1.4.3 正切函数的性质与图象
课后篇巩固探究
1.函数f(x)=tan2xtanx的定义域为( )
A.xx∈R,且x≠kπ4,k∈Z
B.xx∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z
C.xx∈R,且x≠kπ+π4,k∈Z
D.xx∈R,且x≠kπ-π4,k∈Z
解析由题意得x≠kπ,x≠kπ+π2,k∈Z,2x≠kπ+π2,即x≠kπ2,x≠kπ2+π4,k∈Z,所以x≠kπ4(k∈Z),选A.
答案A
2.若函数f(x)=tanωx-π4与函数g(x)=sinπ4-2x的最小正周期相同,则ω=( )
A.±1 B.1 C.±2 D.2
解析∵函数g(x)的周期为2π2=π,
∴π|ω|=π,∴ω=±1.
答案A
3.函数y=tanx+π5的一个对称中心是( )
A.(0,0) B.π5,0
C.4π5,0 D.(π,0)
解析令x+π5=kπ2,k∈Z,得x=kπ2?π5,k∈Z,所以函数y=tanx+π5的对称中心是kπ2-π5,0.
令k=2,可得函数的一个对称中心为4π5,0.
答案C
4.函数f(x)=tanπ4-x的单调递减区间为( )
A.kπ-3π4,kπ+π4,k∈Z
B.kπ-π4,kπ+3π4,k∈Z
C.kπ-π2,kπ+π2,k∈Z
D.(kπ,(k+1)π),k∈Z
解析因为f(x)=tanπ4-x=-tanx-π4,所以原函数的单调递减区间就是函数y=tanx-π4的单调递增区间.
所以kπ-π2≤x-π4≤kπ+π2,k∈Z,即kπ-π4≤x≤kπ+3π4,k∈Z.故原函数的单调递减区间是kπ-π4,kπ+3π4,k∈Z.
答案B
5.在区间-3π2,3π2范围内,函数y=tan x与函数y=sin x图象交点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析在同一平面直角坐标系中,首先作出y=sin x与y=tan x在-π2,π2内的图象,需明确x∈0,π2时,有sin x答案C
6.函数y=tanπ2-xx∈-π4,π4,且x≠0的值域为 .?
解析∵-π4≤x≤π4,且x≠0,
∴π4≤π2-x≤3π4,且π2-x≠π2.
∴由y=tan x的图象知y=tanπ2-x的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞).
答案(-∞,-1]∪[1,+∞)
7.若函数f(x)=2tankx+π3的最小正周期T满足1解析由题意知1<πk<2,即k<π<2k.
又k∈N,所以k=2或k=3.
答案2或3
8.已知函数y=tan ωx在-π2,π2内是减函数,则ω的取值范围为 .?
解析由题意可知ω<0,又π2ω,-π2ω?-π2,π2,故-1≤ω<0.
答案[-1,0)
9.关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:
①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;
②f(x)的图象关于π2-φ,0对称;
③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;
④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.
其中不正确的说法的序号是 .?
解析①若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所以①错;观察正切函数y=tan x的图象,可知y=tan x关于kπ2,0(k∈Z)对称,令x+φ=kπ2,k∈Z,得x=kπ2-φ,分别令k=1,2知②,③正确,④显然正确.
答案①
10.方程12x-tan x=0在x∈-π2,π2∪π2,3π2内的根的个数为 .?
解析分别画出y=12x与y=tan x在x∈-π2,π2∪π2,3π2内的图象,如图.
易知y=12x与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.
答案2
11.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈-π4,π4的值域.
解∵-π4≤x≤π4,
∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-π4时,ymin=-4,
当t=1,即x=π4时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
12.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tanπ4-ax在区间π8,5π8上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.
解y=tanπ4-ax=tan-ax+π4,
∵y=tan x在区间kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)上为增函数,∴a<0,
又x∈π8,5π8,∴-ax∈-aπ8,-5aπ8,
∴π4-ax∈π4?aπ8,π4?5aπ8,
∴kπ-π2≤π4-aπ8(k∈Z),kπ+π2≥π4-5aπ8(k∈Z).
解得-25?8k5≤a≤6-8k(k∈Z).
由-25?8k5=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.
∴a=-2<0,
∴存在a=-2∈Z,满足题意.
13.设函数f(x)=asinkx+π3和φ(x)=btankx-π3,k>0,若它们的最小正周期之和为3π2,且fπ2=φπ2,fπ4=-3φπ4+1,求f(x),φ(x)的解析式.
解f(x)=asinkx+π3的最小正周期T=2πk.
φ(x)=btankx-π3的最小正周期T=πk.
∵2πk+πk=3π2,∴k=2.
∴f(x)=asin2x+π3,φ(x)=btan2x-π3,
∴fπ2=asinπ+π3=-asin π3=-32a.
φπ2=btanπ-π3=-btan π3=-3b.
fπ4=asinπ2+π3=acos π3=12a.
φπ4=btanπ2?π3=33b.
∴-32a=-3b,12a=-3×(33b)+1.
化简得a=2b,12a=-b+1,
解得a=1,b=12.
∴f(x)=sin2x+π3,φ(x)=12tan2x-π3.
课件33张PPT。1.4.3 正切函数的性质与图象一二自主检测一、正切函数的图象
1.根据同角的三角函数基本关系中的商数关系,你能否推断y=tan x是一个周期函数?一二2.填空:(1)正切函数的图象(如图):
?
?
?
?
?
?
(2)正切函数的图象叫做正切曲线.
(3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线___________________所隔开的无穷多支曲线组成的.自主检测一二二、正切函数的性质
1.观察正切曲线,思考:正切函数的值域是什么?正切函数是整个定义域上的增函数吗?正切函数会不会在某一区间内是减函数?正切函数的图象关于某些直线对称吗?关于某些点对称吗?
提示正切函数的值域是R;正切函数在整个定义域上不是增函数;正切函数不会在某一区间内是减函数,正切函数的图象不可能关于某条直线对称;关于一些点是对称的.自主检测一二2.填空: 自主检测一二自主检测一二判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)正切函数的定义域和值域都是R. ( )
(2)正切函数在其定义域内是单调递增函数. ( )
(3)函数y=|tan x|与y=tan x的周期相等,都是π. ( )
(4)函数y=tan x的所有对称中心是(kπ,0)(k∈Z). ( )
(5)直线y=a与正切函数y=tan x图象相邻两个交点之间的距离为π. ( )答案(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√ (7)× (8)× 自主检测探究一探究二探究三思维辨析正切函数的定义域与值域问题
例1 求下列函数的定义域和值域:分析根据正切函数的定义域和值域并结合正切函数的图象求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求正切函数定义域的方法及注意点:
求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ +kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.解形如tan x>a的不等式的步骤:探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析正切函数的图象及其应用
角度1 求单调区间探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析角度2 比较大小
例3 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:分析利用周期性化角到某个单调区间内→利用函数的单调性比较大小探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟正切函数的单调性在比较大小中的应用技巧
利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小,实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在同一个单调区间内进行比较.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析正切函数的周期性与奇偶性
例4 (1)求函数 的最小正周期;
(2)已知函数f(x)=asin x+btan x+2 018,若f(2 019)=-1,求f(-2 019)的值.
分析(1)根据正切函数最小正周期求解;(2)根据函数y=asin x+btan x是奇函数求解.探究一探究二探究三思维辨析(2)令g(x)=asin x+btan x,则f(x)=g(x)+2 018.
因为g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x),
所以g(x)是奇函数.
因为f(2 019)=g(2 019)+2 018=-1,
所以g(2 019)=-2 019,则g(-2 019)=2 019,
故f(-2 019)=g(-2 019)+2 018=2 019+2 018=4 037.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析答案(1)A (2)±2 弄错正切函数图象的对称中心致误 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析防范措施 正切函数y=tan x图象的对称中心是 (k∈Z),而不是(kπ,0)(k∈Z),要熟记.在求参数的值时,务必注意参数的取值范围,要在所给定的范围内求解.12345答案B 6123452.函数f(x)=sin xtan x( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数由f(-x)=sin (-x)·tan(-x)=(-sin x)·(-tan x)=sin xtan x=f(x),则f(x)是偶函数.故选B.
答案B6123456123456123456答案< 123456123456
