1.2.2 同角三角函数的基本关系
课后篇巩固探究
1.已知cos θ=45,且3π2<θ<2π,则1tanθ的值为( )
A.34 B.-34 C.43 D.-43
解析因为cos θ=45,且3π2<θ<2π,
所以sin θ=-1-cos2θ=-35.
所以tan θ=-34,故1tanθ=-43.选D.
答案D
2.若α为第三象限角,则cosα1-sin2α+2sinα1-cos2α的值为 ( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
解析因为α为第三象限角,所以原式=cosα-cosα+2sinα-sinα=-3.
答案B
3.已知α是第四象限角,tan α=-512,则sin α=( )
A.15 B.-15 C.513 D.-513
解析∵α是第四象限角,∴sin α<0.
由tan α=-512,得sinαcosα=-512,
∴cos α=-125sin α.
由sin2α+cos2α=1,得sin2α+-125sinα2=1,
∴16925sin2α=1,sin α=±513.
∵sin α<0,∴sin α=-513.
答案D
4.已知cos α+sin α=-12,则sin αcos α的值为( )
A.-38 B.±38 C.-34 D.±34
解析由已知得(cos α+sin α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2sin αcos α=14,解得sin αcos α=-38.
答案A
5.化简11+tan2160°的结果为( )
A.-cos 160° B.cos 160°
C.1cos160° D.1-cos160°
解析原式=11+sin2160°cos2160°=1cos2160°+sin2160°cos2160°
=11cos2160°=cos2160°=|cos 160°|
=-cos 160°.故选A.
答案A
6.若cos α+2sin α=-5,则tan α等于( )
A.12 B.2 C.-12 D.-2
解析(方法一)由cosα+2sinα=-5,cos2α+sin2α=1联立消去cos α,
得(-5-2sin α)2+sin2α=1.
化简得5sin2α+45sin α+4=0,∴(5sin α+2)2=0,
∴sin α=-255.∴cos α=-5-2sin α=-55.
∴tan α=sinαcosα=2.
(方法二)∵cos α+2sin α=-5,
∴cos2α+4sin αcos α+4sin2α=5.
∴cos2α+4sinαcosα+4sin2αcos2α+sin2α=5.
∴1+4tanα+4tan2α1+tan2α=5,∴tan2α-4tan α+4=0.
∴(tan α-2)2=0,∴tan α=2.
答案B
7.若tan2x-sin2x=165,则tan2xsin2x= .?
解析tan2xsin2x=tan2x(1-cos2x)
=tan2x-tan2xcos2x=tan2x-sin2x=165.
答案165
8.已知cosα+π4=13,0<α<π2,则sinα+π4= .?
解析∵sin2α+π4+cos2α+π4=1,
∴sin2α+π4=1-19=89.
∵0<α<π2,∴π4<α+π4<3π4.
∴sinα+π4=223.
答案223
9.已知tan α,1tanα是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<72π,则cos α+sin α= .?
解析∵tan α·1tanα=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<72π,则tan α+1tanα=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-22,∴cos α+sin α=-2.
答案-2
10.化简:1-2sin130°cos130°sin130°+1-sin2130°.
解原式=sin2130°-2sin130°cos130°+cos2130°sin130°+cos2130°
=|sin130°-cos130°|sin130°+|cos130°|=sin130°-cos130°sin130°-cos130°=1.
11.证明:1+2sinθcosθcos2θ-sin2θ=1+tanθ1-tanθ.
证明∵左边=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)
=(sinθ+cosθ)2(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)
=cosθ+sinθcosθ-sinθ=cosθ+sinθcosθcosθ-sinθcosθ=1+tanθ1-tanθ=右边,
∴原等式成立.
12.若3π2<α<2π,化简:1-cosα1+cosα+1+cosα1-cosα.
解∵3π2<α<2π,∴sin α<0.
∴原式
=(1-cosα)2(1+cosα)(1-cosα)+(1+cosα)2(1-cosα)(1+cosα)
=(1-cosα)2sin2α+(1+cosα)2sin2α
=|1-cosα||sinα|+|1+cosα||sinα|
=-1-cosαsinα?1+cosαsinα=-2sinα.
13.已知θ∈(0,π),且sin θ,cos θ是方程25x2-5x-12=0的两个根,求sin3θ+cos3θ和tan θ-1tanθ的值.
解(方法一)由题意得sin θ+cos θ=15,sin θcos θ=-1225,易知θ≠π2.
∴sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)
=(sin θ+cos θ)(1-sin θcos θ)
=15×1+1225=37125.
tan θ-1tanθ=sinθcosθ?cosθsinθ=sin2θ-cos2θsinθcosθ
=(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)sinθcosθ.
∵θ∈(0,π),sin θcos θ<0,
∴sin θ>0,cos θ<0,则sin θ-cos θ>0.
∴sin θ-cos θ=(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1+2×1225=4925=75.
∴tan θ-1tanθ=15×75-1225=-712.
(方法二)方程25x2-5x-12=0的两根分别为45和-35.
∵θ∈(0,π),且sin θcos θ=-1225<0,
∴sin θ>0,cos θ<0,则sin θ=45,cos θ=-35,
∴sin3θ+cos3θ=453+-353=64125?27125=37125,
tan θ-1tanθ=sinθcosθ?cosθsinθ=45-35?-3545=-43+34=-712.
课件45张PPT。1.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数基本关系
1.填写下表,你能从中发现同一个角的三角函数值之间有什么关系?2.填空:同角的三角函数基本关系
(1)平方关系:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2α+cos2α=1.3.做一做:(1)sin22 019°+cos22 019°=( )
A.0 B.1
C.2 019 D.2 019°
(2)若sin θ+cos θ=0,则tan θ= .?
解析(1)由平方关系知sin22 019°+cos22 019°=1.答案(1)B (2)-1
4.已知sin α(或cos α)的值,能否求出cos α(或sin α),tan α的值?已知sin α±cos α的值,怎样求出sin αcos α的值?
提示利用两种关系式的变形可以解决上述问题.5.填空:同角三角函数基本关系式的变形
(1)平方关系sin2α+cos2α=1的变形
①sin2α=1-cos2α;②cos2α=1-sin2α;③1=sin2α+cos2α;
④(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;⑤(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.?①sin α=tan α·cos α;? 自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)× (8)√探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析利用同角三角函数关系求值
角度1 已知某个三角函数值,求其余三角函数值分析已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求该角的正切值.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;
第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;
第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2 已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值
例2 已知tan α=2,则分析注意到所求式子都是关于sin α、cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cos α的整数次幂,把所求值的式子用tan α表示,将tan α=2整体代入求其值.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析?探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟 已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析 角度3 利用sin α+cos α,sin α-cos α与sin αcos α三者之间的关系求值探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟 1.由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α可知如果已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析2.sin θ±cos θ的符号的判定方法:
(1)sin θ-cos θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sin θ=cos θ,即sin θ-cos θ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sin θ>cos θ,即sin θ-cos θ>0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin θ?
(2)sin θ+cos θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=-x上时,sin θ=-cos θ,即sin θ+cos θ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半平面区域内时,sin θ>-cos θ,即sin θ+cos θ>0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sin θ<-cos θ,即sin θ+cos θ<0.如图②所示.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析利用同角三角函数关系化简
例4 化简下列各式:分析(1)对分子利用诱导公式一化简,对分母利用平方关系的变形化简;(2)先对被开方式通分化简,再化简根式.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟 三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析(3)因为180°<α<270°,所以sin α<0,探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析利用同角三角函数关系证明恒等式
角度1 一般恒等式的证明探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有:
(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;
(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子;
(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异;探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2 给出限制条件的恒等式证明问题
例6 已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
分析切化弦→利用sin2θ+cos2θ=1将余弦转化为正弦→整理得证探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面,但应注意条件的利用,常用方法有:①直推法:从条件直推到结论;②代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明;③换元法.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析案例 (开放探究题)从已知条件sin θ+cos θ= ,且θ∈(0,π)可以得到以下关系式:
(1) ;?
(2) ;?
(3) .?探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析名师点评对于此类结论开放型试题,在解题的过程中需明确方向,然后顺着这个方向进行,在此过程中充分运用各种关系进行衍生,显然本题的求解方向为同角三角函数之间的关系,更为重要的是,本题中所运用的恒等式如下:
(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析忽视角的取值范围致误 以上解题过程及结果错在什么地方?你发现了吗?如何避免这类错误?
提示错解中没有注意到角α∈(0,π),从而可推出sin α>0,cos α<0,因此解是唯一的.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析防范措施在利用sin θ±cos θ,sin θcos θ之间的关系解题时,往往易忽略角的取值范围造成增根或丢根,在已知sin θcos θ的值求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值时,需开方,因此要由角的取值范围确定取“+”还是“-”.12345答案B 12345答案C 12345答案C 12345答案sin α 123455.求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2.
证法一左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α=1+sin2α+cos2α-2sin αcos α+2(cos α-sin α)=1+2(cos α-sin α)+(cos α-sin α)2=(1-sin α+cos α)2=右边.
所以原式成立.
证法二左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α,
右边=1+sin2α+cos2α-2sin α+2cos α-2sin αcos α=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α.
故左边=右边.所以原式成立.
证法三令1-sin α=x,cos α=y,则(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x.
故左边=2x(1+y)=2x+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2=右边.所以原式成立.
