第三章三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
课后篇巩固探究
1.cos 285°等于( )
A.6-24 B.6+24
C.2-64 D.-2+64
解析cos 285°=cos(360°-75°)
=cos 75°=cos(30°+45°)
=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°=6-24.
答案A
2.若a=(cos 100°,sin 100°),b=(cos 10°,sin 10°),则a·b=( )
A.cos 110° B.sin 110° C.1 D.0
解析a·b=cos 100°cos 10°+sin 100°sin 10°=cos(100°-10°)=cos 90°=0.
答案D
3.计算cosπ4-αsinα+cosα的值是( )
A.2 B.-2 C.22 D.-22
解析cosπ4-αsinα+cosα=cos π4cosα+sin π4sinαsinα+cosα
=22(sinα+cosα)sinα+cosα=22.
答案C
4.满足sin αsin β=-cos αcos β的一组值是( )
A.α=β=90° B.α=18°,β=72°
C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°
解析由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,只有C项符合.
答案C
5.若sin α-sin β=32,cos α-cos β=12,则cos(α-β)的值为( )
A.12 B.32 C.34 D.1
解析由sin α-sin β=32,cos α-cos β=12,得sin2α+sin2β-2sin αsin β=34,cos2α+cos2β-2cos αcos β=14,以上两式相加得2-2(sin αsin β+cos αcos β)=1,所以sin αsin β+cos αcos β=12,故cos(α-β)=12.
答案A
6.化简cos(α-55°)·cos(α+5°)+sin(α-55°)·sin(α+5°)= .?
解析原式=cos [(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=12.
答案12
7.若cos θ=-1213,θ∈π,3π2,则cosθ-π4= .?
解析∵cos θ=-1213,θ∈π,3π2,∴sin θ=-513.
∴cosθ-π4=cos θcosπ4+sin θsinπ4
=-1213×22?513×22=-17226.
答案-17226
8.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,则cosα+β2= .?
解析因为0<α<π2,所以π4<π4+α<3π4,
又cosπ4+α=13,所以sinπ4+α=223,
因为-π2<β<0,所以π4<π4?β2<π2,
又cosπ4-β2=33,所以sinπ4-β2=63.
于是cosα+β2=cos π4+α-π4-β2=
cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2=
13×33+223×63=539.
答案539
9.若x∈π2,π,且sin x=45,求2cosx-2π3+2cos x的值.
解因为x∈π2,π,sin x=45,所以cos x=-35.
于是2cosx-2π3+2cos x
=2cosxcos 2π3+sinxsin 2π3+2cos x
=2-12cosx+32sinx+2cos x
=3sin x+cos x=435?35=43-35.
10.已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,求cosα+π4的值.
解∵α,β∈3π4,π,
∴α+β∈3π2,2π,β-π4∈π2,3π4.
又∵sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,
∴cos(α+β)=1-sin2(α+β)=45.
cosβ-π4=-1-sin2β-π4=-513.
∴cosα+π4=cos(α+β)-β-π4
=cos(α+β)cosβ-π4+sin(α+β)sinβ-π4
=45×-513+-35×1213=-5665.
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于点P0,以Ox为始边分别作出角α,β,α-β,其终边分别和单位圆交于点P1,P2,P3.由|P0P3|=|P2P1|,你能推导出两角差的余弦公式吗?
解易知P0(1,0),P1(cos α,sin α),P2(cos β,sin β),P3(cos(α-β),sin(α-β)),
则P0P3=(cos(α-β)-1,sin(α-β)),
P2P1=(cos α-cos β,sin α-sin β),
又|P0P3|=|P2P1|,即|P0P3|2=|P2P1|2,
所以[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2,
化简得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
课件22张PPT。3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式
1.15°角是特殊角吗?如果不是特殊角,那么能否用特殊角的和与差来表示15°?如果15°=45°-30°,那么cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°-cos 30°吗?
提示15°角不是特殊角,但可以用特殊角的差来表示15°,例如15°=45°-30°,但cos(45°-30°)≠cos 45°-cos 30°.2.观察下表中的数据,你有什么发现?提示cos(60°-30°)=cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°; cos(120°-60°)=cos 120°cos 60°+sin 120°sin 60°.3.填空:(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β .?
(2)此公式简记作C(α-β).
(3)使用条件:α,β都是任意角.4.做一做:(1)cos 15°= .?
(2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°= .?自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)对于任意角α,β,都有cos(α-β)=cos α-cos β. ( )
(2)对于任意角α,β,都有cos(α-β)≠cos α-cos β. ( )
(3)存在角α,β,使得cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.( )
(4)当α,β为锐角时,必有cos(α-β)>cos αcos β. ( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√探究一探究二探究三利用两角差的余弦公式解决给角求值问题
例1 求下列各式的值:
(1)cos(-375°);
(2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°;
(3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α;分析对于(1),应利用诱导公式将-375°转化为锐角再变为两特殊角之差然后利用公式计算;对于(2),应将sin 195°转化为-sin 15°再套用公式计算;对于(3),可将α+45°当作一个整体来处理;对于(4),应将 分别转化为cos 60°,sin 60°,然后套用公式计算.探究一探究二探究三探究一探究二探究三反思感悟利用公式C(α-β)求值的方法技巧
在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式来求值.探究一探究二探究三变式训练1求值:
(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°;
(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).
解(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°
=sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°)
=cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°探究一探究二探究三利用两角差的余弦公式解决给值求值问题 分析对于(1),可根据同角的三角函数关系式求出cos α,sin β的值,然后利用两角差的余弦公式展开后代入即得;对于(2)可考虑将β表示为(α+β)-α,然后展开,再结合同角的关系公式进行求解.探究一探究二探究三探究一探究二探究三反思感悟 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:探究一探究二探究三探究一探究二探究三利用两角差的余弦公式解决给值求角问题 分析利用两角差的余弦公式,求出cos(α-β)的值,然后根据α-β的范围求出α-β的值.探究一探究二探究三反思感悟 解决三角函数给值求角问题的方法步骤
(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围;
(2)求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数;
(3)结合三角函数值及角的范围求角.探究一探究二探究三123451.cos 50°=( )
A.cos 70°cos 20°-sin 70°sin 20°
B.cos 70°sin 20°-sin 70°cos 20°
C.cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°
D.cos 70°sin 20°+sin 70°cos 20°
解析cos 50°=cos(70°-20°)=cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°.
答案C12345答案C 12345答案B 1234512345
