3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课后篇巩固探究
基础巩固
1.已知a=(2sin 35°,2cos 35°),b=(cos 5°,-sin 5°),则a·b=( )
A.12 B.1 C.2 D.2sin 40°
解析a·b=2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=2sin 30°=1.
答案B
2.若sinπ6-α=cosπ6+α,则tan α=( )
A.-1 B.0 C.12 D.1
解析由已知得12cos α-32sin α=32cos α-12sin α,因此1-32sin α=3-12cos α,于是tan α=-1.
答案A
3.若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan 2α=( )
A.16 B.2213 C.322 D.1318
解析tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]=tan(α+β)+tan(α-β)1-tan(α+β)tan(α-β)=25+141-25×14=1318.
答案D
4.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-3cos(θ+15°)的值等于 ( )
A.±1 B.1 C.-1 D.0
解析原式=sin [(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-3cos [(θ+45°)-30°]
=32sin(θ+45°)+12cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-332cos(θ+45°)+12sin(θ+45°)
=32sin(θ+45°)+32cos(θ+45°)-32cos(θ+45°)-32sin(θ+45°)=0.
答案D
5.设α∈0,π2,β∈0,π2,且tan α=1+sinβcosβ,则( )
A.3α-β=π2 B.3α+β=π2
C.2α-β=π2 D.2α+β=π2
解析由tan α=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sinπ2-β.
又α∈0,π2,β∈0,π2,
故α-β=π2-β,即2α-β=π2.
答案C
6.化简:sin(α-150°)+cos(α-120°)cosα= .?
解析原式=
sinαcos150°-cosαsin150°+cosαcos120°+sinαsin120°cosα
=-32sinα-12cosα-12cosα+32sinαcosα=-1.
答案-1
7.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为 .?
解析因为(tan α-1)(tan β-1)=2,
所以tan α+tan β=tan αtan β-1.
因此tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1,
因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π4.
答案3π4
8.已知α∈0,π2,tan α=2,则cosα-π4= .?
解析由tan α=2,得sin α=2cos α.
又sin2α+cos2α=1,α∈0,π2,
∴cos α=55,sin α=255.
∴cosα-π4=cos αcosπ4+sin αsinπ4
=55×22+255×22=31010.
答案31010
9.tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°的值是 .?
解析∵tan 60°=3=tan23°+tan37°1-tan23°tan37°,
∴tan 23°+tan 37°=3?3tan 23°tan 37°,
∴tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°=3.
答案3
10.化简求值:
(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);
(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);
(3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.
解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.
(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)
=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-32.
(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24°
=cos(21°+24°)=cos 45°=22.
11.已知cos α=-55,tan β=13,π<α<3π2,0<β<π2,求α-β的值.
解法一由cos α=-55,π<α<3π2,得sin α=-255,tan α=2,又tan β=13,
于是tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2-131+2×13=1.
又由π<α<3π2,0<β<π2,可得-π2<-β<0,
π2<α-β<3π2,因此α-β=5π4.
解法二由cos α=-55,π<α<3π2,得sin α=-255.
由tan β=13,0<β<π2,
得sin β=110,cos β=310.
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=-255×310?-55×110=-22.
又由π<α<3π2,0<β<π2,可得-π2<-β<0,π2<α-β<3π2,因此,α-β=5π4.
能力提升
1.已知α∈-π2,3π2,tanα-π4=-3,则sin α=( )
A.55 B.-55 C.255 D.±55
解析tan α=tan α-π4+π4=tanα-π4+tan π41-tanα-π4tan π4
=-12,因为α∈π2,3π2,
所以α∈π2,π,故sin α=15=55.
答案A
2.设α,β都为锐角,且cos α=55,sin(α+β)=35,则sin β等于( )
A.2525 B.11525
C.55 D.-55或11525
解析∵α为锐角,cos α=55,∴sin α=255.
∵α,β都为锐角,∴0<α+β<π.
∵sin(α+β)=35,∴cos(α+β)=±45.
当cos(α+β)=-45时,sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=35×55+45×255=11525;
当cos(α+β)=45时,sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=35×55?45×255=-55,
与已知β为锐角矛盾.∴sin β=11525.
答案B
3.若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 ( )
A.π8 B.π4
C.3π8 D.3π4
解析由题意f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin2x+π4,将其图象向右平移φ个单位长度,得函数y=2sin2(x-φ)+π4=2sin2x-2φ+π4的图象,要使图象关于y轴对称,则π4-2φ=π2+kπ,解得φ=-π8?kπ2,当k=-1时,φ取最小正值3π8.
答案C
4.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cos αcos β= .?
解析由已知得cos αcos β-sin αsin β=45,cos αcos β+sin αsin β=-45,
两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.
答案0
5.已知△ABC中,3tan Atan B-tan A-tan B=3,则C的大小为 .?
解析依题意,tanA+tanB1-tanAtanB=-3,即tan(A+B)=-3,又0
答案π3
6.已知α,β均为锐角,且tan β=cosα-sinαcosα+sinα,求tan(α+β)的值.
解tan β=cosα-sinαcosα+sinα=1-tanα1+tanα=tanπ4-α,因为α,β均为锐角,所以-π4<π4-α<π4,0<β<π2,
又y=tan x在-π2,π2上是单调函数,所以β=π4-α,即α+β=π4,tan(α+β)=1.
7.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=255.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若-π2<β<0<α<π2,且sin β=-513,求sin α的值.
解(1)∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
∴|a|=|b|=1,
∴|a-b|2=a2-2a·b+b2=1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-2cos(α-β).又∵|a-b|=255,
∴|a-b|2=2-2cos(α-β)=45,
∴cos(α-β)=35.
(2)∵-π2<β<0<α<π2,∴0<α-β<π,
由cos(α-β)=35可得sin(α-β)=45,由sin β=-513,可得cos β=1213,∴sin α=sin [(α-β)+β]
=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=45×1213+35×-513=3365.
8.已知函数f(x)=22(cos x-sin x)sinπ4+x-2asin x+b(a>0)有最大值1和最小值-4,求a,b的值.
解f(x)=22(cos x-sin x)sinπ4+x-2asin x+b=12(cos2x-sin2x)-2asin x+b=12(1-2sin2x)-2asin x+b=-(sin x+a)2+12+a2+b.
当a≥1时,f(x)的最小值等于fπ2,最大值等于f-π2,依题意得-2a+b-12=-4,2a+b-12=1,
解得a=54,b=-1.
当0解得a=5-1(舍去)或a=-5-1(舍去).
综上可得a=54,b=-1.
课件29张PPT。3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的三角函数公式
1.由cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β以及诱导公式sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,能否将cos(α+β)用α,β角的正弦和余弦表示?
提示cos(α+β)=cos [α-(-β)]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β
2.填空:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β .?4.填空:(1)sin(α+β)=sin αcos β-cos αsin β .?
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β .?7.两角和与差的三角函数公式: 8.做一做:(1)sin 75°= .?
(2)cos 77°cos 43°-sin 77°sin 43°= .?自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)× √ 探究一探究二探究三思维辨析化简与求值
例1 化简下列各式:探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析(5)∵(1+tan 21°)(1+tan 24°)
=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°
=1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24°
=1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24°
=1+1-tan 21°tan 24°+tan 21°tan 24°=2.
同理可得(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,
∴原式=2×2=4.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题(1)求sin(α+β)的值;
(2)求cos(α-β)的值;
(3)求tan α的值.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟给值求值的解题策略
在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.探究一探究二探究三思维辨析答案:(1)0 (2)D 探究一探究二探究三思维辨析利用两角和与差的三角函数公式解决给值求角问题探究一探究二探究三思维辨析反思感悟根据三角函数值求角时,一般先求出该角的某个三角函数值,再确定该角的取值范围,最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三角函数值,这要取决于该角的取值范围,然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定,一般地,若θ∈(0,π),则通常求cos θ,若 ,则通常求sin θ,否则容易导致增解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析忽视隐含条件致误 探究一探究二探究三思维辨析防范措施 在解决三角函数求值问题时,务必注意对隐含条件的挖掘,尤其是给值求角问题,一定要注意根据已知条件对角的范围进行精确界定,以免产生增解.12345答案D 612345答案A 612345答案B 612345612345解析观察可知18°+42°=60°,可运用两角和的正切公式求值.
∵tan 18°+tan 42°+tan 120°
=tan 60°(1-tan 18°tan 42°)+tan 120°
=-tan 60°tan 18°tan 42°,
∴原式=-1.
答案-16123456