2.5.2 向量在物理中的应用举例
课后篇巩固探究
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且|F1|=2 N,|F2|=4 N,则|F3|=( )
A.27 N B.2 N C.25 N D.6 N
解析由题意知-F3=F1+F2,平方得|F3|2=|F1|2+|F2|2+2F1·F2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=4+16+8=28,∴|F3|=27 N,故选A.
答案A
2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为( )
A.40 N B.102 N C.202 N D.10 N
解析对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是102 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为102 N.
答案B
3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( )
A.10 m/s B.226 m/s
C.46 m/s D.12 m/s
解析由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.
∴|v|=102+22=104=226(m/s).
答案B
4.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力的大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F2的大小等于 ( )
A.53 N B.5 N C.10 N D.52 N
答案A
5.质点P在直线上作匀速直线运动,速度向量是v=(4,-3)(即质点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位),设开始时,点P坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为( )
A.(-2,4) B.(-30,25)
C.(10,-5) D.(5,-10)
解析设5秒后点P的坐标为(x,y),则(x,y)-(-10,10)=5v,即(x,y)-(-10,10)=(20,-15),
于是(x,y)=(10,-5).
答案C
6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=2502 J,则F与s的夹角等于 .?
解析设F与s的夹角为θ,由W=F·s,
得2502=10×50×cos θ,∴cos θ=22.
又θ∈[0,π],∴θ=π4.
答案π4
7.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中用坐标表示合力,则合力的坐标为 .?
解析因为F1=(2,3),F2=(3,1),
所以合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),
所以合力的大小为52+42=41(N).
答案41 (5,4)
8.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是 km/h.?
解析如图,
用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.
由图知,|OA|=4,|OB|=8,则∠AOB=60°.
又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan 60°=23.
即河水的流速是23 km/h.
答案23
9.如图所示,在倾斜角为37°(sin 37°=0.6),高为2 m的斜面上,质量为5 kg的物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为 J,重力对物体m所做的功为 J(g=9.8 m/s2).?
解析物体m的位移大小为|s|=2sin37°=103(m),
则支持力对物体m所做的功为
W1=F·s=|F||s|cos 90°=0(J);
重力对物体m所做的功为
W2=G·s=|G||s|cos 53°=5×9.8×103×0.6=98(J).
答案0 98
10.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当PQ⊥P0Q0时所需的时间t为多少秒?
解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=2,其单位向量为22,22;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=13,其单位向量为313,213.
依题意知,|P0P|=2t,|Q0Q|=13t,
∴P0P=|P0P|22,22=(t,t),
Q0Q=|Q0Q|313,213=(3t,2t),
由P0(-1,2),Q0(-2,-1),
得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),
∴P0Q0=(-1,-3),PQ=(2t-1,t-3),
∵PQ⊥P0Q0,∴P0Q0·PQ=0,
即2t-1+3t-9=0,解得t=2.
即当PQ⊥P0Q0时所需的时间为2 s.
11.某人骑车以速度a向正东方向行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.
解设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东方向行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感到的风速为v-2a.如图,设OA=-a,OB=-2a,PO=v.
∵PO+OA=PA,∴PA=v-a,这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风速.
∵PO+OB=PB,∴PB=v-2a,这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速,由题意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,∴△POB为等腰直角三角形,
∴∠APO=45°,|PO|=|PB|=2|a|,即|v|=2|a|.
∴实际风速的大小是2|a|,为西北风.
课件22张PPT。2.5.2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用
1.填空:(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是 向量.
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法.
2.利用向量方法解决物理问题的基本步骤:
①问题转化,即把物理问题转化为数学问题;
②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;
③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;
④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.3.做一做:(1)已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于( )
A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2)
(2)速度|v1|=10 m/s,|v2|=12 m/s,且v1与v2的夹角为60°,则v1与v2的合速度的大小是( )
A.2 m/s B.10 m/s
C.12 m/s D. m/s
解析(1)由已知F1+F2+F3+F4=0,
故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).
(2)∵|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2
=100+2×10×12cos 60°+144=364,
∴|v|= (m/s).
答案(1)D (2)D自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等. ( )
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减. ( )
(3)动量mv是数乘向量. ( )
(4)功是力F与位移s的数量积,即W=F·s. ( )
(5)人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为v1+v2. ( )
答案(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×探究一探究二思维辨析用向量解决力学问题
例1 如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况;
(2)当|F1|≤2|G|时,求θ角的取值范围.探究一探究二思维辨析反思感悟运用向量解决力的合成与分解时,实质就是向量的线性运算,因此可借助向量运算的平行四边形法则或三角形法则进行求解.探究一探究二思维辨析变式训练1一个物体受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且|F1|=3 N,|F2|=4 N,则cos= .探究一探究二思维辨析 反思感悟根据物理学知识,若在力F的作用下,产生位移s,则力F所做的功为W=F·s,因此可运用向量的数量积解决做功问题.探究一探究二思维辨析 变式训练2如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|=6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析用向量解决速度问题 分析解本题首先根据题意作图,再把物理问题转化为向量的有关运算求解.探究一探究二思维辨析反思感悟运用向量解决物理中的速度问题时,一般涉及速度的合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题,正确地作出图形解决问题.探究一探究二思维辨析变式训练3一船以8 km/h的速度向东航行,船上的人测得风自北方来;若船速加倍,则测得风自东北方向来,求风速的大小及方向.
解:分别取正东、正北方向上的单位向量i,j为基底,设风速为xi+yj,加速前和加速后,船上的人测得风速分别为-pj,-q(i+j).探究一探究二思维辨析未将物理问题转化为向量问题致误
典例 一条河宽为8 000 m,一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为 分钟.?
错解因为河宽为8 000 m,船速为20 km/h,所以船到达B处所需时间为 =0.4(小时)=24(分钟).
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示错解中误将船在静水中的速度作为了船的实际速度导致错误.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析防范措施船行驶的实际速度是船在静水中的速度与水速的合成,因此应借助平行四边形法则或三角形法则求出其实际速度,再解决相关问题.12345答案D 123452.一艘船以5 km/h的速度行驶,同时河水的流速为2 km/h,则船的实际航行速度范围是( )
A.(3,7) B.(3,7]
C.[3,7] D.(2,7)
解析实际航行的速度为静水中的速度与河水流速的合速度,
所以|v静|-|v水|≤|v|≤|v静|+|v水|,
即5-2≤|v|≤2+5,3≤|v|≤7.
答案C123453.已知物体在四个力F1,F2,F3,F4的共同作用下处于平衡状态,且F1=(2,6),F2=(1,-2),F3=(3,4),则F4= .?
解析依题意F1+F2+F3+F4=0,
所以F4=(-6,-8).
答案(-6,-8)123454.已知力F=(2,3)作用在一物体上,使物体从A(2,0)移动到B(-2,3),则F对物体所做的功为 焦耳.?答案1 123455.在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?
