1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第1课时 三角函数的定义
课后篇巩固探究
1.若sin α<0,且tan α>0,则α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案C
2.tan-356π的值等于( )
A.33 B.-33 C.12 D.3
解析tan-356π=tan-3×2π+π6=tanπ6=33.
答案A
3.已知角α的终边与单位圆交于点-45,35,则tan α= ( )
A.-43 B.-45 C.-35 D.-34
解析根据三角函数的定义,tan α=yx=35-45=-34,故选D.
答案D
4.下列三角函数值的符号判断错误的是( )
A.sin 165°>0 B.cos 280°>0
C.tan 170°>0 D.tan 310°<0
解析165°是第二象限角,因此sin 165°>0正确;280°是第四象限角,因此cos 280°>0正确;170°是第二象限角,因此tan 170°<0,故C错误;310°是第四象限角,因此tan 310°<0正确.
答案C
5.若一个角α的终边上有一点P(-4,a),且sin α·cos α=34,则a的值为( )
A.43 B.±43
C.-43或-433 D.3
解析依题意可知α角的终边在第三象限,点P(-4,a)在其终边上,且sin α·cos α=34,所以a16+a2·-416+a2=34,解得a=-43或a=-433.
答案C
6.设角α是第二象限角,且cosα2=-cosα2,则角α2是 ( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析∵角α是第二象限角,∴α2为第一或第三象限角.
又cosα2=-cosα2,∴cosα2<0.
∴角α2是第三象限角.
答案C
7.在△ABC中,若sin Acos Btan C<0,则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
解析因为sin A>0,所以cos B,tan C中一定有一个小于0,即B,C中一定有一个钝角,故△ABC是钝角三角形.
答案C
8.已知角α的终边经过点P(x,-6),且tan α=-35,则x的值为 .?
解析由已知,得tan α=yx=-35,即-6x=-35,解得x=10.
答案10
9.函数y=16-x2+sinx的定义域为 .?
解析要使函数式有意义,需16-x2≥0 ①,sinx≥0 ②,由①得-4≤x≤4,由②得2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].
答案[-4,-π]∪[0,π]
10.求下列各式的值:
(1)sin-15π4+tan25π3;
(2)sin(-1 380°)cos 1 110°+tan 405°.
解(1)原式=sin-4π+π4+tan8π+π3=sinπ4+tanπ3=22+3.
(2)原式=sin (-4×360°+60°)cos(3×360°+30°)+tan(360°+45°)=sin 60°cos 30°+tan 45°=32×32+1=74.
11.已知1|sinα|=-1sinα,且lg cos α有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边上一点M35,m,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
解(1)由1|sinα|=-1sinα,可知sin α<0.由lg cos α有意义,可知cos α>0,∴角α的终边在第四象限.
(2)∵|OM|=1,∴352+m2=1,解得m=±45.
又α是第四象限角,故m<0,从而m=-45.
由正弦函数的定义可知
sin α=yr=m|OM|=-451=-45.
12.已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+3cosα的值.
解设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),
则x=k,y=-3k,r=k2+(-3k)2=10|k|.
当k>0时,r=10k,α是第四象限角,
sin α=yr=-3k10k=-31010,
1cosα=rx=10kk=10,
所以10sin α+3cosα=10×-31010+310
=-310+310=0;
当k<0时,r=-10k,α为第二象限角,
sin α=yr=-3k-10k=31010,
1cosα=rx=-10kk=-10,
所以10sin α+3cosα=10×31010+3×(-10)
=310-310=0.
综上,10sin α+3cosα=0.
课件33张PPT。第1课时 三角函数的定义一二三自主检测一、三角函数的定义
1.填空:在直角坐标系中,称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.2.如图,如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x,y),根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标表示sin α,cos α,tan α?这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢?一二三自主检测3.填空:如图,α是任意角,以α的顶点O为坐标原点,以α的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系.
设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点.
(1)y叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y;
(2)x叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x;正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.一二三自主检测答案:B 一二三自主检测6.如果在角α的终边上有一点M(3,4),那么如何求角α的三个三角函数值?7.如果角α的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么?sin α,cos α,tan α的值是否还存在?
提示终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tan α的值不存在,因为分母不能为零,但sin α,cos α的值仍然存在.一二三自主检测8.填空:三角函数的定义域如下表所示. 一二三自主检测二、三角函数值的符号
1.根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sin α,cos α,tan α在不同象限内的符号吗?
提示当α在第一象限时,sin α>0,cos α>0,tan α>0;当α在第二象限时,sin α>0,cos α<0,tan α<0;当α在第三象限时,sin α<0,cos α<0,tan α>0;当α在第四象限时,sin α<0,cos α>0,tan α<0.一二三自主检测2.sin α,cos α,tan α在各个象限的符号如下:
?
?
?
记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.一二三自主检测3.做一做:判断下列各三角函数值的符号 一二三自主检测三、诱导公式一
1.30°,390°,-330°三个角的终边有什么关系?它们与单位圆的交点坐标相同吗?这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗?
提示终边相同,与单位圆的交点坐标相同,三个角的正弦值、余弦值、正切值相等.
2.填空:诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.一二三自主检测一二三自主检测判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)sin 3>0,cos 4>0. ( )
(2)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应. ( )
(3)sin α,cos α,tan α的值与点P(x,y)在角α终边上的位置无关. ( )
(4)不存在角θ,使得sin θ<0,cos θ<0,tan θ<0. ( )
(5)若sin α=sin β,则必有α=β. ( )
(6)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化. ( )
(7)若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos α= . ( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)×探究一探究二探究三思维辨析利用三角函数的定义求三角函数值
例1 求解下列各题:分析(1)先求出x的值,再计算;(2)利用三角函数的定义的推广求解;(3)先在终边上取点,再利用定义求解.(3)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α= .? 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 探究一探究二探究三思维辨析三角函数值的符号判断
例2 (1)若sin α·tan α<0,且 ,则角α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)判断下列各式的符号:
①sin 105°·cos 230°; ② .
分析(1)由已知条件确定出sin α,cos α的符号即可确定角α的象限; (2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟三角函数符号的判定:
对三角函数符号的判定,首先要判断角是第几象限角,然后根据规律:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即可确定三角函数的符号.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1(1)已知α=2,则点P(sin α,tan α)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析因为α=2∈ ,即α在第二象限,所以sin α>0,tan α<0,则点P(sin α,tan α)在第四象限.
答案D(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3]
解析:由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有
答案:A探究一探究二探究三思维辨析诱导公式一的应用
例3 求下列各式的值:
(1)a2sin(-1 350°)+b2tan 405°-(a-b)2tan 765°-2abcos(-1 080°);分析将角转化为k·360°+α或2kπ+α的形式,利用公式一求值,注意熟记特殊角的三角函数值.
解(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2 tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)
=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0°
=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟诱导公式一的应用策略:
(1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;
(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2π间角的三角函数,亦可把大于2π的角的三角函数转化为0到2π间角的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2求下列三角函数值: 探究一探究二探究三思维辨析忽视对参数的分类讨论致误
典例 角α的终边过点P(-3a,4a),a≠0,则cos α= .?探究一探究二探究三思维辨析防范措施在利用三角函数的定义解决问题时,如果终边上一点的坐标中含有参数,那么要注意对其进行分类讨论,以免丢解.探究一探究二探究三思维辨析变式训练已知角α的终边在直线y=x上,则sin α= .?
解析易知角α的终边在第一象限或第三象限,
当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取一点P(1,1),12345答案D 12345答案A 123453.若tan θ·sin2θ<0,则角θ在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第二象限或第四象限 D.第二象限或第三象限
解析因为tan θ·sin2θ<0,所以tan θ<0,于是角θ在第二象限或第四象限.
答案C12345123455.判断下列各式的符号:
(1)tan 120°·sin 269°;解(1)∵120°是第二象限角,∴tan 120°<0.
∵269°是第三象限角,∴sin 269°<0.
∴tan 120°·sin 269°>0.第2课时 三角函数线
课后篇巩固探究
1.下列判断错误的是( )
A.当α一定时,单位圆中的正弦线一定
B.单位圆中有相同的正弦线的角相等
C.α和α+π有相同的正切线
D.有相同正切线的两个角的终边在同一直线上
解析∵30°和390°有相同的正弦线,但30°和390°不相等,∴B错误,其他选项A,C,D都正确.
答案B
2.角π5和角6π5有相同的( )
A.正弦线 B.余弦线
C.正切线 D.不能确定
解析由于6π5=π+π5,即两角的终边在一条直线上,因而它们的正切线相同.
答案C
3.角α的正弦线、余弦线和正切线的数量分别为a,b,c,如果5π4<α<3π2,那么a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
解析
作出角α的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT.
∵5π4<α<3π2,∴|OM|<|MP|<|AT|,且有向线段OM,MP的方向与坐标轴负方向相同,切线AT与y轴正方向相同.∴tan α>cos α>sin α,即c>b>a.
答案C
4.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( )
A.a
C.c解析如图,作出角α=-1 rad的正弦线、余弦线及正切线,显然b=cos(-1)=OM>0,c=tan(-1)=AT答案C
5.已知点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,且α∈[0,2π],则角α的取值范围是( )
A.π2,3π4∪π,5π4 B.π4,π2∪π,5π4
C.π2,3π4∪5π4,3π2 D.π4,π2∪3π4,π
解析因为点P在第一象限,
所以sinα-cosα>0,tanα>0,即sinα>cosα,tanα>0.
由tan α>0可知角α为第一或第三象限角,画出单位圆.
又sin α>cos α,用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界),即π4,π2∪π,5π4.
答案B
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆相交于点A.若点A的纵坐标为45,则cos α= .?
解析由题图知,α是第二象限角.
∵点A的纵坐标为45,
∴横坐标为-35,∴cos α=x=-35.
答案-35
7.函数y=sinx-32的定义域为?
.?
解析由题意,得sin x≥32,作直线y=32交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围,故满足条件的角x的集合为x2kπ+π3≤x≤2kπ+2π3,k∈Z.
答案2kπ+π3,2kπ+2π3 (k∈Z)
8.设a=sin5π7,b=cos2π7,c=tan2π7,则a,b,c的大小顺序为 .(按从小到大的顺序排列)?
解析
如图,在单位圆O中分别作出角5π7的正弦线M1P1,角2π7的正弦线M2P2,余弦线OM2,正切线AT.
由5π7=π-2π7知M1P1=M2P2.
又π4<2π7<π2,易知AT>M2P2>OM2,
∴cos2π7答案b9.利用三角函数线写出满足下列条件的角x的集合.
(1)sin x>-12,且cos x>12;
(2)tan x≥-1.
解(1)由图①知,当sin x>-12,且cos x>12时,角x的集合为x-π6+2kπ(2)由图②知,当tan x≥-1时,角x的集合为x2kπ-π4≤x<2kπ+π2,k∈Z∪x2kπ+3π4≤x<
2kπ+3π2,k∈Z,即xkπ-π4≤x10.求函数y=logsin x(2cos x+1)的定义域.
解由题意知sinx>0,且sinx≠1,2cosx+1>0,
即sinx>0,sinx≠1,cosx>-12.
如图,作出三角函数线,阴影部分区域(不包括边界及y轴的非负半轴)即为所求角的范围.
即0考虑终边相同的角可得函数的定义域为x2kπ课件31张PPT。第2课时 三角函数线一二三自主检测一、有向线段
1.直线、射线、线段有什么区别?
提示直线:没有端点,无限长;射线:只有一个端点,无限长;线段:有两个端点,有限长.
2.填空:有向线段
(1)定义:带有方向的线段叫做有向线段.
(2)符号:方向与坐标轴的正方向相同为正,否则为负.
(3)记法:有向线段AB的数量记为AB.
(4)长度:有向线段AB的长度记为|AB|.一二三自主检测二、三角函数线
1.假设第一象限角α的终边与单位圆的交点为P,由点P向x轴作垂线,垂足为M,由三角函数的定义可知sin α,cos α的值恰好等于线段MP,OM的长度,当α为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,按照同样的作法,sin α,cos α的值是否还等于线段MP,OM的长度?如果不相等,那么sin α,cos α值的正负与有向线段MP,OM的方向有何关系?
提示:当α为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,sin α,cos α的值不等于线段MP,OM的长度,sin α,cos α值的正、负与有向线段MP,OM的方向是一致的.一二三2.填空:三角函数线
如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合).
?
?
过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T,这样就有sin α=MP,cos α=OM ,tan α=AT .单位圆中的有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.自主检测一二三3.做一做:如图,210°角的正弦线为 ,余弦线为 ,正切线为 .?解析由三角函数线的定义可知,210°角的正弦线为MB,余弦线是OM,正切线是PD.
答案MB OM PD自主检测一二三三、特殊角的三角函数线
1.0°,180°角的正弦线、余弦线,正切线有什么特点?90°,270°角的正弦线、余弦线有何特点?90°,270°角的正切线能否作出?
提示0°,180°角的正弦线是一个点、余弦线与半径重合,正切线是一个点;90°,270°的正弦线与半径重合、余弦线是一个点,正切线不存在.
2.填空:特殊角的三角函数线
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的余弦值为0,正切值不存在.自主检测一二三3.做一做:下列角的正切线不存在的是( )解析当角α的终边与y轴重合时,正切线不存在.
∵ 的终边在y轴的非负半轴上,∴正切线不存在.
答案B自主检测一二三判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)三角函数线是有向线段,既有大小,又有方向. ( )
(2)正弦线的起点一定在x轴上,余弦线的起点一定是原点,正切线的起点一定是(1,0). ( )
(3)三角函数线只能表示0°~360°之间角的三角函数值. ( )
(4)任意大小的角都有正切线. ( )
(5)若角θ的余弦线是长度为单位长度的有向线段,则其终边落在x轴的正半轴上. ( )
(6)终边在第一、三象限角的平分线上的角的正、余弦线,长度相等、符号相同. ( )
答案(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√自主检测探究一探究二探究三思维辨析作三角函数线
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.解如图. 其中,各角的正弦线都是MP,余弦线都是OM,正切线都是AT.探究一探究二探究三反思感悟三角函数线的作法步骤:
(1)作平面直角坐标系和角的终边.
(2)作单位圆,圆与角的终边的交点为P,与x轴正半轴的交点为A.
(3)过点P作x轴的垂线,垂足为M.
(4)过点A作x轴的垂线,与角的终边或其反向延长线交于点T.
(5)有向线段MP,OM,AT分别为角的正弦线、余弦线和正切线.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析利用三角函数线比较三角函数值的大小 探究一探究二探究三思维辨析解 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟利用三角函数线比较大小的步骤:利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:(1)角的位置要“对号入座”;(2)比较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2(1)下列关系正确的是( )
A.sin 10°B.sin 20°C.sin 10°D.sin 20°|OM1|>|M1P1|>|M2P2|,
∴cos 10°>cos 20°>sin 20°>sin 10°,故选C.
答案C探究一探究二探究三思维辨析(2)解如图所示,角α的终边交单位圆于点P,过点P作PM⊥x轴于点M,过x轴的正半轴与单位圆的交点A作单位圆的切线AT,交角α的终边于点T,连接AP,则有MP=sin α,AT=tan α,S△OAP例3 根据下列条件,求角α的取值集合:探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟利用三角函数线求角的取值集合的方法
利用三角函数线求角的取值集合,关键是恰当地寻求点,一般来说,对于sin x≥b,cos x≥a(或sin x≤b,cos x≤a),只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时根据方向即可确定相应的x的范围;对于tan x≥c(或tan x≤c),则取点(1,c),连接该点和原点即得角的终边所在直线的位置,结合图象可得.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析忽视角的范围致误 探究一探究二探究三思维辨析防范措施当所求角的范围包含了终边落在x轴非负半轴上的角时,应特别注意角的范围的表达形式,这时可以用一个区间来表示(须用到负角),也可用两个区间并集来表示.123451.已知角α是第四象限角,则角α的正弦线MP是下图中的( )解析正弦线的画法是:作角α的终边,与单位圆交于点P,作PM垂直x轴于点M,则有向线段MP是正弦线,故A正确.
答案A123452.若MP和OM分别是角 的正弦线和余弦线,则( )
A.MP0>MP
C.OM0>OM
解析:在单位圆中画出角 的正弦线MP和余弦线OM,如图所示,则OM答案:C12345解析 答案D 1234512345