3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课后篇巩固探究
基础巩固
1.cos π12-sin π12cos π12+sin π12=( )
A.-32 B.-12 C.12 D.32
解析原式=cos2π12-sin2π12=cosπ6=32,
故选D.
答案D
2.若tan α=3,则sin2αcos2α的值等于( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析sin2αcos2α=2sinαcosαcos2α=2tan α=2×3=6.
答案D
3.已知sinπ4-x=35,则cos π2-2x的值为( )
A.1925 B.1625 C.1425 D.725
解析cosπ2-2x=cos 2π4-x
=1-2sin2π4-x=1-2×352=725.
答案D
4.若α为锐角,3sin α=tan α=2tan β,则tan 2β等于( )
A.34 B.43 C.-34 D.-43
解析因为α为锐角,3sin α=tan α,所以cos α=13,则tan α=22,即tan β=2,所以tan 2β=2tanβ1-tan2β=-43.
答案D
5.若sinα+cosαsinα-cosα=12,则tan 2α=( )
A.-34 B.34 C.-43 D.43
解析等式sinα+cosαsinα-cosα=12左边分子、分母同时除以cos α(显然cos α≠0),得tanα+1tanα-1=12,解得tan α=-3,
∴tan 2α=2tanα1-tan2α=34.
答案B
6.已知α∈π2,π,sin α=55,则tan 2α= .?
解析由α∈π2,π,sin α=55,得cos α=-255,tan α=sinαcosα=-12,tan 2α=2tanα1-tan2α=-43.
答案-43
7.化简:2sin2α1+cos2α·cos2αcos2α= .?
解析原式=2sin2α2cos2α·cos2αcos2α=tan 2α.
答案tan 2α
8.若cos(75°+α)=13,则sin(60°+2α)= .?
解析依题意,cos(75°+α)=13,则cos(150°+2α)=2cos2(α+75°)-1=2×132-1=-79,sin(60°+2α)=-cos(90°+60°+2α)=-cos(150°+2α)=79.
答案79
9.求下列各式的值:
(1)2cos2α-12tanπ4-αsin2π4+α;
(2)23tan 15°+tan215°;
(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
解(1)原式=cos2α2tanπ4-αcos2π2-π4-α
=cos2α2tanπ4-αcos2π4-α
=cos2α2sinπ4-αcosπ4-α=cos2αsin2×π4-2α
=cos2αcos2α=1.
(2)原式=3tan 30°(1-tan215°)+tan215°
=3×33(1-tan215°)+tan215°=1.
(3)(方法一)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
=12cos 20°cos 40°cos 80°=2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°=sin40°cos40°cos80°4sin20°=sin80°cos80°8sin20°=116·sin160°sin20°=116.
(方法二)令x=sin 10°sin 50°sin 70°,
y=cos 10°cos 50°cos 70°.
则xy=sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°
=12sin 20°·12sin 100°·12sin 140°
=18sin 20°sin 80°sin 40°
=18cos 10°cos 50°cos 70°=18y.
∵y≠0,∴x=18.
从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=116.
10.已知sin α+cos α=355,α∈0,π4,sinβ-π4=35,β∈π4,π2.
(1)求sin 2α和tan 2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
解(1)由题意得(sin α+cos α)2=95,即1+sin 2α=95,∴sin 2α=45,又易知2α∈0,π2,
∴cos 2α=1-sin22α=35,∴tan 2α=sin2αcos2α=43.
(2)∵β∈π4,π2,β-π4∈0,π4,sinβ-π4=35,
∴cosβ-π4=45,
∴sin 2β-π4=2sinβ-π4cosβ-π4=2425.
又sin 2β-π4=-cos 2β,∴cos 2β=-2425.
又易知2β∈π2,π,∴sin 2β=725.
又cos2α=1+cos2α2=45,∴cos α=255,∴sin α=55,
∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=255×-2425?55×725=-11525.
能力提升
1.4sin 80°-cos10°sin10°=( )
A.3 B.-3 C.2 D.22-3
解析4sin 80°-cos10°sin10°=4cos10°sin10°-cos10°sin10°
=2sin20°-cos10°sin10°=2sin(30°-10°)-cos10°sin10°
=2(sin30°cos10°-cos30°sin10°)-cos10°sin10°=-3.
答案B
2.若α∈0,π2,且cos2α+cosπ2+2α=310,则tan α= ( )
A.12 B.14 C.13 D.13或-7
解析cos2α+cosπ2+2α=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=cos2α-2sinαcosαsin2α+cos2α=1-2tanαtan2α+1=310,整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=13或tan α=-7.又α∈0,π2,所以tan α=13,故选C.
答案C
3.设sin 2α=-sin α,α∈π2,π,则tan 2α的值是 .?
解析∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos α=-12,
又α∈π2,π,∴sin α=32,tan α=-3,
∴tan 2α=2tanα1-tan2α=-231-(-3)2=3.
答案3
4.已知角α,β为锐角,且1-cos 2α=sin αcos α,tan(β-α)=13,则β= .?
解析由1-cos 2α=sin αcos α,得1-(1-2sin2α)
=sin αcos α,
即2sin2α=sin αcos α.∵α为锐角,∴sin α≠0,
∴2sin α=cos α,即tan α=12.
(方法一)由tan(β-α)=tanβ-tanα1+tanβtanα=tanβ-121+12tanβ
=13,得tan β=1.∵β为锐角,∴β=π4.
(方法二)tan β=tan(β-α+α)=tan(β-α)+tanα1-tan(β-α)tanα
=13+121-13×12=1.∵β为锐角,∴β=π4.
答案π4
5.已知函数f(x)=4cos4x-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x.
(1)求f-11π12的值;
(2)当x∈0,π4时,求函数g(x)=12f(x)+sin 2x的最大值和最小值.
解(1)f(x)=(1+cos2x)2-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x
=cos22xsinπ4+xcosπ4+x
=2cos22xsinπ2+2x=2cos22xcos2x=2cos 2x,
所以f-11π12=2cos-11π6=2cos π6=3.
(2)g(x)=cos 2x+sin 2x=2sin2x+π4.
因为x∈0,π4,所以2x+π4∈π4,3π4,
所以当x=π8时,g(x)max=2,
当x=0时,g(x)min=1.
6.已知函数f(x)=4tan xsinπ2-x·cosx-π3?3.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间-π4,π4上的单调性.
解(1)f(x)的定义域为xx≠π2+kπ,k∈Z.
f(x)=4tan xcos xcosx-π3?3
=4sin xcosx-π3?3
=4sin x12cosx+32sinx?3
=2sin xcos x+23sin2x-3
=sin 2x+3(1-cos 2x)-3
=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-π3.
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)令z=2x-π3,函数y=2sin z的单调递增区间是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.
设A=-π4,π4,B=x-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4.所以,当x∈-π4,π4时,f(x)在区间-π12,π4上单调递增,在区间-π4,-π12上单调递减.
课件29张PPT。3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一二自主检测一、二倍角的正弦、余弦和正切公式
1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样的结果?2.上述cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢?
提示根据同角的三角函数关系式可得cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α.一二3.填空:二倍角的正弦、余弦、正切公式 自主检测一二自主检测一二二、二倍角公式的变形
1.若将1±sin 2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,那么1±sin 2α可化为什么形式?
提示1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.根据二倍角的余弦公式,sin α,cos α与cos 2α的关系分别如何?3.填空:(1)1±sin 2α=(sin α±cos α)2;?
(2)升幂缩角公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α;自主检测一二自主检测一二自主检测判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)× (2)× (3)× (4)√探究一探究二探究三思维辨析利用二倍角公式解决给角求值问题
例1 求下列各式的值:分析对于(1)(2)(3),可直接逆用公式计算;对于(4),可将分子与分母同乘2sin 20°,然后连续逆用二倍角的正弦公式进行求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟对于给角求值问题,一般有两类:
(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析利用二倍角公式解决条件求值问题 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟解决条件求值问题的方法
给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:
(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.探究一探究二探究三思维辨析答案:A 探究一探究二探究三思维辨析利用二倍角公式解决化简与证明问题
例3 (1)化简:
cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)·cos(90°-θ);分析(1)将前两项进行降幂处理,后两项运用诱导公式,展开整理化简即得;(2)将左边分子、分母中的1-cos 2θ与1+cos 2θ运用公式先化简,后约分结合同角关系证明.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:
(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.
(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.探究一探究二探究三思维辨析2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析忽视角的范围致误 探究一探究二探究三思维辨析防范措施 123451.下列各式中,不一定成立的是( )
A.sin 8α=2sin 4αcos 4α
B.1-cos 2α=2sin2α
C.(sin α+cos α)2=1+sin 2α
D.tan 2α=
解析由二倍角公式可知A,B,C项均一定成立,D项中的公式不一定成立.
答案D12345答案D 12345答案B 12345答案:B 12345
