1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课后篇巩固探究
1.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是( )
解析y=sin(-x)=-sin x,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B.
答案B
2.已知cos x=-12,且x∈[0,2π],则角x等于( )
A.2π3或4π3 B.π3或2π3
C.π6或5π6 D.5π6或11π6
解析如图:
由图象可知,x=2π3或4π3.
答案A
3.已知f(x)=sinx+π2,g(x)=cosx-π2,则f(x)的图象( )
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移π2个单位,得g(x)的图象
D.向右平移π2个单位,得g(x)的图象
解析由诱导公式,得f(x)=sinx+π2=cos x,所以f(x)=sinx+π2=cos x的图象向右平移π2个单位,得到g(x)的图象.
答案D
4.函数y=-xcos x的部分图象是( )
解析令y=f(x),因为f(x)的定义域为R,f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcos x=-f(x),所以函数y=-xcos x是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A,C选项;因为当x∈0,π2时,y=-xcos x<0,所以排除B选项.
答案D
5.当x∈[0,2π]时,满足sinπ2-x≥-12的x的取值范围是( )
A.0,2π3 B.4π3,2π
C.0,2π3∪4π3,2π D.2π3,4π3
解析由sinπ2-x≥-12,得cos x≥-12.
画出y=cos x,x∈[0,2π],y=-12的图象,如图所示.
∵cos2π3=cos4π3=-12,
∴当x∈[0,2π]时,由cos x≥-12,
可得x∈0,2π3∪4π3,2π.
答案C
6.在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A.π4,3π4 B.π4,π2∪5π4,3π2
C.π4,π2 D.5π4,7π4
解析当x=π2时,sinπ2=1>cosπ2=0,故排除选项C,D,当5π4
0,故排除选项B.
答案A
7.方程sin x=x10的根的个数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin x与y=x10的图象(如图所示),由图象,得两函数的图象有7个不同交点,即方程sin x=x10的根的个数是7,故选A.
答案A
8.函数y=2cosx-2的定义域是 .?
解析要使函数有意义,只需2cos x-2 ≥0,即cos x≥22.由余弦函数图象知(如图),所求定义域为-π4+2kπ,π4+2kπ,k∈Z.
答案-π4+2kπ,π4+2kπ,k∈Z
9.利用正弦曲线,写出函数y=2sin xπ6≤x≤2π3的值域是 .?
解析y=2sin x的部分图象如图.
当x=π2时,ymax=2,
当x=π6时,ymin=1,
故y∈[1,2].
答案[1,2]
10.设0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则x的取值范围为 .?
解析因为|cos x-sin x|=sin x-cos x,所以sin x≥cos x,由y=sin x,y=cos x在[0,2π]上的图象,得π4≤x≤5π4.
答案π4,5π4
11.函数y=2sin x与函数y=x图象的交点有 个.?
解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=2sin x与y=x的图象可见有3个交点.
答案3
12.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则实数k的取值范围为 .?
解析作出f(x)=3sinx,0≤x≤π,-sinx,π答案(1,3)
13.利用“五点法”画出函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的简图.
解(1)取值列表如下:
x
0
π2
π
3π2
2π
sin x
0
1
0
-1
0
y=2-sin x
2
1
2
3
2
(2)描点连线,图象如图所示:
14.用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间.
①y>1;②y<1.
(2)若直线y=a与y=1-2sin x,x∈[-π,π]的图象有两个交点,求a的取值范围.
解列表如下:
x
-π
-π2
0
π2
π
sin x
0
-1
0
1
0
1-2sin x
1
3
1
-1
1
描点,连线得:
(1)由图象可知图象在直线y=1上方部分时y>1,在直线y=1下方部分时y<1,所以,①当x∈(-π,0)时,y>1;②当x∈(0,π)时,y<1.
(2)如图所示,当直线y=a与y=1-2sin x有两个交点时,1课件32张PPT。1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一二自主检测一、正弦函数的图象
1.对于任意一个实数x,其正弦值、余弦值是否唯一?能否将sin x,cos x看作是关于变量x的函数?
提示唯一,能.
2.正、余弦函数的解析式及其定义域一二自主检测3.作函数图象最基本的方法是什么?如果用描点法作正弦函数y=sin x在[0,2π]内的图象,可取哪些点?
提示作函数图象最基本的方法是描点法;用描点法作正弦函数y=sin x在[0,2π]内的图象,可取当x=0, ,…时的各点.
4.填空:利用正弦线作正弦函数的图象
利用正弦线作正弦函数图象的步骤:
(1)等分;(2)作正弦线;(3)平移得点;(4)连线.
5.如何得到x∈[2π,4π],[-2π,0],…时,y=sin x的图象?
提示根据诱导公式一,可将函数y=sin x在[0,2π]内的图象通过向左、向右平移得到.一二自主检测6.填空:正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫正弦曲线.
7.在函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,起关键作用的点有哪几个?
提示一个最高点、一个最低点、三个图象与x轴的交点.
8.填空:“五点作图法”作正弦曲线(2)将所得图象向左、向右平移(每次2π个单位长度).一二自主检测答案B 一二自主检测二、余弦函数的图象一二自主检测一二自主检测判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)作正弦函数和余弦函数的图象时,所取的“五点”是相同的. ( )
(2)正弦曲线和余弦曲线都介于直线y=1和y=-1之间. ( )
(3)正弦曲线与余弦曲线都关于原点对称. ( )答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)× (7)√ (8)√探究一探究二探究三思想方法用“五点法”作三角函数的图象
例1 用“五点法”作出下列函数的图象:
(1)y=sin x-1,x∈[0,2π];
(2)y=1- cos x,x∈[-2π,2π].
分析(1)先在[0,2π]上找出5个关键点,再用光滑曲线连接;(2)先用“五点法”作出函数在[0,2π]上的图象,再通过对称或平移得到[-2π,0]上的图象.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法反思感悟用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)(或y=Acos x+b(A≠0))在[0,2π]上的简图的步骤:
(1)列表:探究一探究二探究三思想方法变式训练1画出函数y=3+2cos x,x∈[0,2π]的简图.
解列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来,得函数y=3+2cos x,x∈ [0,2π]的图象(如图所示).探究一探究二探究三思想方法利用“图象变换法”作三角函数的图象
例2 利用图象变换法作出下列函数的图象:
(1)y=1-cos x,x∈[0,2π];分析(1)先作函数y=cos x的图象,再得到y=-cos x的图象,最后得到y=1-cos x的图象;(2)先将解析式化简为y=|sin x|,再画出函数y=sin x的图象,最后得到y=|sin x|的图象.探究一探究二探究三思想方法解(1)先用“五点法”作出函数y=cos x的图象,再将该图象关于x轴对称,得到y=-cos x的图象,最后将该图象向上平移1个单位,即得y=1-cos x的图象(如图①).
(2) =|sin x|,先用“五点法”作出函数y=sin x在[0,4π]上的图象,再将该图象在x轴上方的图象保持不动,下方的图象关于x轴对称翻折到上方,即得y=|sin x|的图象(如图②).探究一探究二探究三思想方法反思感悟 图象变换的规律
1.平移变换
(1)函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到的;
(2)函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到的.探究一探究二探究三思想方法2.对称变换
(1)函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的部分对称翻折到x轴上方得到;
(2)函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其对称翻折到y轴左侧得到;
(3)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;
(4)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
(5)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.探究一探究二探究三思想方法延伸探究在本例中,如何利用图象变换作出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简图?探究一探究二探究三思想方法正、余弦曲线的简单应用 分析构造三角不等式→画函数图象→求函数定义域 探究一探究二探究三思想方法反思感悟 1.用三角函数的图象解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)作出y=a,y=sin x(或y=cos x)的图象.
(2)确定sin x=a(或cos x=a)的x值.
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集.
2.利用三角函数线解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)找出使sin x=a(或cos x=a)的两个x值的终边所在的位置.
(2)根据变化趋势,确定不等式的解集.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法利用数形结合思想解决问题
典例 方程lg x=sin x的解的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
审题视角该方程无法用求根公式求解,且只要求得到方程根的个数,而函数y=sin x和y=lg x是基本初等函数,其图象容易画出,因此可采用数形结合的方法,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个数.探究一探究二探究三思想方法答案D 探究一探究二探究三思想方法方法点睛数形结合思想是一种重要的数学思想,在研究方程的根以及根的个数问题时,若方程中涉及的函数是基本初等函数,其图象容易作出,这时可以将方程的根转化为函数图象的交点,通过数形结合解决问题,使抽象的代数问题获得直观形象地解决.探究一探究二探究三思想方法变式训练(1)方程2x=cos x的解的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.无穷多个
(2)在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围是( )探究一探究二探究三思想方法解析(1)画出y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点有无数个,故选D.答案(1)D (2)C 123451.用“五点法”作函数y=2-3sin x的图象,下列点中不属于五个关键点之一的是( )答案B 123452.函数y=cos(x+3π)的图象与余弦函数图象( )
A.关于x轴对称
B.关于原点对称
C.关于原点和x轴对称
D.关于原点和坐标轴对称
解析因为y=cos(x+3π)=-cos x,所以其图象与余弦函数y=cos x的图象关于原点和x轴都对称.
答案C12345答案D 123454.函数y=x2-cos x的零点个数为 .?
解析在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图象,如图所示.则两个函数图象有2个交点,∴函数y=x2-cos x的零点有两个.答案2 123455.用“五点法”作出函数y=1+2sin x,x∈[0,2π]的图象.
解列表: