第一章三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
课后篇巩固探究
1.200°角是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析因为180°<200°<270°,第三象限角α的取值范围为k·360°+180°<α答案C
2.在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为( )
A.-300° B.-300°,60°
C.60° D.420°
解析与60°角终边相同的角α可表示为α=60°+k·360°,当k=-1时,α=-300°,故在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为-300°.
答案A
3.若角θ是第四象限角,则90°+θ是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析如图,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.
答案A
4.角α=45°+k×180°(k∈Z)的终边落在( )
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
解析当k是偶数时,角α是第一象限角,当k是奇数时,角α是第三象限角.
答案A
5.
如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}
解析如题图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.
答案C
6.已知集合M= x x=k·180°2±45°,k∈Z ,P=xx=k·180°4±90°,k∈Z,则M,P之间的关系为 ( )
A.M=P B.M?P
C.M?P D.M∩P=?
解析对于集合M,x=k·180°2±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z,对于集合P,x=k·180°4±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴M?P.
答案B
7.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β= .?
解析在-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.
答案-30°+k·360°,k∈Z
8.若角α与角8π5终边相同,则在[0,2π]内终边与角α4终边相同的角是 .?
解析由题意,得α=8π5+2kπ(k∈Z),α4=2π5+kπ2(k∈Z).又α4∈[0,2π],所以k=0,1,2,3,相应地有α4=2π5,9π10,7π5,19π10.
答案2π5,9π10,7π5,19π10
9.终边落在图中阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为 .?
解析
由图易知在0°~360°范围内,终边落在阴影区域内(包括边界)的角为45°≤α≤90°与225°≤α≤270°,故终边落在阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°,k∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}.
答案{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}
10.已知α=-1 910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
解(1)设α=β+k·360°(k∈Z),
则β=-1 910°-k·360°(k∈Z).
令-1 910°-k·360°≥0,
解得k≤-1 910360=-51136.
k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,
于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.
(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),
取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.
250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.
故θ=-110°或θ=-470°.
11.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.
解在0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,
故所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α12.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.
解由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.
∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.
取k=1,得α+β=80°. ①
α-β=670°+k·360°,k∈Z.
∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.
取k=-2,得α-β=-50°. ②
由①②,得α=15°,β=65°.
课件42张PPT。1.1.1 任意角一二三自主检测一、角的概念
1.(1)初中所学的角是如何定义的?初中学过哪些角?初中学过的角的范围是什么?
提示:具有公共顶点的两条射线组成的图形;锐角、直角、钝角、平角、周角;0°<α≤360°.
(2)在奥运会比赛中,跳水是极具观赏性的项目,其中解说员经常播报出场运动员完成的动作难度系数和一些动作名称.比如说“107B”就表示向前翻腾3周半屈体,“107C”就是向前翻腾3周半抱膝(第三个数字表示翻腾的周数,以“1”为半圆,“2”为一周,“3”为一周半,以此类推).若一位跳水运动员做了一个“5253B”动作,你知道这位运动员翻腾的周数吗?怎样度量这种形式的角呢?
提示:5253B中第3个数是5,说明该运动员翻腾两周半,对这样的角的认识必须将以前学过的角的概念进行推广.一二三2.填空:(1)角的概念:平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类自主检测一二三3.做一做:每周一早晨,光明中学都会在操场上举行升旗仪式,若升旗仪式需要15分钟,则15分钟的时间,钟表的分针走过的角度是 .?答案-90° 自主检测一二三二、象限角
1.如果将一个角放到平面直角坐标系中,那么如何区分不同大小、不同范围的角呢?
提示固定其顶点和始边的位置,根据其终边的位置来确定角的大小与范围.
2.填空:象限角的定义
(1)前提:
①角的顶点与原点重合;
②角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;
角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限.自主检测一二三3.做一做:在平面直角坐标系中,指出下列各角分别是第几象限角.
(1)30°; (2)120°; (3)-60°; (4)225°.
答案(1)第一象限角;(2)第二象限角;(3)第四象限角;(4)第三象限角.自主检测一二三三、终边相同的角
1.在同一平面直角坐标系内作出30°,390°,-330°,750°角,观察它们的终边有什么关系,这些角之间相差多少度?
提示终边在相同的位置,它们之间相差360°的整数倍.
2.填空:一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
3.做一做:与-40°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°-40°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+40°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°±40°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°+80°,k∈Z}
答案A自主检测一二三4.与1 680°角终边相同的最大负角是 .?
解析:1 680°=5×360°-120°,故与1 680°角终边相同的最大负角是-120°.
答案:-120°自主检测一二三判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)第一象限的角都是锐角.( )
(2)小于90°的角一定是锐角.( )
(3)终边相同的角一定相等.( )
(4)第四象限角可以是负角.( )
(5)三角形的内角必是第一、二象限的角.( )
(6)第二象限的角都是钝角.( )
(7)-435°是第三象限角.( )
(8)若角α是第一象限角,则角α2是第一、三象限的角.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)× (8)√自主检测探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析任意角的概念及其表示
例1 经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A.60°,720° B.-60°,-720°
C.-30°,-360° D.-60°,720°
解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而 ×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.
答案B探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟
确定任意角的方法:
(1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,顺时针方向旋转形成的角为负角.
(2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析变式训练1把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A.120° B.-120°
C.240° D.-240°
解析一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是-240°,故选D.
答案D探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析坐标系中角的概念及其表示
角度1 终边相同的角的求解
例2 写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1 080°范围内与75°角终边相同的角.
分析根据与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z},写出与75°角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出360°~1 080°范围内的角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解与75°角终边相同的角的集合为
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
当360°≤β<1 080°时,即360°≤k·360°+75°<1 080°,又k∈Z,所以k=1或k=2.
当k=1时,β=435°;
当k=2时,β=795°.
综上所述,与75°角终边相同且在360°~1 080°范围内的角为435°角和795°角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟
求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α (k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2 终边在某条直线上的角的集合
例3 写出终边在如图所示的直线上的角的集合.分析定0°~360°范围内终边在所给直线上的两个角→分别写出与两个角终边相同的角的集合→写出两个集合的并集即可探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解(1)在0°~360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.
(2)由图形易知,在0°~360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.
(3)终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},结合(2)知所求角的集合为S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合
终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};
终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+180°,k∈Z};
终边落在x轴上的角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};
终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};
终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°-90°,k∈Z};
终边落在y轴上的角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z};
终边落在坐标轴上的角的集合为{x|x=k·90°,k∈Z}.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度3 区域角的求解
例4 如图所示,写出顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).分析(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;
(2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180°就会重复出现.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解:(1)对于阴影部分,先取[-60°,75°]这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.
(2)对于阴影部分,先取[60°,90°]这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为{α|60°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.
反思感悟区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:
(1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;
(2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β;
(3)分别将起始边界,终止边界的对应角α,β加上360°的整数倍,即可求得区域角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析答案:C 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析象限角及其应用
角度1 给定一个角判断它是第几象限角
例5 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角.
(1)405°;(2)-45°;(3)495°;(4)-520°.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解作出各角的终边如图所示. 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析由图可知:(1)405°是第一象限角;(2)-45°是第四象限角;(3)495°是第二象限角;(4)-520°是第三象限角角.
(1)405°=45°+360°,所以在0°~360°范围内,与405°角终边相同的角是45°.
(2)-45°=315°-360°,所以在0°~360°范围内,与-45°角终边相同的角是315°角.
(3)495°=135°+360°,所以在0°~360°范围内,与495°角终边相同的角是135°角.
(4)-520°=200°-2×360°,所以在0°~360°范围内,与-520°角终边相同的角是200°角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟
(1)作给定的各个角时,可先找出在0°~360°范围内与其终边相同的角,然后根据角的表示方式,利用正角逆时针旋转相应的圈数,负角顺时针旋转相应的圈数,在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可.
(2)判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β+k·360°(其中k∈Z,β在0°~360°范围内)的形式,观察角β的终边所在的象限即可.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2 对 (n∈N*)所在象限的判定
例6 若角α是第二象限角,试确定角2α, 是第几象限角.
分析解∵α是第二象限角,∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),则
(1)180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),
∴2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析2.由α所在象限,确定 所在象限,也可用如下方法判断:
(1)画出区域:将坐标系每个象限二等分,得到8个区域;
(2)标号:自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(如图所示);
?
?
?
?
(3)确定区域:找出与角α所在象限标号一致的区域,即为所求.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析案例 (开放探究题)已知集合A={α|30°+k·180°<α<90°+ k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°<β<45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.
分析分别作出两集合中角的终边所在的区域,找公共部分,然后写出对应角的集合.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解∵30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z,∴当k为偶数,
即k=2n(n∈Z)时,30°+n·360°<α<90°+n·360°,n∈Z;
当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,
210°+n·360°<α<270°+n·360°,n∈Z,
∴集合A中角的终边在图中阴影(Ⅰ)区域内.
又集合B中角的终边在图中阴影(Ⅱ)区域内,
∴集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内.
∴A∩B={α|30°+k·360°<α<45°+k·360°,k∈Z}.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析点评解决与角有关的集合问题的关键是弄清集合中含有哪些元素,其方法有:
(1)将集合中表示角的式子化为同一种形式(这种方法要用到整数分类的有关知识,即分类讨论);
(2)列举法把集合具体化;
(3)数形结合,即在平面直角坐标系中分别作出这些角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析对任意角的概念不清导致角的范围写错
典例 写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合.错解一终边为OA的角为k·360°+30°(k∈Z),终边为OB的角为k·360°+150°(k∈Z),
所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°+30°<α错解二终边为OA的角为k·360°+30°(k∈Z),终边为OB的角为k·360°+150°(k∈Z),
所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°+150°<α提示错解一考虑了角的大小,但表示的是终边落在阴影部分以外的角;错解二没有注意到角的大小,写出的集合是空集.
正解因为阴影部分含x轴正半轴,所以终边为OA的角为β=30°+k·360°,k∈Z,终边为OB的角为γ=-210°+k·360°,k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|-210°+k·360°≤α≤30°+k·360°,k∈Z}.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析防范措施1.用不等式表示区域角的范围时,要注意观察角的集合形式是否能够合并,能合并的一定要合并.
2.对于区域角的书写,一定要看其区域是否跨越x轴的正方向.123451.下列叙述正确的是( )
A.三角形的内角必是第一或第二象限角
B.始边相同而终边不同的角一定不相等
C.第四象限角一定是负角
D.钝角比第三象限角小
解析90°角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280°角是第四象限角,它是正角,故C错;-100°角是第三象限角,它比钝角小,故D错.
答案B123452.把-1 485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )
A.315°-5×360°
B.45°-4×360°
C.-315°-4×360°
D.-45°-10×180°
解析∵0°≤α<360°,∴排除C,D选项,经计算可知选项A正确.
答案A123453.-495°角的终边与下列哪个角的终边相同( )
A.135° B.45° C.225° D.-225°
解析:因为-495°=-2×360°+225°,所以与-495°角终边相同的是225°角.故选C.
答案:C123454.与-2 018°角终边相同的最小正角是 .?
解析∵-2 018°=-6×360°+142°,∴所求值为142°.
答案142°123455.若角α的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合.
解以OA为终边的角为75°+k·360°(k∈Z),以OB为终边的角为k·360°-30°(k∈Z),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为{α|k·360°-30°<α
