1.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
课后篇巩固探究
1.已知sinπ+θ=45,则角θ的终边在( )
A.第一或第二象限 B.第二或第三象限
C.第一或第四象限 D.第三或第四象限
解析由已知得-sin θ=45,所以sin θ=-45,故角θ的终边在第三或第四象限.
答案D
2.若cos(π-α)=-12,则cos(-2π-α)的值为( )
A.12 B.±32 C.-12 D.±12
解析∵cos(π-α)=-cos α=-12,∴cos α=12.
∴cos(-2π-α)=cos(-α)=cos α=12.
答案A
3.sin-13π6-cos-10π3-tan15π4的值为( )
A.-2 B.0 C.12 D.1
解析原式
=-sin2π+π6-cos2π+4π3-tan2π+7π4
=-sinπ6-cosπ+π3-tan2π-π4
=-12+cosπ3+tanπ4=-12+12+1=1.
答案D
4.已知tan(π-α)=12,则sinα+cosα2sinα-cosα=( )
A.14 B.-14 C.12 D.-12
解析由已知得-tan α=12,所以tan α=-12.
于是sinα+cosα2sinα-cosα=tanα+12tanα-1
=-12+12×-12-1=-14.
答案B
5.若角7π-α的终边与单位圆的交点坐标是x,35,则cos(α-2 018π)=( )
A.±45 B.±35 C.45 D.-35
解析依题意,sin(7π-α)=35,即sin α=35,于是cos α=±45,故cos(α-2 018π)=cos α=±45.
答案A
6.1-2sin(π+2)cos(π-2)等于( )
A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2
C.±(sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2
解析1-2sin(π+2)cos(π-2)=1-2sin2cos2
=(sin2-cos2)2=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.
答案A
7.记cos(-80°)=k,则tan 100°等于( )
A.1-k2k B.-1-k2k
C.k1-k2 D.-k1-k2
解析∵cos(-80°)=cos 80°=k,sin 80°=1-cos280°=1-k2,∴tan 100°=-tan 80°=-1-k2k.故选B.
答案B
8.已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(kπ+α)cosα(k∈Z),则A的值构成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}
C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}
解析当k为偶数时,A=sinαsinα+cosαcosα=2;当k为奇数时,A=-sinαsinα?cosαcosα=-2.故选C.
答案C
9.已知sin(45°+α)=513,则sin(135°-α)= .?
解析sin(135°-α)=sin[180°-(45°+α)]=sin(45°+α)=513.
答案513
10.已知tanπ7+α=5,则tan6π7-α= .?
解析tan6π7-α=tanπ-π7+α
=-tanπ7+α=-5.
答案-5
11.设tan(5π+α)=m,则sin(α-3π)+cos(π-α)sin(-α)-cos(π+α)= .?
解析∵tan(5π+α)=tan α=m,∴原式=-sinα-cosα-sinα+cosα=-tanα-1-tanα+1=-m-1-m+1=m+1m-1.
答案m+1m-1
12.已知π6<α<2π3,cosα+π3=m(m≠0),则tan2π3-α= .?
解析由π6<α<2π3,可得α+π3∈π2,π.
因为cosα+π3=m<0,
所以sinα+π3=1-cos2α+π3=1-m2,
所以tanα+π3=1-m2m.
所以tan2π3-α=tanπ-α+π3
=-tanα+π3=-1-m2m.
答案-1-m2m
13.已知sin(3π+α)=13,求:
sin(180°+α)cos(720°+α)tan(540°+α)sin(-180°+α)tan(900°+α)sin(-180°-α)cos(-180°-α)的值.
解∵sin(3π+α)=13,∴sin α=-13.
原式=(-sinα)·cosα·tanα·(-sinα)tanα·sinα·(-cosα)
=-sin α=13.
14.(1)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,求cos(α+2π)cos(4π+α)tan2(2π+α)tan(6π+α)sin(2π+α)sin(8π+α)的值;
(2)已知sin(4π+α)=2sin β,3cos(6π+α)=2cos(2π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.
解(1)因为方程5x2-7x-6=0的两根为2和-35,
所以sin α=-35.
由sin2α+cos2α=1,得cos α=±1-sin2α=±45.
当cos α=45时,tan α=-34;
当cos α=-45时,tan α=34.
所以原式=cosα·cosα·tan2α·tanαsinα·sinα=tan α=±34.
(2)因为sin(4π+α)=2sin β,
所以sin α=2sin β. ①
因为3cos(6π+α)=2cos (2π+β),
所以3cos α=2cos β. ②
①2+②2,得sin2α+3cos2α=2(sin2β+cos2β)=2,
所以cos2α=12,即cos α=±22.
又0<α<π,所以α=π4或α=3π4.
又0<β<π,当α=π4时,由②得β=π6;
当α=3π4时,由②得β=5π6.
所以α=π4,β=π6或α=3π4,β=5π6.
课件27张PPT。第1课时 诱导公式二、三、四一二三自主检测一、诱导公式二
1.观察单位圆,回答下列问题:
(1)角α与角π+α的终边有什么关系?
(2)角α与角π+α的终边与单位圆的交点P,P1有什么对称关系?
(3)在(2)中,点P,P1的坐标有什么关系?
提示(1)在一条直线上,方向相反;
(2)关于原点对称;
(3)横、纵坐标都互为相反数.一二三2.填空:(1)角π+α与角α的终边关于原点对称(如图所示).
(2)诱导公式二:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.?自主检测一二三自主检测一二三二、诱导公式三
1.观察单位圆,回答下列问题:
(1)角α与角-α的终边有什么关系?
(2)角α与角-α的终边与单位圆的交点P,P1有什么对称关系?
(3)在(2)中,点P,P1的坐标有什么关系?
提示(1)关于x轴对称;(2)关于x轴对称;(3)横坐标相等,纵坐标互为相反数.
2.填空:(1)角-α与角α的终边关于x轴对称(如图所示).
?
(2)诱导公式三:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.?自主检测一二三自主检测一二三三、诱导公式四
1.观察单位圆,回答下列问题:
(1)角α与角π-α的终边有什么关系?
(2)角α与角π-α的终边与单位圆的交点P,P1有什么对称关系?
(3)在(2)中,点P,P1的坐标有什么关系?
提示(1)关于y轴对称;
(2)关于y轴对称;
(3)横坐标互为相反数、纵坐标相等.自主检测一二三2.填空:(1)角π-α与角α的终边关于y轴对称(如图所示).
?
?
?
?
(2)诱导公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.?自主检测一二三自主检测一二三判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打
“√”,错误的打“×”.
(1)三角函数诱导公式中的角α应为锐角. ( )
(2)存在角α,使sin(π+α)=sin α,cos(π-α)=cos α. ( )
(3)当α是第三象限角时,tan(-α)=tan α. ( )
(4)tan(α-π)=tan α. ( )
(5)sin(2π-α)=sin α. ( )
(6)sin(180°-300°)=-sin 300°. ( )
(7)若α,β满足α+β=π,则sin α=sin β且tan α=tan β. ( )
答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)×自主检测探究一探究二探究三利用诱导公式解决求值问题
例1 (1)求sin 585°cos 1 290°+cos(-30°)sin 210°+tan 135°的值;
(2)已知cos(α-55°)=- ,且α为第四象限角,求sin(α+125°)的值.
分析(1)利用诱导公式将负角化为正角,进而化为锐角进行求值;(2)寻求α-55°与α+125°之间的关系,利用诱导公式进行化简.探究一探究二探究三解(1)sin 585°cos 1 290°+cos(-30°)sin 210°+tan 135°
=sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+cos 30°sin 210° +tan(180°-45°)
=sin 225°cos 210°+cos 30°sin 210°-tan 45°
=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos 30°·sin(180°+30°)-tan 45°
=sin 45°cos 30°-cos 30°sin 30°-tan 45°探究一探究二探究三探究一探究二探究三反思感悟1.利用诱导公式解决给角求值问题的基本步骤:2.利用诱导公式解决给值求值问题的策略:
(1)弄清楚已知条件与所求式中角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.探究一探究二探究三延伸探究本例(2)中,条件不变,如何求tan(595°-α)的值?探究一探究二探究三利用诱导公式解决化简问题 分析充分利用所学的四个诱导公式对角进行转化,并结合同角三角函数关系式进行化简.探究一探究二探究三反思感悟利用诱导公式一~四化简应注意的问题:
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.
(2)化简时函数名不发生改变,但一定要注意函数的符号有没有改变.
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.探究一探究二探究三探究一探究二探究三利用诱导公式解决证明问题 分析观察被证式两端,左繁右简,可以从左端入手,利用诱导公式进行化简,逐步地推向右边.探究一探究二探究三反思感悟关于三角恒等式的证明,常用方法:
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简;
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异.探究一探究二探究三12345解析tan(-600°)=-tan 600°=-tan(360°+240°)=-tan 240°
=-tan(180°+60°)=-tan 60°=- .
答案B12345答案C 12345答案D 12345答案-1 12345第2课时 诱导公式五、六
课后篇巩固探究
基础巩固
1.若α∈π,3π2,则1-sin23π2-α=( )
A.sin α B.-sin α C.cos α D.-cos α
解析∵α∈π,3π2,∴sin α<0.∴1-sin23π2-α=1-cos2α=sin2α=-sin α.
答案B
2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α= ( )
A.40° B.50° C.70° D.80°
解析∵P(sin 40°,-cos 140°)为角α终边上的点,因而tan α=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°)sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan 50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.
答案B
3.已知sin(π-α)=-2sinπ2+α,则sin αcos α=( )
A.25 B.-25 C.25或-25 D.-15
解析∵sin(π-α)=-2sinπ2+α,∴sin α=-2cos α.
再由sin2α+cos2α=1可得sin α=255,cos α=-55,或sin α=-255,cos α=55,∴sin αcos α=-25.故选B.
答案B
4.在△ABC中,若sinA+B2=45,则cosC2=( )
A.-35 B.-45 C.35 D.45
解析∵A+B+C=π,∴A+B2=π2?C2.
∴sinA+B2=sinπ2-C2=cos C2=45.
答案D
5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( )
A.-223 B.223 C.-23 D.23
解析由-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-1-cos2(60°+α)=-1-(13)?2=-223.
答案A
6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cosα+3π2= .?
解析因为α是第四象限的角,
所以sin α=-1-cos2α=-223.
于是cosα+3π2=-cosα+π2=sin α=-223.
答案-223
7.若sinπ2+θ=37,则cos2π2-θ= .?
解析sinπ2+θ=cos θ=37,则cos2π2-θ=sin2θ=1-cos2θ=1-949=4049.
答案4049
8.求值:sin2π4-α+sin2π4+α= .?
解析∵π4-α+π4+α=π2,
∴sin2π4+α=sin2π2-π4-α
=cos2π4-α.
∴sin2π4-α+sin2π4+α
=sin2π4-α+cos2π4-α=1.
答案1
9.化简:
sin-α-3π2·sin3π2-α·tan2(2π-α)cosπ2-α·cosπ2+α·cos2(π-α).
解原式
=sin-α+π2·-sinπ2-α·tan2(2π-α)cosπ2-α·cosπ2+α·cos2(π-α)
=cosα·(-cosα)·tan2αsinα·(-sinα)·cos2α=tan2αsin2α=1cos2α.
10.已知角α的终边经过点P45,-35.
(1)求sin α的值;
(2)求sinπ2-αtan(α-π)sin(α+π)cos(3π-α)的值.
解(1)∵P45,-35,|OP|=1,∴sin α=-35.
(2)sinπ2-αtan(α-π)sin(α+π)cos(3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cos α=45,故所求式子的值为54.
能力提升
1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cosα-11π2的值为( )
A.35 B.-35 C.-45 D.45
解析因为cos(α-9π)=-cos α=-35,
所以cos α=35.
又因为α∈(π,2π),所以sin α=-1-cos2α=-45,cosα-11π2=-sin α=45.
答案D
2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin(π-α)-sinπ2+αcos3π2-α+2cos(-π+α)的值为( )
A.-25 B.-45 C.-47 D.-4
解析sin(π-α)-sinπ2+αcos3π2-α+2cos(-π+α)
=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.
因为角α终边上有一点P(1,3),
所以tan α=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.
答案A
3.已知α为第二象限角,则cos α1+tan2α+sin α1+1tan2α= .?
解析原式=cos αsin2α+cos2αcos2α+sin αsin2α+cos2αsin2α
=cos α1|cosα|+sin α1|sinα|.
因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,
所以cos α1|cosα|+sin α1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.
答案0
4.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°= .?
解析sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+…+cos21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+12=892.
答案892
5.已知函数f(x)=2cosx-π12,x∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .?
解析fθ-5π12=2cosθ-5π12?π12=2cosθ-π2=2cosπ2-θ=2sin θ,由已知可得θ为第四象限角,所以sin θ<0,故sin θ=-1-cos2θ=-45,fθ-5π12=2sin θ=2×-45=-425.
答案-425
6.是否存在角α,β,α∈-π2,π2,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=2cosπ2-β,3cos(-α)=-2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
解由条件,得sinα=2sinβ,3cosα=2cosβ, ①②
①2+②2得sin2α+3cos2α=2,∴sin2α=12.
又α∈-π2,π2,
∴α=π4或α=-π4.
将α=π4代入②,得cos β=32.
又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.
将α=-π4代入②得cos β=32,
又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.
综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.
课件29张PPT。第2课时 诱导公式五、六一二自主检测一、诱导公式五、六
1.观察单位圆,回答下列问题:一二2.填空: 自主检测一二自主检测一二?自主检测一二判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)×自主检测探究一探究二探究三思想方法利用诱导公式化简或求值
例1 计算:
(1)sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°);探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法反思感悟 利用诱导公式化简三角函数式的步骤
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”. 探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法利用诱导公式证明三角恒等式
例2 求证:分析本题左、右两边的式子均较复杂,可考虑左、右两边分别化简为同一式子进行证明.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法反思感悟 三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法诱导公式的综合应用
角度1 诱导公式与同角三角函数关系式的综合探究一探究二探究三思想方法反思感悟诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一,也是高考考查的重点、热点,一般解题步骤为:(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
(3)得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到答案.探究一探究二探究三思想方法角度2 诱导公式在三角形中的应用 分析首先利用诱导公式化简已知的两个等式,然后结合sin2A+cos2A=1,求出cos A的值,再利用A+B+C=π进行求解.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法反思感悟在△ABC中,常用到以下结论:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用 探究一探究二探究三思想方法方法点睛利用诱导公式化简三角函数时,要注意诱导公式的符号,即kπ±α的三角函数值的符号与k是奇数还是偶数有关,因此在解决问题时,要注意对k进行讨论.12345答案B 12345答案A 123453.已知sin 10°=k,则cos 620°=( )
A.k B.-k
C.±k D.不能确定
解析cos 620°=cos(360°+260°)=cos 260°=-cos 80°
=-sin 10°=-k.
答案B12345答案-sin2α 12345
