2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
课后篇巩固探究
1.已知向量BA=12,32,BC=32,12,则∠ABC= ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
解析由题意得cos∠ABC=BA·BC|BA||BC|=12×32+32×121×1=32,所以∠ABC=30°,故选A.
答案A
2.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为( )
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
解析由题意知,AB=(3,3),DC=(2,2),所以AB∥DC.
又因为|AB|≠|DC|,所以四边形ABCD为梯形.
答案A
3.在△ABC中,设O是△ABC的外心,且AO=13AB+13AC,则∠BAC=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析因为AO=13AB+13AC,所以O也是△ABC的重心.又因为O是△ABC的外心,所以△ABC是等边三角形,故∠BAC=60°.
答案C
4.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=( )
A.-725 B.725
C.0 D.12
解析如图建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴DB=(-3,-4),DC=(3,-4).
又∠BDC为DB,DC的夹角,
∴cos∠BDC=DB·DC|DB||DC|=-9+165×5=725.
答案B
5.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3OA+4OB+5OC=0,则OC·AB的值为( )
A.-15 B.15 C.-65 D.65
解析因为3OA+4OB+5OC=0,
所以3OA+4OB=-5OC,
所以9OA2+24OA·OB+16OB2=25OC2.
因为A,B,C在圆上,
所以|OA|=|OB|=|OC|=1.
代入原式得OA·OB=0,
所以OC·AB=-15(3OA+4OB)·(OB?OA)
=-15(3OA·OB+4OB2-3OA2-4OA·OB)
=-15.
答案A
6.在△ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,若a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故△ABC是等边三角形.
答案B
7.已知A,B,C是单位圆上的三点,且OA+OB=OC,其中O为坐标原点,则∠AOB= .?
解析如图所示,由|OA|=|OB|=|OC|=1,OA+OB=OC,得四边形OACB为边长为1的菱形,
且∠AOB=120°.
答案120°
8.已知A(3,2),B(-1,-1),若点Px,-12在线段AB的中垂线上,则x= .?
解析设AB的中点为M,则M1,12,MP=(x-1,-1),由题意可知AB=(-4,-3),MP⊥AB,则MP·AB=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,
解得x=74.
答案74
9.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
证明 AD·CE=(AC+CD)·(CA+AE)
=AC+12CB·CA+23AB
=AC+12CB·CA+23CB-23CA
=AC+12CB·13CA+23CB
=-13|CA|2+13|CB|2.
因为CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|2=0,故AD⊥CE.
10.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
设A(0,2),C(2,0),
则D(1,0),AC=(2,-2).
设AF=λAC,则BF=BA+AF=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又DA=(-1,2),
由题设BF⊥DA,所以BF·DA=0,
所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=23.
所以BF=43,23.所以DF=BF?BD=13,23.又DC=(1,0),
所以cos ∠ADB=DA·DB|DA||DB|=55,
cos ∠FDC=DF·DC|DF||DC|=55,
又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.
课件30张PPT。2.5.1 平面几何中的向量方法向量方法解决平面几何问题
1.想一想:向量可以解决哪些常见的平面几何问题?
提示(1)解决有关夹角、长度等的计算或度量问题;(2)解决直线平行、垂直、三点共线、三线共点等位置关系的判断与证明问题.
2.填空:由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.3.平面几何问题与平面向量之间的对应关系:4.填空:用平面向量方法解决几何问题的三个步骤.
第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;
第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.
5.用向量方法解决平面几何问题的两个基本方向:
(1)几何法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算.6.矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系?这一结论能否推广到一般的平行四边形呢?能否用向量证明这一结论呢?
提示若四边形ABCD是矩形,则其对角线AC,BD的长度与两条邻边长度之间的关系是AC2+BD2=2(AB2+AD2),这一结论对于一般的平行四边形也是成立的,可以借助向量的方法对这一结论进行证明.
7.填空:平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.这一结论,可以用向量表示为:|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).8.做一做:(1)已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是 , .?自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)× (7)× 探究一探究二探究三探究四平行或共线问题 探究一探究二探究三探究四反思感悟证明A,B,C三点共线的步骤:
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.
(2)说明两向量有公共点.
(3)下结论,即A,B,C三点共线.探究一探究二探究三探究四变式训练1如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O, DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF.探究一探究二探究三探究四垂直问题
例2如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四变式训练2如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四长度问题
例3 如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.分析本题是求线段长度的问题,它可以转化为求向量的模来解决.探究一探究二探究三探究四反思感悟在解决求长度的问题时,可利用向量的数量积及模的知识,解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决.探究一探究二探究三探究四答案B 探究一探究二探究三探究四夹角问题
例4已知矩形ABCD,AB= ,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求∠EAC的大小.
分析可建立直角坐标系,通过坐标运算运用夹角公式求解.探究一探究二探究三探究四反思感悟利用平面向量解决几何中的夹角问题时,本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解,这类问题也有两种方法,一是利用基底法,二是利用坐标运算.在求解过程中,务必注意向量的方向.探究一探究二探究三探究四延伸探究本例中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得∠EAM=45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.12345答案B 12345答案B 12345答案(-3,1)或(-1,-3) 1234512345123455.在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上,分别取点F,E,使BE=DF(如图).用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形.
