2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
1.方程y=3x-2 (x≥1)表示的曲线为( B )
(A)一条直线 (B)一条射线
(C)一条线段 (D)不能确定
解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条 射线.
2.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2”的( B )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
解析:点M在曲线y2=4x上,其坐标不一定满足方程y=-2,如点M(4,4),但当点M的坐标满足方程y=-2时,则点M一定在曲线y2=4x上,如点M(4,-4).
3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,则点M(4,-1)( C )
(A)不在圆C上,但在直线l上
(B)在圆C上,但不在直线l上
(C)既在圆C上,也在直线l上
(D)既不在圆C上,也不在直线l上
解析:把M(4,-1)代入圆和直线方程时,均使方程成立,故点M既在圆C上,也在直线l上.故选C.
4.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是( B )
(A)x2+y2=3 (B)x2+2xy=1(x≠±1)
(C)y= (D)x2+y2=9(x≠0)
解析:设P(x,y),因为kPA+kPB=-1,
所以+=-1,
整理得x2+2xy=1(x≠±1).故选B.
5.已知A(-1,0),B(1,0),且·=0,则动点M的轨迹方程是( A )
(A)x2+y2=1 (B)x2+y2=2
(C)x2+y2=1(x≠±1) (D)x2+y2=2(x≠±)
解析:设动点M(x,y),
则=(-1-x,-y),=(1-x,-y).由·=0,
得(-1-x)(1-x)+(-y)2=0,即x2+y2=1.故选A.
6.方程xy2-x2y=2x所表示的曲线( C )
(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称
(C)关于原点对称 (D)关于直线y=x对称
解析:以-x代替x,-y代替y,方程不变,所以方程xy2-x2y=2x所表示的曲线关于原点对称.故选C.
7.已知a,b为任意实数,若点(a,b)在曲线f(x,y)=0上,且点(b,a)也在曲线f(x,y)=0上,则f(x,y)=0的几何特征是( D )
(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称
(C)关于原点对称 (D)关于直线y=x对称
解析:依题意知,点(a,b)与点(b,a)都在曲线f(x,y)=0上,这两点关于直线y=x对称,故选D.
8.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( B )
(A)π (B)4π (C)8π (D)9π
解析:设P(x,y),由|PA|=2|PB|得
=2,
整理得x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4.
所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=πr2=4π.故 选B.
9.若点P(2,-3)在曲线x2-ky2=1上,则实数k= .?
解析:将点P(2,-3)代入曲线方程得4-9k=1,所以k=.
答案:
10.已知方程①x-y=0;②-=0;③x2-y2=0;④=1,其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是 .?
解析:①是正确的;②不正确,如点(-1,-1)在第三象限的角平分线上,但其坐标不满足方程-=0;③不正确,如点(-1,1)满足方程x2-y2=0,但它不在曲线C上;④不正确,如点(0,0)在曲线C上,但其坐标不满足方程=1.
答案:①
11.方程·(x+y+1)=0表示的几何图形是 .?
解析:由方程得即x+y+1=0(x≥3)或x=3.
答案:一条射线和一条直线
12.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则动点P的轨迹方程是 .?
解析:圆(x-1)2+y2=1的圆心为点B(1,0),半径r=1,
则|PB|2=|PA|2+r2.所以|PB|2=2.
所以P的轨迹方程为(x-1)2+y2=2.
答案:(x-1)2+y2=2
13.已知方程x2+(y-1)2=10.
(1)判断点P(1,-2),Q(,3)是否在此方程表示的曲线上;
(2)若点M(,-m)在此方程表示的曲线上,求m的值.
解:(1)因为12+(-2-1)2=10,()2+(3-1)2≠10,
所以点P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,而点Q(,3)不在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上.
(2)若点M(,-m)在方程x2+(y-1)2=10所表示的曲线上,
则()2+(-m-1)2=10,
解之得m=2或m=-.
14.设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.
解:设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),因为⊥,=(x0,-y0), =(1, -y0),
所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0,所以x0+=0.(*)
由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
所以
即
代入(*)式得-x+=0,故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
15.已知三角形ABC中,AB=2,AC=BC.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)求三角形ABC的面积的最大值.
解:(1)以AB为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,不妨取A(-1,0),B(1,0),
设C(x,y),由AC=BC,
得(x-3)2+y2=8(y≠0),
即为点C的轨迹方程.
(2)由于AB=2,所以S△ABC=×2×|y|=|y|,
因为(x-3)2+y2=8,
所以|y|≤2,
所以S△ABC≤2,
即三角形ABC的面积的最大值为2.
16.若圆O1方程为(x+1)2+(y+1)2=4,圆O2方程为(x-3)2+(y-2)2=1,则方程(x+1)2+(y+1)2-4=(x-3)2+(y-2)2-1表示的轨迹是( D )
(A)经过两点O1,O2的直线
(B)线段O1O2的中垂线
(C)两圆公共弦所在的直线
(D)一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等
解析:将方程(x+1)2+(y+1)2-4=(x-3)2+(y-2)2-1化简整理得4x+3y-7=0,故方程表示的轨迹为直线,由题意得,圆O1的圆心为(-1,-1),半径为2,圆O2的圆心为(3,2),半径为1,可知两圆外离,可设直线上任意一点P(x,y),则它到圆O1的圆心的距离为,
故表示自点P向圆O1所引的切线长,同理可得表示自点P向圆O2所引的切线长,综合可得D正确.故选D.
17.已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为( A )
(A)x2=4y (B)y2=3x
(C)x2=2y (D)y2=4x
解析:设点P(x,y),则Q(x,-1).
因为·=·,
所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),
整理得x2=4y,所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.故选A.
18.设动点P在直线x=1上,O为坐标原点,以OP为直角边、点O为直角顶点作为等腰Rt△OPQ,则动点Q的轨迹是 .?
解析:设点Q,P的坐标分别为(x,y),(1,y0),由OQ⊥OP当x≠0时得kOQ·kOP=-1,
即·=-1,y0=-.①
又由|OQ|=|OP|得=,
即x2+y2=+1.②
将①代入②中,整理得(y2-1)(x2+y2)=0,
因为x2+y2≠0,所以y2-1=0,所以y=±1,x≠0.
所以所求轨迹是两条直线y=±1.
当x=0时也符合.
答案:两条直线y=±1
19.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为 .?
解析:因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),由题意得·=-,化简得x2+3y2=4(x≠±1).
答案:x2+3y2=4(x≠±1)
20.如图所示,圆O1和圆O2的半径都等于1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN,M,N为切点,使得|PM|=|PN|.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.
名师点拨:由|PM|=|PN|得|PO1|2-|O1M|2=2(|PO2|2-|O2N|2),然后将该式坐标化可得动点P的轨迹方程.
解:以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的坐 标系,
则O1(-2,0),O2(2,0).
因为|PM|=|PN|,
所以|PM|2=2|PN|2.
又因为两圆的半径均为1,
所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).
设P(x,y),
则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],
即(x-6)2+y2=33.
所以所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.
课件29张PPT。第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程课标要求:1.了解曲线与方程的对应关系.2.进一步感受数形结合的基本思想.3.掌握求曲线方程的基本方法(直接法),了解求曲线方程的其他方法(待定系数法、定义法、参数法等). 自主学习1.曲线的方程与方程的曲线
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:
(a)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(b)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线知识探究注意:(1)一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程也可看成满足某种条件的点的轨迹方程.
(2)①定义中的关系(a)说明曲线上的任意一点的坐标都满足方程而毫无例外,即曲线具有纯粹性(或方程具有完备性);②定义中的关系(b)说明适合方程的所有点都在曲线上而毫无遗漏,即曲线具有完备性(或方程具有纯粹性);③定义中的关系(a)、(b)缺一不可,缺少任意一个都不能称“曲线的方程”和“方程的曲线”.
(3)曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系,而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形.
(4)“曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的必要不充分条件;“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的必要不充分条件.
(5)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.它可用于判定点是否在曲线上:如果点的坐标满足曲线方程,则说明点在曲线上,否则说明点不在曲线上.2.求曲线的方程
求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的平面直角坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)把方程f(x,y)=0化为最简形式;
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
简记为:建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明.注意:(1)在步骤(1)中,如果题目中没有确定平面直角坐标系,应首先建立适当的平面直角坐标系,坐标系建立得当,所得方程也较为简单.
(2)步骤(2)是求方程的重要一步,应仔细分析曲线特征,找到隐含条件,抓住与曲线上任意点M有关的等量关系,列出等式.
(3)步骤(3)是将几何条件转化为代数方程,在这个过程中常用到一些基本公式,如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式等.
(4)步骤(4)是方程的化简,注意化简过程中运算的合理性与准确性,尽量避免“漏解”和“增解”.
(5)对于步骤(5)中的“限制说明”,从理论上讲是必要的,但实际上常被省略掉.如遇特殊情况,可适当予以说明.例如,某些点的坐标虽然适合方程,但不在曲线上,那么可通过限制方程中x,y的取值予以剔除.
(6)在第(1)步中,如果原题中没有确定坐标系,应首先建立适当的坐标系,坐标系建立得当,所得方程也较为简单.在实际解题过程中,建立坐标系时,应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素,遵循“垂直性”和“对称性”的原则,从而使解题更加简化.自我检测C1.方程x2+xy=x表示的曲线是( )
(A)一个点 (B)一条直线
(C)两条直线 (D)一个点和一条直线解析:由x2+xy=x,得x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0.由此知方程x2+xy=x表示两条直线.故选C.D3.设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下列命题正确的是( )
(A)坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上
(B)曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0
(C)坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上
(D)一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0D4.已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程是 .?答案:y=4x25.设A,B两点的坐标分别是(-a,0),(a,0),若动点M满足kMA·kMB=-1,则动点M的轨迹方程是 .?答案:x2+y2=a2(x≠±a)题型一曲线的方程与方程的曲线 课堂探究【例1】 (1)“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(1)解析:判断曲线与方程的关系,关键是要说明定义中的两个条件是否都成立.根据曲线方程的概念,“曲线C的方程是f(x,y)=0”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x,y)=0的解”和“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义.本例仅包含其中一个条件成立.故选B.(2)解:①不正确.
因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线,
即l1:y=x和l2:y=-x.
直线l1上的点的坐标都是方程y=x的解,
而直线l2上的点(除原点外)的坐标都不是方程y=x的解.
这显然与曲线和方程关系中的条件(1),即“曲线上点的坐标都是方程的解”不相符.
②不正确.
根据题意可知,动点C的轨迹是以线段AB为直径的圆(但要除去A,B两点),
因此,尽管动点C的坐标都满足方程x2+y2=1,但以方程x2+y2=1的解为坐标的点不都在动点C的轨迹上.(2)判断下列命题是否正确,并说明原因.
①到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=x;
②已知A,B两点的坐标分别为(-1,0)和(1,0),则满足∠ACB=90°的动点C的轨迹方程为x2+y2=1.方法技巧 解决此类问题要从两方面入手:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.解析:(1)“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”但“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点”不一定在曲线C上,故A,C,D都不正确.故选B.
答案:(1)B即时训练1-1:(1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是真命题,下列命题中正确的是( )
(A)方程f(x,y)=0表示的曲线是C
(B)方程f(x,y)=0表示的曲线不一定是C
(C)f(x,y)=0是曲线C的方程
(D)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上(2)若曲线y2-xy+2x+k=0过点(a,-a)(a∈R),则k的取值范围为 .?题型二由方程研究曲线 判断方程表示什么曲线,常需对方程进行变形,如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式,然后根据化简后的特点判断.特别注意,方程变形前后应保持等价,否则,变形后的方程表示的曲线不是原方程表示的曲线.另外,当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论的思想.误区警示求曲线的方程题型三【例3】 (1)已知圆C:x2+(y-3)2=9,过原点作圆C的弦OP,则OP中点Q的轨迹方程为 ;? 直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法,对于此类问题,在解题过程中,最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围,一定要慎重分析和高度重视.易错警示即时训练3-1:(1)已知△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a,c,b成等差数列,a>c>b,|AB|=2,则顶点C的轨迹方程为 ;?答案:(1)3x2+4y2=12(-20),则直角顶点C的轨迹方程为 .
.?答案:(2)x2+y2=a2(x≠±a)点击进入 课时作业谢谢观赏！
