2.4.2 抛物线的简单几何性质
1.设AB为过抛物线y2=2px (p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( C )
(A) (B)p
(C)2p (D)无法确定
解析:当AB垂直于对称轴时,|AB|取最小值,此时AB为抛物线的通径,长度等于2p.故选C.
2.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( B )
(A)9 (B)8 (C)7 (D)6
解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故选B.
3.抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点(-5,2)到焦点的距离为6,则抛物线方程为( D )
(A)y2=-2x (B)y2=-4x
(C)y2=2x (D)y2=-4x或y2=-36x
解析:因为抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,设y2=2px,则焦点坐标为(,0),
因为点(-5,2)到焦点的距离为6,
所以(-5-)2+(2-0)2=62,
即(5+)2=16,
所以5+=4或5+=-4,
解得p=-2或p=-18,
所以y2=-4x或y2=-36x,
故选D.
4.设经过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线在第一象限的交点为A,过A作x轴的垂线,垂足为B,若△ABF的面积为,则实数a的值为( D )
(A)4 (B)2 (C)1 (D)
解析:设抛物线方程为x2=2py(p>0),由题意知∠FAB=,延长AB交准线于C,故△AFC是正三角形,又点F到准线的距离为p,知|FC|=2p,△ABF的面积为,即×2p×p×sin =,得p=1,所以a=.
故选D.
5.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|等于( B )
(A)3 (B)6 (C)9 (D)12
解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线l的方程为x=-2①,设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),所以椭圆E的半焦距c=2,又椭圆E的离心率为,所以a=4,b=2,椭圆E的方程为+=1②,联立①②,解得A(-2,3),B(-2,-3)或A(-2,-3),B(-2,3),所以|AB|=6,选B.
6.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与n的关系是( A )
(A)m+n=mn (B)m+n=4
(C)mn=4 (D)无法确定
解析:设抛物线焦点弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2).
抛物线y2=4x的焦点为(1,0),
当焦点弦与抛物线的对称轴垂直时,m=2,n=2,
所以m+n=mn.
当焦点弦与抛物线的对称轴不垂直时,
设焦点弦所在直线方程为y=k(x-1)(k≠0).
把y=k(x-1)代入y2=4x并整理
得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
所以x1x2=1.
因为m=x1+1,n=x2+1,所以x1=m-1,x2=n-1,
代入x1x2=1,得(m-1)(n-1)=1,
即m+n=mn.
故选A.
7.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( C )
(A)(0,2) (B)[0,2]
(C)(2,+∞) (D)[2,+∞)
解析:设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为y=-2,
由圆与准线相交知4因为点M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,
所以=8y0,又点M(x0,y0)在圆x2+(y-2)2=r2上,
所以+(y0-2)2=r2>16,
所以8y0+(y0-2)2>16,
即有+4y0-12>0,
解得y0>2或y0<-6,又因为y0≥0,
所以y0>2,故选C.
8.已知抛物线y=x2-1上的一定点B(-1,0)和两个动点P,Q,当BP⊥PQ时,点Q的横坐标的取值范围是( C )
(A)(-∞,-3]∪[1,+∞)
(B)[-3,1]
(C)(-∞,-3]∪[1,)∪(,+∞)
(D)[1,+∞)
解析:设P(t,t2-1),Q(s,s2-1),因为BP⊥PQ,
所以·=-1,
即t2+(s-1)t-s+1=0,
因为t∈R,P,Q是抛物线上两个不同的点,
所以必须有Δ=(s-1)2+4(s-1)≥0.
即s2+2s-3≥0,解得s≤-3或s≥1.
由t=-1,代入t2+(s-1)t-s+1=0,可得s=,此时P,B重合,故s≠.所以Q点的横坐标的取值范围是
(-∞,-3]∪[1,)∪(,+∞).
故选C.
9.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为 .?
解析:抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,圆x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16,
则圆心为(3,0),半径为4.又因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,
所以3+=4,解得p=2.
答案:2
10. 已知抛物线y=x2的焦点为F,过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到x轴的距离等于 .?
解析:由题意,抛物线y=x2的焦点坐标为(0,),准线方程为y=-,
根据抛物线的定义,因为|AB|=4,
所以A,B到准线的距离和为4,
所以弦AB的中点到准线的距离为2,
所以弦AB的中点到x轴的距离为2-=.
答案:
11.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是 .?
解析:设AB的方程为x=my+4,代入y2=4x得y2-4my-16=0,则y1+y2=4m,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32,当m=0时,+最小为32.
答案:32
12.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .?
解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y2=4x.由题意知过点P的直线为y=kx+k(k≠0),要使机器人接触不到过点P的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得y2-y+k=0,即Δ=1-k2<0,解得k>1或k<-1.
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
13.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
解:如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.又|OA|=|OB|,
所以+=+,即-+2px1-2px2=0,
整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
因为x1>0,x2>0,2p>0,所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,即点A,B关于x轴对称.由此得∠AOx=30°,所以y1=x1,与=2px1联立,得y1=2p.所以|AB|=2y1=4p.
14.已知A,B是抛物线C:y2=2px(p>0)上不同的两点,点D在抛物线C的准线l上,且焦点F到直线x-y+2=0的距离为.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线AB过焦点F,且直线AD过原点O,求证:直线BD平行x轴.
(1)解:抛物线C:y2=2px的焦点F(,0),
由题意可得d==,
解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.
(2)证明:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),
准线方程为x=-1.
设直线AB:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立抛物线方程,可得y2-4ty-4=0,即有y1y2=-4,
直线AD:y=x,
则有D(-1,-),
由于-=-=-=y2,
故直线BD平行x轴.
15.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为,求抛物线的方程.
解:设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则消去y,得4x2-(2a-4)x+1=0,
设直线y=2x+1与抛物线交于A,B两点,其坐标分别为A(x1,y1),
B(x2,y2),
x1+x2 =,x1x2=.
|AB|=|x1-x2|=
==.
则=,a2-4a-12=0,解得a=-2或a=6.所以y2=-4x或y2=12x.
16.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,
由
得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4.①
因为|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+=x2+2,
且|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2. ②
由①②得x2=1,所以B(1,2),
代入y=k(x+2),得k=.故选D.
17.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是( C )
(A) (B) (C) (D)
名师点拨:设|AF|=a,|BF|=b,由梯形中位线定理知|MN|=,欲求的最大值,只需求出|AB|的最小值.在△ABF中,运用余弦定理和基本不等式即可.
解析:设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BP.
由抛物线定义,
得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,
在梯形ABPQ中根据中位线定理,得
2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
在△ABF中,
由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos =a2+b2+ab,
配方得|AB|2=(a+b)2-ab,
又因为ab≤()2,
所以(a+b)2-ab≥(a+b)2-()2=(a+b)2,
得到|AB|≥(a+b),
所以≤=,
即的最大值为.
故选C.
18.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p= .?
解析:如图, 由AB的斜率为,
知∠α=60°,又=,所以M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P,
则∠ABP=60°,所以∠BAP=30°,所以|BP|=|AB|=|BM|.所以M为抛物线C的焦点,即=1,所以p=2.
答案:2
19.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是 .?
解析:如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).
当l的斜率k不存在时,符合条件的直线l必有两条.
当k存在时,x1≠x2,则有·=2,又y1+y2=2y0,所以y0k=2.
由CM⊥AB,得k·=-1,即y0k=5-x0,因此2=5-x0,x0=3,
即M必在直线x=3上.将x=3代入y2=4x,得y2=12,则有-2因为点M在圆上,所以(x0-5)2+=r2,故r2=+4<12+4=16.
又+4>4(为保证有4条,在k存在时,y0≠0),所以4答案:(2,4)
20.已知抛物线C的顶点在坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上,抛物线上的点N到F的距离为2,且N的横坐标为1,过焦点F作倾斜角为锐角的直线l交抛物线于A,B两点,且与其准线交于点D.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若线段AB的长为8,求直线l的方程;
(3)在C上是否存在点M,使得对任意直线l,直线MA,MD,MB的斜率始终满足2kMD=kMA+kMB?若存在,求点M的坐标,若不存在,说明理由.
解:(1)由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0),
由1+=|NF|=2,解得p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
(2)F(1,0),设直线l方程为y=k(x-1)(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,
所以x1+x2=.
因为|AB|=8,
所以+2=8,化为k2=1,
又k>0,解得k=1.所以直线l的方程为y=x-1.
(3)假设存在M(,t),A(,y1),B(,y2),
直线l方程my=x-1(m>0).D(-1,).
联立消去x得y2-4my-4=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4.
kMD==,kMA==,
kMB=.
因为满足2kMD=kMA+kMB,
所以=+.
因为+==,
所以=,
整理得(t2-4)(m2+1)=0,
因为m2+1>0,
所以可得t2-4=0,解得t=±2.
因此存在M(1,±2)满足2kMD=kMA+kMB.
课件35张PPT。2.4.2 抛物线的简单几何性质课标要求:1.掌握抛物线的简单几何性质,并能应用性质解题.2.理解直线与抛物线的位置关系. 自主学习知识探究1.抛物线y2=2px(p>0)的简单几何性质
(1)范围
由p>0和方程y2=2px可知,对于抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x,y),x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧,开口方向与x轴正向相同;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
(2)对称性
以-y代替y,方程y2=2px(p>0)不变,所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.(3)顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此抛物线y2=2px(p>0)的顶点就是坐标原点.
(4)离心率
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.3.直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系:相离、相切、相交.
(1)直线的斜率存在时,设直线y=kx+m与抛物线y2=2px(p>0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,将y=kx+m代入y2=2px,消去y并化简,得k2x2+2(mk-p)x+m2=0.
①当k=0时,直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线只有一个公 共点.
②当k≠0时,判别式Δ>0?直线与抛物线相交,有两个公共点;判别式Δ=0?直线与抛物线相切,有且只有一个公共点;判别式Δ<0?直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)直线的斜率不存在时,设直线l:x=m,抛物线:y2=2px(p>0).显然,当m<0时,直线与抛物线相离,无交点;当m=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当m>0时,直线与抛物线相交,有两个交点.(2)通径在反映抛物线开口大小上的作用
线段AB叫做抛物线的通径,长度为2p,这是常数2p的又一几何意义,所以p越大,通径越大,即抛物线的开口越大;反之,p越小,通径越小,即抛物线的开口越小.通径是所有焦点弦中最短的弦.自我检测1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )
(A)y2=-8x (B)y2=8x
(C)y2=-4x (D)y2=4xBB3.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( )
(A)直线与抛物线有一个公共点 (B)直线与抛物线有两个公共点
(C)直线与抛物线有一个或两个公共点 (D)直线与抛物线可能没有公共点C4.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2 =6,则|AB|= .?答案:85.过抛物线y2=4x的顶点O作互相垂直的两弦OM,ON,则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为 .?答案:16题型一抛物线简单几何性质的应用 课堂探究【例1】 已知抛物线y2=8x,
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围;解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.易错警示 抛物线的几何性质(对称性、范围等)在解决抛物线问题时,有着广泛的应用,但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件,如抛物线的对称性、准线与对称轴垂直等,解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件.(2)已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求此抛物线方程.题型二直线与抛物线的位置关系【例2】 已知直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x.问:k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点,一个交点,无交点?②若直线与抛物线有一个交点,
则k2=0或k2≠0时,Δ=0.
解得k=0或k=±1.
所以当k=0或k=±1时,直线l和抛物线C有一个交点.
③若直线与抛物线无交点,
则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<-1.
所以当k>1或k<-1时,直线l和抛物线C无交点.题后反思 研究直线和抛物线的位置关系时,由于消元后所得的方程中含参数,因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论.(2)过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程.抛物线的焦点弦问题题型三【例3】 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值.变式探究:若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“|AB|=9”,求线段AB的中点M到准线的距离.方法技巧 求圆锥曲线的弦长时,为简化计算常常借助根与系数的关系,这样可以避免分别求x1,x2(或y1,y2)的麻烦,如果是利用弦长求参数的问题,只需要列出参数的方程或不等式即可求解,而x1,x2(或y1,y2)一般是求不出来的.(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.题型四抛物线中的最值问题(2)在抛物线上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.题后反思(2)点P在抛物线2y2=x上,点Q在圆(x-2)2+y2=1上,求|PQ|的最小值.点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！
