2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课后篇巩固探究
基础巩固
1.在四边形ABCD中,AB+AD=AC,则四边形ABCD是 ( )
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
解析由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.
答案D
2.
如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AC与BD交于点O,则OA+BC+AB=( )
A.CD B.OC
C.DA D.CO
解析OA+BC+AB=OA+AB+BC=OC.
答案B
3.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向 ( )
A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同 D.不确定
解析若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向与a的方向相同.
答案A
4.
如图,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+FB等于( )
A.0
B.BE
C.AD
D.CF
解析∵CD=AF,
∴BA+CD+FB=BA+AF+FB=0.
答案A
5.向量(PA+MA)+(AO+AC)+OM化简后等于( )
A.AC B.PA
C.PC D.PM
解析(PA+MA)+(AO+AC)+OM=PA+AO+OM+MA+AC=PO+OM+MA+AC=PM+MA+AC=PA+AC=PC.
答案C
6.在矩形ABCD中,若AB=2,BC=1,则|AB+BC|= .?
解析因为ABCD是矩形,所以对角线AC=22+12=5,于是|AB+BC|=|AC|=5.
答案5
7.如图,在平行四边形ABCD中,写出下列各式的结果:
(1)AB+AD= ;?
(2)AC+CD+DO= ;?
(3)AB+AD+CD= ;?
(4)AC+BA+DA= .?
解析(1)由平行四边形法则可知为AC;
(2)AC+CD+DO=AD+DO=AO;
(3)AB+AD+CD=AC+CD=AD;
(4)AC+BA+DA=BA+AC+DA=BC+DA=0.
答案(1)AC (2)AO (3)AD (4)0
8.如图所示,若P为△ABC的外心,且PA+PB=PC,则∠ACB= .?
解析因为P为△ABC的外心,所以PA=PB=PC,因为PA+PB=PC,由向量的线性运算可得四边形PACB是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.
答案120°
9.是否存在a,b,使|a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明.
解存在,如图,OA=a,OB=b,
OA=OB=OC,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°.
10.
如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:AB+AC=AP+AQ.
证明∵AB=AP+PB,AC=AQ+QC,
∴AB+AC=AP+PB+AQ+QC.
∵PB与QC大小相等,方向相反,
∴PB+QC=0.
故AB+AC=AP+AQ+0=AP+AQ.
能力提升
1.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是 ( )
A.AB+BC=CA B.AB+AC=BC
C.AC+BA=AD D.AC+AD=DC
解析因为四边形ABCD是菱形,所以也是平行四边形,于是AC+BA=BC=AD,故C项正确.
答案C
2.设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是任一非零向量,则在下列结论中:
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|.
正确结论的序号是( )
A.①⑤ B.②④⑤ C.③⑤ D.①③⑤
解析∵a=(AB+BC)+(CD+DA)=AC+CA=0,
又b为任一非零向量,∴①③⑤均正确.
答案D
3.
如图,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|F1|=24 N.绳BO与墙壁垂直,所受拉力|F2|=12 N,则F1与F2的合力大小为 ?,方向为 .?
解析以OA,OB为邻边作平行四边形BOAC,则F1+F2=F,
即OA+OB=OC,则∠OAC=60°,
|OA|=24,|AC|=|OB|=12,
∴∠ACO=90°,∴|OC|=123.
∴F1与F2的合力大小为123 N,方向为竖直向上.
答案123 N 竖直向上
4.
如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:
(1)BC+CE+EA;
(2)OE+AB+EA;
(3)AB+FE+DC.
解(1)BC+CE+EA=BE+EA=BA.
(2)OE+AB+EA=(OE+EA)+AB=OA+AB=OB.
(3)AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC.
5.一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?
解如图,用AC表示船的第一次位移,用CD表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知AD=AC+CD,
所以AD可表示两次位移的和位移.
由题意知,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
则BC=12AC=1,AB=3.
在等腰三角形ACD中,AC=CD=2,
所以∠D=∠DAC=12∠ACB=30°,
所以∠BAD=60°,AD=2AB=23,
所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为23 km.
6.如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°=0.6).
解设AB,BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行600 km,则飞机飞行的路程指的是|AB|+|BC|;两次位移的和指的是AB+BC=AC.依题意,有|AB|+|BC|=800+600=1 400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt△ABC中,|AC|=|AB|2+|BC|2 =8002+6002=1 000(km),其中∠BAC=37°,所以方向为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1 400 km,两次飞行的位移和的大小为1 000 km,方向为北偏东72°.
课件33张PPT。2.2.1 向量加法运算及其几何意义一二一、向量的加法及其运算法则三自主检测一二2.如图①表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO;图②表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长了相同的长度.根据物理学知识,F1和F2两个力的和与力F相等吗?提示相等. 三自主检测一二3.填空:(1)向量加法的定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法,两个向量的和仍然是一个向量.三自主检测一二(4)三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀:
①三角形法则:作平移,首尾连,由起点指终点;
②平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线.
(5)规定:对于零向量与任一向量a,规定:a+0=0+a=a.三自主检测一二(6)当向量a,b是共线向量时,不能用平行四边形法则作出两个向量的和向量,但可以用三角形法则作出两个向量的和向量,分两向量同向和反向两种情形:三自主检测一二三自主检测一二4.做一做:如图,已知向量a,b,求作向量a+b. 三自主检测一二二、向量加法的运算律
1.实数的加法满足哪些运算律?向量加法是否也满足这些运算律?
提示实数的加法满足交换律和结合律,向量加法也满足.
2.填空:(1)向量加法的交换律:a+b=b+a;
(2)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).三自主检测一二三三、|a+b|与|a|,|b|之间的关系
1.根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”,你能发现|a+b|与|a|,|b|之间的关系吗?
提示||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
2.填空:(1)对于任意向量a,b,都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;
(2)当a,b共线,且同向时,有|a+b|=|a|+|b|;
(3)当a,b共线,且反向时,有|a+b|=||a|-|b||.解析根据公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|直接计算可得.
答案[3,13]自主检测一二三 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√ (7)√ (8)×自主检测探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析向量加法法则及其应用
角度1 求作向量
例1 如图,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.分析利用三角形法则或平行四边形法则→先作出两个向量的和向量→再作出三个向量的和向量探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2 向量加法法则的应用
例2 如图,四边形ABDC为等腰梯形,AB∥CD,AC=BD, CD=2AB,E为CD的中点.试求:分析通过向量平移,借助三角形法则或平行四边形法则化简得出结果.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟利用三角形法则时,要注意首尾相连;利用平行四边形法则时,要注意向量必须在同一起点,否则要通过平移将它们变为有相同起点的向量,然后作平行四边形.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析变式训练1 (1)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析利用向量加法运算律化简向量表达式
例3 化简下列各式:分析根据向量加法的交换律变为首尾相接的向量,然后利用结合律求解.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟解决向量加法运算时应关注两点:
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析利用向量加法法则解决实际问题
例4在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
分析解答本题先正确画出方位图,再根据图形借助于向量求解.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟向量加法应用的关键及技巧:
(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.
(2)应用技巧:①准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;②将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析延伸探究本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回A地?
解如图,由点C作垂线,垂足为D,探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析 对不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中等号成立条件理解不清致误
典例 若a,b是非零向量,且|a+b|=|b|-|a|,则 ( )
A.a,b同向共线
B.a,b反向共线
C.a,b同向共线且|b|>|a|
D.a,b反向共线且|b|>|a|
错解B
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示错解只考虑了向量的方向,但没有注意到其模的大小关系.
正解由于|a+b|=|b|-|a|,因此向量a,b是方向相反的向量,且|b|>|a|,故选D.
答案D探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析防范措施弄清a+b的方向以及模与向量a,b的方向、模之间的关系:
(1)当a与b同向共线时,a+b与a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|.
(2)当a与b反向共线时,若|a|>|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|;若|a|=|b|,则a+b=0.123451.若向量a表示向东北方向走5 km,向量b表示向西北方向走5 km,则向量a+b表示( )答案B 12345答案B 12345答案B 12345123455.若向量a,b不共线,且|a|=4,|b|=7,则|a+b|的取值范围是 .
解析因为向量a,b不共线,
所以||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,
即7-4<|a+b|<4+7,故3<|a+b|<11.
答案(3,11)
