1.1.2 弧度制
课后篇巩固探究
1.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 ( )
A.π3 B.π6 C.-π3 D.-π6
解析将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D不正确.又拨慢10分钟,所以转过的角度应为圆周的212=16,即为16×2π=π3.
答案A
2.若α=-3,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析因为-π<-3<-π2,所以α=-3的终边在第三象限.
答案C
3.将2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是( )
A.10π-π4 B.10π+5π4
C.12π-3π4 D.10π+3π4
解析2 025°=5×360°+225°,又225°=5π4,故2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为10π+5π4.
答案B
4.已知一扇形的周长为20 cm,当这个扇形的面积最大时,半径r的值为( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
解析设扇形的圆心角为α,由题意可得2r+αr=20?α=20-2rr,所以扇形的面积S=12αr2=12×20-2rr×r2=10r-r2=-(r-5)2+25,所以当r=5时,扇形的面积最大.
答案B
5.设集合M=αα=kπ2-π5,k∈Z,N={α|-π<α<π},则M∩N等于 .?
解析当k=-1,0,1,2时M中的角满足条件,故M∩N=-7π10,-π5,3π10,4π5.
答案-7π10,-π5,3π10,4π5
6.若角α的终边与角π6的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α= .?
解析如图所示,设角π6的终边为OA,OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以OB为终边且在0到2π之间的角为π3,
故以OB为终边的角的集合为αα=2kπ+π3,k∈Z.
∵α∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+π3<4π,
∴-136∵k∈Z,∴k=-2,-1,0,1.
∴α=-11π3,-5π3,π3,7π3.
答案-11π3,-5π3,π3,7π3
7.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路程长度为 .?
解析因为圆O的半径r=1,正方形的边长a=1,所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为π3,正方形在圆周上滚动时,点的位置如图所示,故当点A首次回到点P的位置时,正方形在圆周上滚动了2圈,而自身滚动了3圈.设第i(i∈N*)次滚动点A的路程为Ai,则A1=π6×AB=π6,A2=π6×AC=2π6,A3=π6×DA=π6,A4=0,所以点A所走过的路程长度为3(A1+A2+A3+A4)=2+22π.
答案2+22π
8.已知α=-800°.
(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求角γ,使γ与角α的终边相同,且γ∈-π2,π2.
解(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=14π9,
∴α=14π9+(-3)×2π.
∵角α与14π9终边相同,∴角α是第四象限角.
(2)∵与角α终边相同的角可写为2kπ+14π9,k∈Z的形式,而γ与α终边相同,
∴γ=2kπ+14π9,k∈Z.
又γ∈-π2,π2,
∴-π2<2kπ+14π9<π2,k∈Z,
解得k=-1.∴γ=-2π+14π9=-4π9.
9.如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求:
(1)AB的长;
(2)弓形(阴影部分)的面积.
解(1)∵120°=120π180=2π3,∴lAB=6×2π3=4π,∴AB的长为4π.
(2)过点O作OD⊥AB于点D,
则D为AB的中点,
AB=2BD=2·OB·cos 30°
=2×6×32=63,
OD=OB·sin 30°=6×12=3.
∵S扇形AOB=12lAB·OB=12×4π×6=12π,
S△OAB=12·AB·OD=12×63×3=93,
∴S弓形=S扇形AOB-S△OAB=12π-93.
∴弓形的面积为12π-93.
课件32张PPT。1.1.2 弧度制一二三自主检测一、弧度制
1.(1)在平面几何中,1°的角是怎样定义的?
提示将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
(2)在我们度量长度时,有时用“米”作单位,有时用“尺”作单位,有不同的单位制,度量质量时,可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制,角的度量除了角度制外,是否也有不同的单位制呢?
提示有不同的单位制,即弧度制.
2.填空:弧度制的定义一二三自主检测3.将半径为r的圆的一条半径OA,绕圆心顺时针旋转到OB,若弧AB长为2r,则∠AOB的大小为多少弧度?
提示-2弧度.
4.填空:弧度数的计算一二三自主检测5.做一做:已知半径为12 cm,弧长为8π cm的弧,其所对的圆心角为α,则α的弧度数的绝对值是 .?一二三自主检测二、角度制与弧度制的换算
1.由360°=2π弧度,180°=π弧度,你能进行角的角度数与弧度数的转换吗?即1°的角等于多少弧度?1弧度的角等于多少度?一二三自主检测2.角度制与弧度制的换算
(1)角度制与弧度制的换算一二三自主检测(2)一些特殊角与弧度数的对应关系 一二三自主检测答案C 一二三自主检测三、弧度制下扇形的弧长与面积公式
1.在弧度制下,弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式?你能推导吗?一二三自主检测2.填空:扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角,则答案5π 75π 60+5π. 一二三自主检测判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)1弧度的角与1度的角大小是相等的. ( )
(2)用弧度制表示角时,都是正角. ( )
(3)在大小不等的圆中,1弧度的圆心角所对的弧的长度是不同的. ( )
(4)用角度制和弧度制表示角时,单位都可以省略不写. ( )
(5)π弧度的角大于π°的角. ( )
(6)扇形的半径为5,圆心角是60°,则弧长为300. ( )
(7)扇形的面积为16,半径为4,则圆心角为1. ( )
(8)扇形的半径增加2倍,圆面积增加4倍. ( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× (7)× (8)×探究一探究二探究三弧度与角度的互化
例1 (1)把112°30'化为弧度;
(2)把 rad化成度;
(3)将-1 485°表示成2kπ+α(k∈Z)的形式,且0≤α<2π.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 探究一探究二探究三变式训练1已知α1=-570°,α2=750°, .
(1)将α1,α2用弧度表示出来,并指出它们是第几象限角;
(2)将β1,β2用角度表示出来,并在-720°~0°范围内,找出与它们有相同终边的所有角.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三用弧度表示角及其范围
例2 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.分析先将边界角由角度化为弧度,再根据阴影部分写出角的集合.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三反思感悟
用弧度制表示角应注意的问题:
(1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用.
(2)在表示角的集合时,可以先写出一周范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 ,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.思维辨析探究一探究二探究三变式训练2以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.思维辨析探究一探究二探究三弧长公式与面积公式的应用
例3 (1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积;
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.
分析(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组求解.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三反思感悟
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).
(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.
(3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是0<θ<2π,实际问题中注意根据这一范围进行取舍.思维辨析探究一探究二探究三延伸探究本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析混用角度制与弧度制致误 两个错解分别错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示两个错解都是由于混用了角度和弧度.探究一探究二探究三思维辨析 防范措施在解决角度制和弧度制的有关问题时,要遵循转换的原则,表达的形式要符合基本的原则和规范性,即在同一个式子中角度制和弧度制不能混用.123451.1 920°转化为弧度数是( ) 答案D 12345解析角的表示必须保持度量单位一致,即角度制与弧度制不能混用,排除A;而180°角与π角对应,于是1°角与 角对应,故选C.
答案C123453.下列角中,终边在y轴正半轴上的角是( )
解析:根据角的概念可知,- π是以x轴的正半轴为始边,顺时针旋转了270度,故在y轴的正半轴上.
答案:D123454.若2弧度的圆心角所对的弧长是4 cm,则这个圆心角所在的扇形面积是 .?
答案:4 cm2123455.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.
