人教A版高中数学选修2-1 第二章　圆锥曲线与方程　检测试题

第二章　圆锥曲线与方程　检测试题
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(　D　)
(A)x2+y2+2x=0 (B)x2+y2+x=0
(C)x2+y2-x=0 (D)x2+y2-2x=0
解析:已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即为所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半径为r=1,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2 =0,故选D.
2.已知椭圆与双曲线-=1有共同的焦点,且离心率为,则椭圆的标准方程为(　B　)
(A)+=1 (B)+=1
(C)+=1 (D)+=1
解析:由题意,c=,=,
所以a=5,b=2,
所以椭圆的标准方程为+=1,故选B.
3.方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆,则实数k的取值范围是(　D　)
(A)(4,+∞) (B){4}
(C)(-∞,4) (D)(0,4)
解析:方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴上的椭圆,即方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,可得4>k>0.故选D.
4.与椭圆+=1有公共焦点,且离心率e=的双曲线的方程为(　B　)
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
解析:因为椭圆+=1的焦点为(±5,0),所以与椭圆+=1有公共焦点,且离心率e=的双曲线方程中,c=5,a=4,b2=25-16=9,
所以所求的双曲线方程为-=1.故选B.
5.在Rt△ABC中, AB=AC=1,若一个椭圆经过A,B两点,它的一个焦点为点C,另一个焦点在边AB上,则这个椭圆的离心率为(　C　)
(A) (B)-
(C)- (D)-1
解析:设另一焦点为D,因为Rt△ABC中, AB=AC=1,
所以BC=.
因为AC+AD=2a,
所以AC+AB+BC=1+1+=4a,
所以a=,又AC=1,所以AD=.
在Rt△ACD中焦距CD==,
则c=,所以e====-,
故选C.
6.已知P为抛物线y2=4x上一个动点, P到其准线的距离为d, Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,d+|PQ|的最小值是(　C　)
(A)2-1 (B)2-2
(C)-1 (D)-2
解析:因为点P是抛物线y2=4x上的点,点P到抛物线的准线的距离为d,P到圆B: x2+(y-4)2=1上的动点Q的距离为|PQ|,由抛物线定义知:P到准线的距离等于P到焦点F的距离,所以如图,连接圆心B与F,交圆于Q,FB交抛物线的点即为使d+|PQ|最小时P的位置.所以(d+|PQ|)min=|FQ|,因为B(0,4),F(1,0),
所以|FB|==,|BQ|=1.所以|FQ|=-1.故选C.
7.已知点F1是抛物线C: x2=2py的焦点,点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点,过F2作抛物线C的切线,切点为A,若点A恰好在以F1, F2为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(　C　)
(A) (B)-1
(C)+1 (D)
解析:由题意,得F1(0,),F2(0,-),设过F2的抛物线C的切线方程为y=kx-,联立x2-2pkx+p2=0,令Δ=4p2k2-4p2=0,解得k2=1,即x2±2px+p2=0,不妨设A(p,),由双曲线的定义得2a=|AF2|-|AF1|= (-1)p,2c=|F1F2|=p,则该双曲线的离心率为e==+1.故选C.
8.设O为坐标原点,动点N在圆C:x2+y2=8上,过N作y轴的垂线,垂足为M,点P满足=,则点P的轨迹方程为(　B　)
(A)+=1 (B)+=1
(C)+=1 (D)+=1
解析:设P(x,y),因为MN⊥y轴,且=,所以M(0,y),N(2x,y),又动点N在圆C:x2+y2=8上,所以(2x)2+y2=8,化简,得+=1,即点P的轨迹方程为+=1;故选B.
9.曲线C是平面内与定点F(2,0)和定直线x=-2的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于x轴对称;③曲线C与y轴有3个交点;④若点M在曲线C上,则|MF|的最小值为2(-1),其中,所有正确结论为(　D　)
(A)①② (B)①④ (C)①②③ (D)①②④
解析:设动点的坐标为(x,y),则·|x+2|=4.
①当x=0时, y=0,
所以曲线C过坐标原点,故①正确;
②将·|x+2|=4中的y用-y代替,该等式不变,
所以曲线C关于x轴对称,故②正确;
③令x=0,则y=0,故曲线C与y轴只有1个交点,故③错误;
④因为·|x+2|=4,所以y2=≥0,
得-2≤x≤2,
所以若点M在曲线C上,则|MF|==≥=2(-1),故④正确.综上所述,所有正确的结论为①②④.故选D.
10.设抛物线C: y2=2x的焦点为F,过点M(2,0)的直线与抛物线C相交于不同的两点A,B,与抛物线C的准线相交于点N,且|BF|=3.记 △ANF与△BNF的面积分别为S1,S2,则等于(　A　)
(A) (B) (C) (D)
解析:抛物线y2=2x的焦点为F(,0),准线方程为x=-,
分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为D,E,连接AF.
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-2),与y2=2x联立消去y,得k2x2-(4k2+2)x+4k2=0,所以x1+x2=,x1x2=4,
因为|BF|=3,所以根据抛物线的定义,得|BF|=|BE|=x2+=3,解得x2=.
由此可得x1==,所以|AD|=x1+=,
因为△BEN中,BE∥AD,
所以====.
故选A.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)
11.双曲线C:x2-4y2=1的焦距是　　 　　,双曲线C的渐近线方程是　 　　　.?
解析:标准方程: -=1,c==,则焦距为2c=;渐近线y= ±x=±x.
答案:　y=±x
12.抛物线y2=ax(a>0)上的点P(,y0)到焦点F的距离为2,则a=　 　;△POF的面积为　　 　　.?
解析:准线方程为x=- ,所以+=2,所以a=2.抛物线方程变为y2=2x,焦点为F(,0),点P坐标代入方程得y0=± ,所以△POF的面积为××=.
答案:2　
13.若F1,F2是双曲线C:x2-=1(y≠0)的左、右焦点,点P是双曲线C上一点,若|PF1|=6,则|PF2|=　　　,△PF1F2的面积=　　　　.?
解析:根据双曲线的概念得到若|PF1|=6,则||PF1|-|PF2||=2a=2?|PF2|=4或8,因为y≠0,而当P点落在y轴上时才会有|PF2|=4,故舍掉.所以|PF2|=8.因为三角形PF1F2 是直角三角形,故= ×6×8= 24.
答案:8　24
14.若椭圆C:+=1的弦被点P(2,1)平分,则这条弦所在的直线l的方程是　　　　　　 　　　　,若点M是直线l上一点,则M到椭圆C的两个焦点的距离之和的最小值等于　 　　　.?
解析:设l斜率为k,椭圆C:+=1的弦被点P(2,1)平分,由点差法得到kOP·k=-,kOP= 得到k=-,代入已知的中点P的坐标得到直线方程为x+2y-4=0;设点M(x,y), 则M到椭圆C的两个焦点的距离,先找点F2关于x+2y-4=0的对称点F2′(,),连接F2′F1,交直线于点M,此时距离之和最小,最小值为|F2F1|==.
答案:x+2y-4=0　
15.两定点A(-2,0), B(2,0)及定直线l:x=,点P是l上一个动点,过B作BP的垂线与AP交于点Q,则点Q的轨迹方程为　　　　.?
解析:设Q(x,y),P(,y1),则=,·=-1 ,所以·×·= -1?4y2=4-x2?+y2=1.
答案:+y2=1
16.设椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,B,C是椭圆E上关于原点对称的两点(B,C均不在x轴上),若直线BF平分线段AC,则椭圆E的离心率为　　　 　.?
解析:设C(x1,y1),B(-x1,-y1),所以(,),(c,0),(-x1,-y1)三点共线,即=?c+x1=x1+a-2c?a=3c,e=.
答案:
17.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过F且依次交抛物线及圆(x-1)2+y2=于点A,B,C,D四点,则9|AB|+4|CD|的最小值为　　 .?
解析:当AD⊥x轴时,|AB|=|CD|=2-=,9|AB|+4|CD|=,当AD斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),代入抛物线方程k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则
9|AB|+4|CD|=9(|AF|-)+4(|DF|-)
=9|AF|+4|DF|-=9(x1+1)+4(x2+1)-=9x1+4x2+≥2+= 12+=,
当且仅当9x1=4x2,即x1=时取等号,所以所求最小值为.
答案:
三、解答题(本大题共5小题,共74分)
18.(本小题满分14分)
已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0).
(1)求点C的轨迹方程;
(2)讨论点C的轨迹的形状.
解:(1)设C(x,y),则由题知·=m,
即+=1(x≠±5)为点C的轨迹方程.
(2)当m>0时,点C的轨迹的形状为焦点在x轴上的双曲线;
当m<-1时,点C的轨迹的形状为焦点在y轴上的椭圆;
当m=-1时,点C的轨迹的形状为圆心为(0,0),半径为5的圆;
当-119.(本小题满分15分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,若抛物线y2=4x的焦点与椭圆的一个焦点重合.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的左焦点F1,且斜率为1的直线m交椭圆于A,B两点,求 △OAB的面积.
解:(1)由题意,设所求椭圆标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c.
因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),所以c=1, 又离心率e==, 所以a=,
再由b2=a2-c2?b2=4;所求椭圆标准方程为+=1.
(2)由(1)知:左焦点为F1(-1,0),直线m的方程为y=x+1,
?9x2+10x-15=0, x1+x2=-,x1·x2=-,
由弦长公式|AB|=·=,
O到直线AB的距离d==;
所以S△OAB=|AB|·d=××=.
20.(本小题满分15分)
已知抛物线C关于x轴对称,顶点在坐标原点O,直线2x-y-2=0经过抛物线C的焦点.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若不经过坐标原点O的直线l与抛物线C相交于不同的两点M,N,且满足⊥.证明直线l过x轴上一定点Q,并求出点Q的坐标.
解:(1)由已知,设抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0),所以=1,所以p=2,
所以抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)由题意,直线l不与y轴垂直,设直线l的方程为x=my+n(n≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2).联立消去x,得y2-4my-4n=0.
所以Δ=16m2+16n>0, y1+y2=4m, y1y2=-4n,
因为⊥,所以x1x2+y1y2=0,又因为=4x1,=4x2,所以x1x2=,
所以x1x2+y1y2=+y1y2=n2-4n=0,
所以n=0或n=4,
因为n≠0,所以n=4(此时Δ=16m2+16n>0),所以直线l的方程为x=my+4,
故直线l过x轴上一定点Q(4,0).
21.(本小题满分15分)
已知直线l:y=kx+m(m>0)与抛物线x2=4y交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,记抛物线在A,B两点处的切线l1,l2的交点为P.
(1)求证:x1x2=-4m;
(2)求点P的坐标(用k,m表示);
(3)若m+2k2=mk2,求△ABP的面积的最小值.
(1)证明:由
得x2-4kx-4m=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4m.
(2)解:由已知y1=,所以可设lAP:y=k1(x-x1)+,
由 联立可得x2-4k1x+4k1x1-=0,
由Δ=-4(4k1x1-)=0,所以k1=.所以lAP:y=-,
同理可得lBP:y=-.由
解得xP==2k,yP==-m,所以点P的坐标为(2k,-m).
(3)解:由(2)可知点P(2k,-m)到直线kx-y+m=0的距离d=,
又|AB|=|x1-x2|=4,
所以△ABP的面积S=|AB|·d=4|k2+m|.
因为+=1,m>0,所以(m+k2)·(+)=3++≥3+2,
当m=2+,k2=+1取到等号,所以△ABP的面积的最小值为28+20.
22.(本小题满分15分)
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆过点(,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形AOBP,当平行四边形AOBP的面积为时,求|AB|·|OP|的最大值.
解:(1)由e=得a∶b∶c=∶∶1,则a=c,b=c.
设方程为+=1,将点(,1)代入得+=1,解得c=1,所以椭圆方程为+=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,易得|AB|·|OP|=2|y1|·2|x1|=2 ;
当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m代入+=1得2x2+3(kx+m)2 =6,即(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,由Δ>0得2+3k2>m2.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
于是|AB|=|x1-x2|
=
=,
点O到直线AB的距离d=, S△OAB=d·|AB|=|m|·=,化简:4m2(3k2+2-m2)=,化简:=0,即3k2+2=2m2,显然满足Δ>0, 所以x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=-+2m=.
由平行四边形法则得=+=(x1+x2,y1+y2), |OP|2=+=6- ,
|AB|2=(1+k2)=,
于是|OP|2·|AB|2=(6-)()=-++24.
当=,即m=±时,有=25,即(|AB|·|OP|)max=5,
综上所述(|AB|·|OP|)max=5.