1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
课后篇巩固探究
基础巩固
1.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π2 在一个周期内的简图时,列表如下:
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π4
5π12
7π12
3π4
y
0
2
0
-2
0
则有( )
A.A=0,ω=π12,φ=0
B.A=2,ω=3,φ=π12
C.A=2,ω=3,φ=-π4
D.A=1,ω=2,φ=-π12
解析由表格得A=2,3π4?π12=2πω,
∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.
当x=π12时,3x+φ=kπ,k∈Z,
又|φ|<π2,∴φ=-π4.
答案C
2.函数y=sin2x-π3在区间-π2,π上的简图是( )
解析当x=0时,y=sin-π3=-32<0,故可排除B,D;当x=π6时,sin2×π6-π3=sin 0=0,排除C.
答案A
3.要得到函数y=sinx-π3的图象,只需将函数y=sinx+π6的图象( )
A.向右平移π3个单位
B.向左平移π3个单位
C.向右平移π2个单位
D.向左平移π6个单位
解析因为y=sinx-π2+π6=sinx-π3,所以应将函数y=sinx+π6的图象向右平移π2个单位.
答案C
4.在同一平面直角坐标系中,函数y=cosx2+3π2(x∈[0,2π])的图象和直线y=12的交点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.4
解析作出函数y=cosx2+32π,x∈[0,2π]的图象及y=12的图象可得,应选C.
答案C
5.有四种变换:
①向左平移π4个单位长度,再各点的横坐标缩短为原来的12;
②向左平移π8个单位长度,再各点的横坐标缩短为原来的12;
③各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度;
④各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度,
其中能使y=sin x的图象变为y=sin2x+π4的图象的是( )
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析由y=sin x的图象变为y=sin2x+π4的图象有两种图象变换方式,第一种:先平移,后伸缩,向左平移π4个单位长度,再各点的横坐标缩短为原来的12;第二种:先伸缩,后平移;各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度.
答案A
6.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是π2,直线x=π3是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )
A.y=4sin4x+π6
B.y=2sin2x+π3+2
C.y=2sin4x+π3+2
D.y=2sin4x+π6+2
解析由题意可得,A=4-02=2,m=4+02=2,ω=2πT=2ππ2=4,
∴φ=kπ+π2?4π3,
∴当k=1时,φ=3π2?4π3=π6,
∴符合条件的一个解析式为y=2sin4x+π6+2.
答案D
7.把函数f(x)=cos2x-π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,得到函数g(x)的图象,则g(x)的最小正周期是 .?
解析由已知得g(x)=cos4x-π6,故最小正周期T=2π4=π2.
答案π2
8.(2018江苏,7)已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称,则φ的值为 .?
解析由题意可得sin2π3+φ=±1,解得2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),即φ=-π6+kπ(k∈Z).
因为-π2<φ<π2,所以k=0,φ=-π6.
答案-π6
9.已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,再把所得的图象沿x轴向左平移π2个单位长度,这样得到的图象与y=12sin x的图象相同,求f(x)的解析式.
解(反过来想)y=12sin x的图象y=12sinx-π2的图象y=12sin2x-π2的图象,即所求解析式为f(x)=12sin2x-π2.
能力提升
1.已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cos ωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移π8个单位长度
B.向右平移π8个单位长度
C.向左平移π4个单位长度
D.向右平移π4个单位长度
解析函数f(x)的最小正周期为π,则ω=2ππ=2,所以f(x)=sin2x+π4.下面用诱导公式化同名,f(x)=sin2x+π4=cosπ2-2x+π4=cosπ4-2x=cos2x-π4=cos2x-π8.要想得到函数g(x)=cos 2x的图象,只要把f(x)解析式中的x换成x+π8即可,因此只需把函数f(x)的图象向左平移π8个单位长度即可.故选A.
答案A
2.若将函数f(x)=3sinωx-π3的图象向左移动2π3之后的图象与原图象的对称中心重合,则正实数ω的最小值是( )
A.32 B.12
C.23 D.13
解析将函数f(x)=3sinωx-π3的图象向左移动2π3之后,可得y=3sinωx+2π3-π3=3sinωx+2ωπ3?π3的图象.
由于所得的图象与原图象的对称中心重合,故所得图象与原图象相差半个周期的整数倍,所以2π3=k·πω(k∈Z),故ω=3k2(k∈Z),则正实数ω的最小值为32.
答案A
3.已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g(x)=sin12x+π4的图象,只需将y=f(x)的图象上 .?
解析∵f(x)的最小正周期为π,
∴2πω=π.
∴ω=2.∴f(x)=sin2x+π4.
又g(x)=sin12x+π4=sin2×14x+π4,
∴只需将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g(x)=sin12x+π4的图象.
答案所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变
4.若函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2,且该函数的图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈0,π2,则x0= .?
解析由f(x)=sinωx+π6(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为T2=π2,知T=π,ω=2,又图象关于点(x0,0)成中心对称,得2x0+π6=kπ(k∈Z),而x0∈0,π2,则x0=512π.
答案512π
5.已知函数y=2sin2x+π3.
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
(2)说明y=2sin2x+π3的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.
解(1)令x'=2x+π3,
则y=2sin2x+π3=2sin x'.
列表:
x
-π6
π12
π3
7π12
5π6
x'=2x+π3
0
π2
π
3π2
2π
y=sin x'
0
1
0
-1
0
y=2sin2x+π3
0
2
0
-2
0
描点连线得函数图象:
(2)把y=sin x的图象上所有的点先向左平移π3个单位长度,得到y=sinx+π3的图象,再把y=sinx+π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin2x+π3的图象,最后把y=sin2x+π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin2x+π3的图象.
6.将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x的图象.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[0,3π]时,方程f(x)=m有唯一实数根,求m的取值范围.
解(1)将y=sin x的图象向左平移π6个单位长度可得y=sinx+π6的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得y=sin12x+π6的图象,故f(x)=sin12x+π6.
(2)令2kπ+π2≤12x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),
则4kπ+2π3≤x≤4kπ+8π3(k∈Z).
又x∈[0,3π],所以x∈0,2π3,f(x)单调递增,x∈2π3,8π3,f(x)单调递减,x∈8π3,3π,f(x)单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1,当x=0时,m=12,当x=3π时,m=-32.
故使方程f(x)=m有唯一实数根的m的取值范围为m∈-32,12∪{-1,1}.
课件42张PPT。1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象一二三四自主检测一、φ对函数y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响提示y=sin(x+φ)的图象可以由函数y=sin x的图象经过左右平移|φ|个单位得到.一二三四2.填空:如图,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度得到的.自主检测一二三四答案B 自主检测一二三四二、ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
1.在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=sin 2x与y=sin x的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析,y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间有什么关系?
提示y=sin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(x+φ)的图象经过左右伸缩变换得到.自主检测一二三四2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到.自主检测一二三四答案B 自主检测一二三四三、A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
1.在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=4sin x与 y= sin x的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析,y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sin(ωx+φ)的图象之间有什么关系?
提示y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上下伸缩变换得到.自主检测一二三四2.填空:如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
1.作函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢?
提示作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移后伸缩,也可以先伸缩后平移.自主检测一二三四(2)变换法:
由y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的方法如下:
①先平移后伸缩②先伸缩后平移 自主检测一二三四 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.自主检测一二三四自主检测答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)√ (8)× (9)√ 探究一探究二探究三探究四思维辨析用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点及两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤
第一步:列表.第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,得到图象.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
角度1 图象的变换方式分析本题考查三角函数的图象变换问题,可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑,得到答案.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析角度2 求函数的解析式 分析确定逆向变换过程→由伸缩变换确定ω→由平移变换确定φ→确定函数解析式答案B 探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.对函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,φ≠0,k≠0),其图象的基本变换有:
①振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的,A>1时伸长,A<1时缩短.
②周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的,ω>1时缩短,ω<1时伸长.
③相位变换(横向平移变换):是由φ引起的,φ>0时左移,φ<0时右移.
④上下平移(纵向平移变换):是由k引起的,k>0时上移,k<0时下移.
可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
2.若相应变换的函数名不同时,先利用诱导公式将函数名化一致,再利用相应的变换得到结论.
3.由y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,φ≠0,k≠0)的图象得到y=sin x的图象,可采用逆向思维,将原变换反过来逆推得到.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析三角函数图象变换的应用 答案B 探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性:
(1)当φ=kπ(k∈Z)时,函数是奇函数;
(2)当φ=kπ+ (k∈Z)时,函数是偶函数;
(3)当φ≠kπ,且φ≠kπ+ (k∈Z)时,函数是非奇非偶函数.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析图象的综合应用
例5 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示， ,则f(0)= .?分析本题提供的图象蕴含着丰富的信息,关键是如何利用这些信息.可以通过求函数解析式来解,也可以寻找解决问题的新途径,充分利用三角函数的性质来求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟由图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)+k的一般步骤:
第一步:定A,k,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A,k的值.
第二步:定周期,借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周期.
第三步:定ω,根据周期公式确定参数ω的值.
第四步:定φ,利用函数图象及五点作图法中的“五点”,建立关于φ的方程,求之即得φ的值.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析答案(1)D (2)0 探究一探究二探究三探究四思维辨析三角函数图象平移变换规则不清致误 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析防范措施在解决三角函数图象的平移变换时,注意以下几点:
(1)平移之前应先将函数解析式化为同名的函数;
(2)弄清楚平移的方向,即平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象要清楚;
(3)平移的单位数是针对单一自变量x而言的,不是ωx+φ中的φ,而是 .12345答案:B 123452.将函数y=sin 2x的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数答案A 123453.将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)得 的图象.?
解析依题意知,将y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 后,可得y=sin 6x的图象.
答案y=sin 6x123451234512345