1.6 三角函数模型的简单应用
课后篇巩固探究
1.
如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为s=6sin2πt+π6,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.2π s B.π s
C.0.5 s D.1 s
解析单摆来回摆动一次所需的时间即为函数s=6sin2πt+π6的一个周期T=2π2π=1(s).
答案D
2.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是12,32,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( )
A.[0,1]
B.[1,7]
C.[7,12]
D.[0,1]和[7,12]
解析由已知可得该函数的周期为T=12,ω=2πT=π6.
又当t=0时,A12,32,
则y=sinπ6t+π3,由t∈[0,12],可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12].
答案D
3.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )
解析由题意可得f(x)=12sin2x,x∈0,π2,-12sin2x,x∈π2,π,0≤f(x)≤12,排除A,B,D,选项C满足函数的图象,故选C.
答案C
4.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y),若初始位置为P032,12,当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A.y=sinπ30t+π6
B.y=sin-π60t-π6
C.y=sin-π30t+π6
D.y=sin-π30t-π3
解析设y=sin(ωt+φ),其中ω<0.
由2π|ω|=60,得|ω|=π30,∴ω=-π30.
∴y=sin-π30t+φ.
又当t=0时,y=12,
∴φ=π6.
∴y=sin-π30t+π6.
答案C
5.某地一天0~24时的气温y(单位:℃)与时间t(单位:h)的关系满足函数y=6sinπ12t-2π3+20(t∈[0,24]),则这一天的最低气温是 ℃.?
解析因为0≤t≤24,所以-2π3≤π12t-2π3≤4π3,故当π12t-2π3=-π2,即t=2时函数取最小值-6+20=14.
答案14
6.如图,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动,则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为 .?
解析当质点P从P0转到点P位置时,点P转过的角度为ωt,
则∠POx=ωt+φ,
由任意角的三角函数定义知点P的纵坐标y=rsin(ωt+φ).
答案y=rsin(ωt+φ)
7.生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型.下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).
时间(时)
0
2
4
6
8
10
12
温度(℃)
36.8
36.7
36.6
36.7
36.8
37
37.2
时间(时)
14
16
18
20
22
24
温度(℃)
37.3
37.4
37.3
37.2
37
36.8
(1)作出这些数据的散点图;
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据;
(3)作出(2)中所选函数的图象.
解(1)散点图如下:
(2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+C,
则C=37.4+36.62=37,A=37.4-37=0.4,
ω=2πT=2π24=π12.
由0.4sinπ12×16+φ+37=37.4,
得sin4π3+φ=1,取φ=-5π6.
故可用函数y=0.4sinπ12t-5π6+37来近似描述这些数据.
(3)图象如下:
课件28张PPT。1.6 三角函数模型的简单应用一二自主检测一、三角函数模型的作用
1.三角函数能够模拟现实中的许多周期现象,你能举出一些这样的例子吗?
提示物理中的简谐振动、交流电中的电流、海洋潮汐和水车问题等都是日常生活中的一些周期现象.
2.填空:三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥重要作用.一二二、应用三角函数模型解决问题的一般程序
1.填空:
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目周期性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.自主检测一二2.做一做:如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为 .?自主检测一二自主检测判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型.( )
(3)若电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=4sin 200πt,t∈[0,+∞),则电流的最大值为4 A.( )
答案:(1)√ (2)× (3)√探究一探究二探究三思维辨析三角函数模型在日常生活中的应用
例1 心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期;
(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)画出函数p(t)的草图;
(4)求出此人的血压在血压计上的读数.分析:函数解析式已知,可根据周期公式以及周期与频率的关系解决(1)(2).用“五点作图法”解决(3).由函数解析式或图象得出函数的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数从而得(4).探究一探究二探究三思维辨析描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟在日常生活中,呈周期变化的现象,可利用三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决相关问题.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ<0).
?
?
?
?
?
(1)根据图中数据求函数解析式;
(2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰?探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析三角函数模型在物理中的应用
例2 已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0).
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示,试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;探究一探究二探究三思维辨析分析对于(1),由于解析式的类型已经确定,只需根据图象确定参数A,ω,φ的值即可.其中A可由最大值与最小值确定,ω可由周期确定,φ可通过特殊点的坐标,解方程求得.对于(2),可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 三角函数在物理中的应用
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交流电电流、电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为 .
(1)作出函数的图象;
(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?
(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?
(4)单摆来回摆动一次需多长时间?探究一探究二探究三思维辨析数据拟合三角函数模型问题
例3已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据.(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?
分析作出散点图→判断形状构建模型→求参数探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟处理数据拟合和预测问题的几个步骤:
(1)根据原始数据,绘出散点图;
(2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线;
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.探究一探究二探究三思维辨析延伸探究本例(2)中,按照规定,该海滨浴场在每天上午对冲浪爱好者开放之前,须首先对海滨浴场的各种设施进行全面详细的安全检查,且检查工作必须在海浪高度低于 米时进行,试问:海滨浴场工作人员须在上午的哪个时段对设施进行安全检查?探究一探究二探究三思维辨析不能正确理解简谐运动的过程致误
典例 弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,某时刻振子处在点B,经0.5 s振子首次达到点C.求:
(1)振动的振幅、周期和频率;
(2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小.
错解(1)因为B,C相距20 cm,
所以振幅A=20 cm.
因为从点B经0.5 s振子首次达到点C,
所以周期T=0.5 s,频率f= =2.
(2)5 s内的路程=位移=5A=5×20=100 cm.探究一探究二探究三思维辨析?探究一探究二探究三思维辨析?探究一探究二探究三思维辨析防范措施对于简谐振动,要结合物理中所学的知识加强对相关概念以及解析式y=Asin(ωx+φ)中参数意义的理解,弄清它们之间的区别与联系,以便正确求解.12341.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙的位置将移至( )A.x轴上 B.最低点 C.最高点 D.不确定
解析相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
答案C12342.如图所示是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是 ( )
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为-5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
解析由题中图象及简谐运动的有关知识知,T=0.8 s,A=5 cm.当t=0.1 s或0.5 s时,v为零.
答案D1234答案D 12344.在波士顿,估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)= ,其中t表示某天的序号,t=0表示1月1日,以此类推.
(1)问哪一天白昼最长?哪一天最短?
(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时?
