2.4.1 抛物线及其标准方程
1.抛物线y=-x2的准线方程是( C )
(A)x= (B)x=
(C)y=2 (D)y=4
解析:将y=-x2化为标准形式为x2=-8y,由此可知准线方程为y=2.故选C.
2.抛物线x=-8y2的焦点坐标是( A )
(A)(-,0) (B)(-2,0) (C)(,0) (D)(0,-2)
解析:y2=-x,可知焦点坐标为(-,0),故选A.
3.经过(1,2)点的抛物线的标准方程是( C )
(A)y2=4x (B)x2=y
(C)y2=4x 或x2=y (D)y2=4x 或x2=4y
解析:若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=2px,将(1,2)代入即4=2p,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x,若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=2py,将(1,2)代入即1=4p,解得p=,所以抛物线方程为x2=y,
综上可知,抛物线的方程为y2=4x或x2=y.故选C.
4.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( B )
(A)4 (B)6 (C)8 (D)12
解析:由抛物线的方程得==2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为4+2=6.故选B.
5.设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为( A )
(A)x=-4 (B)x=-3 (C)x=-2 (D)x=-1
解析:把y=0代入2x+3y-8=0得:2x-8=0,解得x=4,所以抛物线的焦点坐标为(4,0),所以抛物线的准线方程为x=-4,故选A.
6.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标为( B )
(A)(2,2±) (B)(1,±2)
(C)(1,2) (D)(2,2)
解析:由题意知F(1,0),设A(x0,y0),
=(1-x0,-y0).·=-+x0-=-4,
即+-x0-4=0, ①
又因为点A在抛物线上,所以=4x0. ②
由①②联立得A(1,±2).故选B.
7.已知动点P(x,y)满足=,则点P的轨迹是( B )
(A)两条相交直线 (B)抛物线
(C)双曲线 (D)椭圆
解析:可看作动点P(x,y)到定点(1,2)的距离d1,而可看作是动点P(x,y)到直线3x+4y+12=0的距离d2,则d1=d2,故由抛物线定义可知P点的轨迹是抛物线.故选B.
8.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( A )
(A)2 (B)3 (C) (D)
解析:易知直线l2:x=-1恰为抛物线y2=4x的准线,如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为PF的长度,
其中F(1,0)为抛物线y2=4x的焦点.由图可知,距离和的最小值,即F到直线l1的距离
d==2.故选A.
9.若双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则m= .?
解析:因为抛物线焦点为(3,0),所以=3且m>0,则m=6.
答案:6
10.抛物线x=y2的焦点坐标是 .?
解析:方程改写成y2=4mx,得2p=4m,所以p=2m,即焦点(m,0).
答案:(m,0)
11.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是 .?
解析:由抛物线定义可知抛物线y2=12x上的点(x,y)与焦点的距离为x+3,由已知,可得x=3,代入抛物线方程可得y=±6.
答案:(3,6)或(3,-6)
12.F是抛物线x2=2y的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,则线段AB的中点到x轴的距离为 .?
解析:如图,|AF|+|BF|=6,
由抛物线的定义即|AD|+|BE|=6,
又线段AB的中点到抛物线准线
y=-的距离为(|AD|+|BE|)=3,
所以线段AB的中点到x轴的距离为.
答案:
13.求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过点M(-6,6);(2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上.
解:(1)由于点M(-6,6)在第二象限,所以过M的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左,焦点在x轴上,设其方程为y2=-2px(p>0),将点M(-6,6)代入,可得36=-2p×(-6),所以p=3.所以抛物线的方程为y2=-6x.
若抛物线开口向上,焦点在y轴上,设其方程为x2=2py(p>0),将点M(-6,6)代入可得,36=2p×6,所以p=3,所以抛物线的方程为x2=6y.
综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.
(2)①因为直线l与x轴的交点为(2,0),所以抛物线的焦点是F(2,0),所以=2,所以p=4,
所以抛物线的标准方程是y2=8x.
②因为直线l与y轴的交点为(0,-3),即抛物线的焦点是F(0,-3),所以=3,所以p=6,
所以抛物线的标准方程是x2=-12y.
综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y.
14.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,若抛物线上一动点P到A(2,),F两点距离之和的最小值为4,求抛物线C的 方程.
解:如图,设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),其准线为x=-,过点P作准线的垂线,垂足为H,由抛物线定义知|PH|=|PF|.当H,P,A三点共线时,|PA|+|PF|最小.
所以|PF|+|PA|的最小值为+2=4,p=4,即抛物线C的方程为y2=8x.
15.一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过截面为抛物线形的隧道,已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值.
解:以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴,建立直角坐标系,如图所示.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点B的坐标为(,-),
由点B在抛物线上,
得()2=-2p(-),
所以p=,
所以抛物线方程为x2=-ay.
将点(0.8,y)代入抛物线方程,得y=-.
欲使卡车通过隧道,
应有-|y|=->3.
解得a>6+≈12.21
或a<6-≈-0.21(舍去).
所以a的最小整数值为13.
16.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( C )
(A)2 (B)2 (C)2 (D)4
解析:由抛物线定义可知|PF|=xP+=4,
可得xP=3.
所以yP=±2.
所以S△POF=|OF|·|yP|=2.故选C.
17.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( A )
(A)抛物线 (B)双曲线
(C)椭圆 (D)圆
解析:由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.
18.如图,南北方向的公路l,A地在公路正东2 km处,B地在A北偏东60°方向2 km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等.现要在曲线PQ上一处建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从M到A,到B修建费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是 万元.?
解析:依题意知曲线PQ是以A为焦点,l为准线的抛物线,
根据抛物线的定义知:欲求从M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B到直线l距离即可.
因为B地在A地北偏东60°方向2 km处,
所以B到点A的水平距离为3 km,
所以B到直线l距离为3+2=5(km),
那么修建这两条公路的总费用最低为5a万元.
答案:5a
19.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 .?
名师点拨:由∠ACB为直角,可得·=0,由此可建立a与点C的横坐标之间的关系式.
解析:设C(m,m2),由题意可知A(-,a),B(,a),
所以=(m+,m2-a),=(m-,m2-a),
因为该抛物线上存在点C使∠ACB为直角,
所以·=(m+)(m-)+(m2-a)2=0,
所以m2-a+(m2-a)2=0,
即(m2-a)(m2-a+1)=0,
因为m≠,
所以m2-a+1=0,
所以a=m2+1≥1,
所以a的取值范围为[1,+∞).
答案:[1,+∞)
20.若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,求M点到y轴的最短距离.
解:设抛物线焦点为F,连接AF,BF,如图抛物线y2=2x的准线为l:x=-,过A,B,M分别作AA′,BB′,MM′垂直于l,垂足分别为A′,B′,M′.
由抛物线定义,知|AA′|=|FA|,|BB′|=|FB|.又M为AB中点,由梯形中位线定理,得|MM′|=(|AA′|+|BB′|)=(|FA|+|FB|)≥|AB|=×3=.则x≥-=1(x为M点的横坐标,当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号),所以xmin=1,即M点到y轴的最短距离为1.
课件31张PPT。2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程课标要求:1.掌握抛物线的定义及标准方程.2.理解焦点、准线方程的意义,会根据条件求抛物线的标准方程. 自主学习知识探究1.定义与表示
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.设点M(x,y)是抛物线上任意一点,抛物线的焦点为F,准线为l,点M到准线l的距离为d,则由抛物线的定义知,抛物线可以视为动点M的集合P={M||MF|=d,d>0}.
注意:(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点,设为M;一个定点F叫做抛物线的焦点;一条定直线l叫做抛物线的准线;一个定值,即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)注意定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F垂直于直线l的一条直线.如,到点F(0,1)与到直线l:x+y-1=0的距离相等的点的轨迹方程为x-y+1=0,轨迹是一条直线.注意:(1)只有抛物线的顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线才具有标准形式.
(2)标准方程的特征:等号的一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一个变量的一次单项式.
(3)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=±2py(p>0),通常又可以写成y=ax2,这与以前所学习的二次函数的解析式是完全一致的,但需要注意由方程y=ax2求焦点坐标和准线方程时,必须先将抛物线的方程化成标准形式.②不同点:
a.当焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;当焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2;
b.开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
3.参数p的几何意义
抛物线的标准方程中参数p的几何意义是:抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p<0的错误.自我检测1.以直线3x-4y-12=0与x轴的交点为焦点的抛物线的方程为( )
(A)y2=16x (B)y2=-16x
(C)y2=12x (D)y2=-12xA解析:因为焦点为直线3x-4y-12=0与x轴的交点,所以令y=0,得x=4,则焦点为(4,0),故所求抛物线的方程为y2=16x.故选A.AC4.已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l:x=-2的距离相等,则点P的轨迹方程为 ,焦点到准线的距离为 .?答案:y2=8x 45.过点(1,-2)的抛物线的标准方程是 .?题型一抛物线定义的应用 课堂探究(2)是否存在M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.规范解答:(2)如图,由于点M在抛物线上,
所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,
所以当A,M,N三点共线时,|MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值,这时M的纵坐标为2,可设M(x0,2),代入抛物线方程得x0=2,即M(2,2).方法技巧 (1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等,故两者可相互转化,这也是利用抛物线定义解题的实质.
(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时,首先要注意应用抛物线的定义进行转化,其次是注意平面几何知识的应用,例如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线中,垂线段最短等.答案:(1)D(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为 .解析:(2)如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,
则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为4.
答案:(1)D (2)4题型二抛物线的标准方程【例2】 (1)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
①y2=-14x;②5x2-2y=0;③y2=ax(a>0).(2)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
①准线方程为2y+4=0;②过点(3,-4);③焦点在直线x+3y+15=0上.③令x=0得y=-5;令y=0得x=-15.
所以抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).
所以所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.方法技巧 (1)已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,一般先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程.需注意p>0,焦点所在轴由标准方程一次项确定,系数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴.
(2)求抛物线的标准方程的关键与方法
①关键:确定焦点在哪个坐标轴上,进而求方程的有关参数.
②方法:a.直接法:建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程;
b.直接根据定义求p,最后写标准方程;
c.利用待定系数法设标准方程,找有关的方程(组)求系数.即时训练2-1:(1)求抛物线y=ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程.(2)根据下列条件确定抛物线的标准方程.
①关于y轴对称且过点(-1,-3);②过点(4,-8);解:②法一 设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p′y(p′>0),
将点(4,-8)的坐标代入y2=2px,得p=8;
将点(4,-8)的坐标代入x2=-2p′y,得p′=1.
所以所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y.
法二 当焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=nx(n≠0),
又抛物线过点(4,-8),所以64=4n,即n=16,
抛物线的方程为y2=16x;
当焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=my(m≠0),
又抛物线过点(4,-8),
所以16=-8m,即m=-2,抛物线的方程为x2=-2y.
综上,抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-2y.③焦点在x-2y-4=0上.抛物线的实际应用题型三【例3】 (2018·浙江杭州高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,求水面的宽度.题后反思 涉及与抛物线有关的桥的跨度,隧道高低等问题,一般用抛物线的标准方程来解决,建立直角坐标系后,应注意点坐标的正负及其实际意义.即时训练3-1:喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处,喷出水流的最高点B高5 m,且与OA所在的直线相距4 m,水流落在以O为圆心,半径为9 m的圆上,则管柱OA= m.?答案:1.8点击进入 课时作业谢谢观赏！
