3.2 简单的三角恒等变换
课后篇巩固探究
1.cos2π8?14的值为( )
A.2-14 B.2+14 C.24 D.22
解析cos2π8?14=1+cosπ42?14=2+14.
答案B
2.已知α为第一象限角,且tan α=43,则sin α2的值为( )
A.55 B.-55 C.±55 D.15
解析因为α为第一象限角,且tan α=43,所以cos α=35,而α2是第一或第三象限角.当α2是第一象限角时,sin α2=1-cosα2=55;当α2是第三象限角时,sin α2=-1-cosα2=-55,故sin α2=±55.
答案C
3.若函数f(x)=(1+3tan x)cos x,则fπ12=( )
A.6-22 B.-3 C.1 D.2
解析∵f(x)=1+3·sinxcosxcos x=cos x+3sin x=2sinx+π6,∴fπ12=2sinπ12+π6=2sinπ4=2.
答案D
4.已知tan α=2,则2sin2α+1cos2α-π4的值是( )
A.53 B.-134 C.135 D.134
解析∵tan α=2,
∴2sin2α+1cos2α-π4=2sin2α+sin2α+cos2αcos2α-π2
=3sin2α+cos2αsin2α=3sin2α+cos2α2sinαcosα
=3tan2α+12tanα=3×22+12×2=134.
答案D
5.已知1-sinxcosx=35,则cosx1+sinx的值等于( )
A.35 B.-35 C.53 D.-53
解析因为1-sinxcosx·1+sinxcosx=1-sin2xcos2x=cos2xcos2x=1,而1-sinxcosx=35,所以1+sinxcosx=53,故cosx1+sinx=35.
答案A
6.已知sinα+π3+sin α=-435,则cosα+2π3= ( )
A.-45 B.-35 C.35 D.45
解析∵sinπ3+α+sin α=sinπ3cos α+cosπ3sin α+sin α=-435,∴32sin α+32cos α=-435,
即32sin α+12cos α=-45.∴sinα+π6=-45.
故cosα+2π3=cosα+π2+π6
=-sinα+π6=45.
答案D
7.若tan α=17,则1+cos2αsin2α= .?
解析因为tan α=sin2α1+cos2α=17,所以1+cos2αsin2α=7.
答案7
8.已知f(x)=sin x+3cos x,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ= .?
解析因为f(x)=sin x+3cos x=212sinx+32cosx=2sinx+π3,又因为f(θ)=2,
所以2sinθ+π3=2,解得θ=π6.
答案π6
9.已知cosx-π6=m,则cos x+cosx-π3= .?
解析因为cos x+cosx-π3=cos x+cos xcos π3+sin xsin π3=32cos x+32sin x=3cosx-π6,所以cos x+cosx-π3=3m.
答案3m
10.已知sin α=1213,sin(α+β)=45,α,β均为锐角,求cos β2的值.
解∵0<α<π2,∴cos α=1-sin2α=513,
∵0<α<π2,0<β<π2,∴0<α+β<π,
若0<α+β<π2,∵sin(α+β)∴α+β<α,∴β<0,与已知矛盾,
∴π2<α+β<π,∴cos(α+β)=-35,
∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-35×513+45×1213=3365.
∵0<β<π2,∴0<β2<π4,
∴cos β2=1+cosβ2=76565.
11.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32.
证明由已知,得sin A+sin B=-sin C, ①
cos A+cos B=-cos C. ②
和差化积,得2sinA+B2cosA-B2=-sin C. ③
2cosA+B2cosA-B2=-cos C. ④
∵当cosA-B2=0时,sin C=cos C=0,不满足题意,∴cosA-B2≠0.
③÷④,得tanA+B2=tan C.
∴cos(A+B)=1-tan2A+B21+tan2A+B2=1-tan2C1+tan2C=cos 2C.
①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,
即cos(A-B)=-12,
∴cos2A+cos2B+cos2C
=12(1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C)
=32+12[2cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C]
=32+122·cos2C·-12+cos2C=32.
课件27张PPT。3.2 简单的三角恒等变换一二自主检测一、半角公式
1.二倍角公式是用单角α的三角函数来表示倍角2α的三角函数,根据倍角关系的相对性,能否用单角α的三角函数来表示 的三角函数呢?一二自主检测一二自主检测一二二、辅助角公式自主检测一二答案(1)C (2)B 自主检测一二判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√自主检测探究一探究二探究三思维辨析用半角公式解决求值问题 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟已知θ的某个三角函数值,求 的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析用半角公式解决化简与证明问题 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析辅助角公式的应用
例3将下列各式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式:分析利用三角函数公式将函数解析式化为asin ωx+bcos ωx的形式,再利用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析忽视对角的讨论致误 探究一探究二探究三思维辨析防范措施 在一个等式的两边同时除以一个式子时,应确保这个式子不等于零,否则容易导致错解.如果不能确定这个式子一定不为零,应注意分类讨论.12345答案D 612345答案C 612345答案A 6123456123456123456
