=(2,-4),则|a-b|=25.
综上,|a-b|=2或25.
(2)因为a与b的夹角为锐角,
所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).
10.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.
解因为AB=(4,0)-(1,2)=(3,-2),
DC=(8,6)-(5,8)=(3,-2),
所以AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形.
因为AD=(5,8)-(1,2)=(4,6),
所以AB·AD=3×4+(-2)×6=0,
所以AB⊥AD,所以四边形ABCD是矩形.
因为|AB|=13,|AD|=213,|AB|≠|AD|,
所以四边形ABCD不是正方形.
综上,四边形ABCD是矩形.
11.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=π4,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为π4?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.
解(1)当α=π4时,b=22,22,a·b=322,
∴|m|=(a+tb)2=5+t2+2ta·b=t2+32t+5=t+3222+12,
∴当t=-322时,|m|取得最小值.
(2)假设存在满足条件的实数t.
由条件得cosπ4=(a-b)·(a+tb)|a-b||a+tb|,
∵a⊥b,∴|a-b|=(a-b)2=6,
|a+tb|=(a+tb)2=5+t2,
(a-b)·(a+tb)=5-t,
∴5-t6·5+t2=22.
∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=-5±352.
∴存在t=-5±352满足条件.
能力提升
1.已知O为坐标原点,向量OA=(3sin α,cos α),OB=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈3π2,2π,且OA⊥OB,则tan α的值为( )
A.-43 B.-45 C.45 D.34
解析由题意知6sin2α+cos α·(5sin α-4cos α)=0,即6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,等式两边同时除以cos2α,得6tan2α+5tan α-4=0,由于α∈3π2,2π,所以tan α<0,解得tan α=-43,故选A.
答案A
2.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足BA+BC=2BP,则PC·PD=( )
A.-2 B.-1
C.-2 D.-22
解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以BA=(0,2),BC=(2,0),因为BA+BC=2BP,所以2BP=(0,2)+(2,0)=(2,2),故BP=(1,1),故P(1,1),PD=(0,1),PC=(1,-1),所以PC·PD=0×1+1×(-1)=-1.
答案B
3.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是( )
A.[0,1] B.[-1,1]
C.[-3,3] D.[0,3]
解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=3,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cos θ=3cos θ,∵cos θ∈[-1,1],
∴(a-b)·c的取值范围为[-3,3].
答案C
4.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b= .?
解析设b=(x,y).
∵|b|=x2+y2=1,∴x2+y2=1.
∵a·b=3x+y=3,
∴x2+[3(1-x)]2=1.
∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.
∴x1=1,x2=12,∴相应有y1=0,y2=32.
∵(1,0)是与x轴平行的向量,∴b=12,32.
答案12,32
5.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.
(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴AB=(1,1),AD=(-3,3).
又AB·AD=1×(-3)+1×3=0,
∴AB⊥AD,∴AB⊥AD.
(2)解∵AB⊥AD,四边形ABCD为矩形,
∴AB=DC.
设点C的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-4).
又AB=(1,1),∴x+1=1,y-4=1,解得x=0,y=5.
∴点C的坐标为(0,5).
∴AC=(-2,4),BD=(-4,2),
∴|AC|=25,|BD|=25,AC·BD=8+8=16.
设AC与BD的夹角为θ,
则cos θ=AC·BD|AC||BD|=1625×25=45.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.
6.如图,在△ABC中,AB·AC=0,|AB|=8,|AC|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.
(1)求AD·CB的值;
(2)判断AE·CB的值是否为一个常数,并说明理由.
解(1)以点D为坐标原点,分别以BC,DE为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,
由题意易知|BC|=10,
则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A75,245,
此时AD=-75,-245,CB=(-10,0),
所以AD·CB=-75×(-10)+-245×0=14.
(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时AE=-75,y-245,
所以AE·CB=-75×(-10)+y-245×0=14,为常数,故AE·CB的值是一个常数.
课件28张PPT。2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一二自主检测一、平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
1.若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,则i2,j2,i·j如何计算?如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a·b的结果能否用其坐标表示?
提示i2=1,j2=1,i·j=0;a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2.
2.填空:(1)平面向量数量积的坐标表示
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.一二3.做一做:(1)若向量a=(4,-2),b=(-1,-6),则a·b= .?
(2)若向量a=(3,x),b=(2,-6),且a⊥b,则x= .?
解析(1)a·b=4×(-1)+(-2)×(-6)=8.
(2)因为a⊥b,所以a·b=0,即3×2+(-6)x=0,解得x=1.
答案(1)8 (2)1自主检测一二二、平面向量的模与夹角的坐标表示
1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则|a|,|b|能否用其坐标表示?a,b的夹角能否用其坐标表示?自主检测一二2.填空: 自主检测一二3.做一做:(1)设a=(-2,3),则|a|= ;?
(2)若a=(4,-3),b=(-8,-6),则a,b夹角的余弦值等于 ;自主检测一二判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1) 的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( )
(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1y1+x2y2. ( )
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a⊥b,则x1y1+x2y2=0. ( )
(4)若a·b=|a||b|,则a,b共线. ( )
(5)若表示向量a的起点和终点分别为(-1,2)和(3,3),则|a|= . ( )
答案(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√自主检测探究一探究二探究三思维辨析数量积的坐标运算
角度1 数量积的基础坐标运算
例1 已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
分析根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.探究一探究二探究三思维辨析解(1)方法一:∵a=(-1,2),b=(3,2),
∴a-b=(-4,0).
∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
方法二:a·(a-b)=a2-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)
=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]
=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).探究一探究二探究三思维辨析角度2 数量积的坐标运算在几何图形中的应用探究一探究二探究三思维辨析答案:5 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.探究一探究二探究三思维辨析答案(1)B (2)2 探究一探究二探究三思维辨析利用坐标运算解决模的问题
例3已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 探究一探究二探究三思维辨析变式训练 2已知平面向量a=(2m-1,2),b=(-2,3m-2),|a+b|=|a-b|,则5a-3b的模等于 .?
解析:∵|a+b|=|a-b|,
∴a⊥b,-2(2m-1)+2(3m-2)=0,解得m=1.探究一探究二探究三思维辨析利用坐标运算解决夹角与垂直问题
例4 已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
分析(1)根据两向量平行与垂直的条件建立方程求解;(2)根据两向量的夹角公式求解.
解(1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12.
因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.故b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).
设m,n的夹角为θ,探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 探究一探究二探究三思维辨析延伸探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值.
解由已知得c=(4,-3),
所以c+td=(4,-3)+t(2,1)=(2t+4,t-3),探究一探究二探究三思维辨析忽视两向量夹角的取值范围致误 探究一探究二探究三思维辨析防范措施在解决向量夹角问题时,务必注意向量夹角的取值范围是[0,π],尤其是与三角函数知识联系,在选取诱导公式时,应合理选择.123451.若a=(1,-1),b=(x,2),且a·b=3,则实数x等于 ( )
A.1 B.5 C.-2 D.-1
解析由已知得x-2=3,所以x=5.
答案B12345答案C 12345答案D 123454.(2018北京,文9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m= .?
解析:由题意,得ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m).
∵a⊥(ma-b),∴a·(ma-b)=0,即m+1=0,
∴m=-1.
答案:-1123455.已知a=(m,6),b=(2,1),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是 .?
解析∵向量a与向量b的夹角是锐角,
∴a·b=2m+6>0,即m>-3.
当a与b同向时, ,
∴m=12.
∴m>-3,且m≠12.
答案m>-3,且m≠12
