2.2.1 椭圆及其标准方程
1.已知椭圆+=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是( D )
(A)+=1 (B)+=1
(C)x2+=1 (D)+=1
解析:由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,所以a2=2+4=6,
因此椭圆方程为+=1,故选D.
2.设F1,F2是椭圆+=1的焦点,P是椭圆上的点,则△PF1F2的周长是( B )
(A)16 (B)18 (C)20 (D)不确定
解析:由方程+=1知a=5,b=3,
所以c=4,
所以|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=8,
所以△PF1F2的周长为18.故选B.
3.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( B )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分且必要条件
(D)既不充分又不必要条件
解析:利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),所以甲是乙的必要条件.
反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的.
这是因为:仅当2a>|AB|时,P点轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹,所以甲不是乙的充分条件.
综上,甲是乙的必要不充分条件.故选B.
4.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(,-4)和Q(-,3),则此椭圆的方程是( A )
(A)+x2=1 (B)+y2=1
(C)+y2=1或x2+=1 (D)以上都不对
解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
则解得
所以椭圆方程为x2+=1.故选A.
5.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=30,则|AB|等于( C )
(A)16 (B)18 (C)22 (D)20
解析:由椭圆的定义得
两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=52,
又|F2A|+|F2B|=30,所以|AB|+30=52,
所以|AB|=22.故选C.
6.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( A )
(A)圆 (B)椭圆
(C)抛物线 (D)无法确定
解析:由题意得|PF1|+|PF2|=2a(a为大于零的常数,且2a>|F1F2|),|PQ|=|PF2|,
所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a.
所以动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.故 选A.
7.已知椭圆x2sin α-y2cos α=1(0≤α<2π)的焦点在y轴上,则α的取值范围是( D )
(A)(π,π) (B)(,π)
(C)(,π) (D)(,π)
解析:椭圆x2sin α-y2cos α=1(0≤α<2π)化为标准方程,
得+=1,
因为它的焦点在y轴上,
所以
所以0<-cos α所以<α<.故选D.
8.已知P是椭圆+=1(0(A)6 (B)4 (C)2 (D)
解析:设椭圆右焦点是F2,PF1的中点为N,
则+=2,所以|+|=2||=8,
所以||=4,
又O为F1F2中点,
所以ON为△PF1F2的中位线,
所以|PF2|=2||=8,
由方程可知a=5,
所以|PF1|=2a-|PF2|=2×5-8=2.故选C.
9.椭圆+=1上一点P到椭圆左焦点的距离为7,则点P到右焦点的距离为 .?
解析:根据椭圆的定义
|PF1|+|PF2|=2a,所以7+|PF2|=20,
解得|PF2|=20-7=13.
答案:13
10.椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆方程为 .?
解析:
如图,当P在y轴上时△PF1F2的面积最大,所以×8b=12,所以b=3.
又因为c=4,所以a2=b2+c2=25.
所以椭圆的标准方程为+=1.
答案:+=1
11.已知椭圆+=1的上、下两个焦点分别为F1,F2,点P为该椭圆上一点,若|PF1|,|PF2|为方程x2+2mx+5=0的两根,则m= .?
解析:由已知|PF1|+|PF2|=2a=6.
又因为|PF1|,|PF2|为方程x2+2mx+5=0的两根,
所以|PF1|+|PF2|=-2m,
所以m=-3.
经检验,m=-3满足题意.
答案:-3
12.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点为(0,-4),则k的值为 .?
解析:易知k≠0,方程2kx2+ky2=1变形为+=1,所以-=16,解得k=.
答案:
13.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).
解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为+=1 (a>b>0).将点(5,0)代入上式解得a=5,又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.故椭圆的标准方程为+=1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以?故椭圆的标准方程为+x2=1.
14.如图,已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若·=0.
(1)求椭圆的方程;
(2)求△PF1F2的面积.
解:(1)因为·=0,
所以PF1⊥PF2,
所以△PF1F2是直角三角形,
所以|OP|=|F1F2|=c.
又|OP|==5,
所以c=5.
所以椭圆方程为+=1.
又P(3,4)在椭圆上,
所以+=1,
所以a2=45或a2=5.
又a>c,所以a2=5舍去.
故所求椭圆方程为+=1.
(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,①
又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,②
由①2-②得2|PF1|·|PF2|=80,
所以=|PF1|·|PF2|=×40=20.
15.P是椭圆+y2=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点.
(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;
(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.
解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,①
且F1(-,0),F2(,0).
在△F1PF2中,由余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°.②
由①②得|PF1||PF2|=.
所以=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=.
(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,
得·<0,所以(x+,y)·(x-,y)<0,
又y2=1-,
所以x2<2,
解得-所以点P横坐标的取值范围是(-,).
16.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( D )
(A)-=1
(B)+=1
(C)-=1
(D)+=1
解析:由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y),因为AQ的垂直平分线交CQ于M,
所以|MA|=|MQ|.又|MQ|+|MC|=5,所以|MC|+|MA|=5>|AC|.依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,所以b=,
故椭圆方程为+=1,即+=1.故选D.
17.已知椭圆C:+=1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|等于( B )
(A)4 (B)8 (C)12 (D)16
解析:设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是△MAN的中位线,则|DF1|=|AN|,同理|DF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),因为D在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.故选B.
18.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为 .?
解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.
答案:7
19.若椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2,给出如下五个结论:
①椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点;②>;③-=-;④a1-a2解析:
序号
理由
正误
①
因为焦点相同且a1>a2,所以b1>b2,所以两个椭圆无公共点
√
②
-==<0,所以<
×
③
由焦点相同知,-=-,即-=-
√
④
由③得=<1,所以a1-a2√
⑤
由④知,纵向相差比横向大,故C1比C2更“圆”
√
答案:①③④⑤
20.已知动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64相内切,并且外切于定圆C2:x2+(y+3)2=4,求动圆圆心M的轨迹方程.
解:设动圆M的半径为r,圆心M(x,y),两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半径r1=8,r2=2.则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.故|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=
10.又|C1C2|=6,则动圆圆心M的轨迹是椭圆,设其方程为+=1 (a>b>0),且焦点为C1(0,3),C2(0,-3),2a=10,即a=5,c=3,则b2=a2-c2
=25-9=16.所以动圆圆心M的轨迹方程是+=1.
课件36张PPT。2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆及其标准方程课标要求:1.了解椭圆标准方程的推导.2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程. 自主学习1.椭圆的定义
(1)椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合
设点M是椭圆上的任意一点,点F1,F2是椭圆的焦点,则由椭圆的定义知,椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=常数,常数>|F1F2|>0}.知识探究注意:对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解
(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时,动点M的轨迹为椭圆.
(2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时,动点M的轨迹为以F1,F2为两端点的线段.
(3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时,动点M的轨迹不存在.
(4)此定义是推导椭圆方程的依据.
(5)理解椭圆定义要紧扣“到两定点距离之和为定值且大于两定点间的距离”.注意:椭圆标准方程的推导,要充分利用椭圆的对称性,当且仅当椭圆的中心为坐标原点,其焦点在坐标轴上时,椭圆的方程才具有标准形式.
(1)标准方程中根据x2,y2对应的分母的大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上,x2对应的分母大,焦点就在x轴上;y2对应的分母大,焦点就在y轴上.
(2)标准方程中的两个参数a,b确定了椭圆的形状和大小,是椭圆定形的条件,a,b,c三个量满足a2=b2+c2,恰好是一个直角三角形的三条边,构成如图的直角三角形,称为椭圆的“特征三角形”.椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a,b,c的几何意义.3.椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2
不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦
点三角形,如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在△MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos∠F1MF2.自我检测D 解析:|PF1|+|PF2|=2a=10.DC解析:由已知,k-4>10-k>0,解得7(2)与焦点三角形有关的问题,常考虑定义、余弦定理相结合求解,注意方程思想的应用.答案:(1)C题型二椭圆标准方程的理解 求参数的范围就是根据条件列出以参数为未知量的不等式(组)或方程(组),把问题转化为不等式(组)或方程(组)的求解问题.
本题如果未知焦点所在的位置,就要分两种情形分别列式求解.方法技巧(2)(2016·山东济南检测)如果椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k= .?答案:(2)1求椭圆的标准方程题型三【例3】 求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)a=5,c=2,焦点在y轴上;(2)焦距为8,椭圆上一点到两焦点的距离之和为12; 求椭圆方程的方法
(1)求椭圆的方程,可以利用定义求出参数a,b,c其中的两个量;也可以用待定系数法构造三者之间的关系.但是要注意先确定焦点所在的位置,其主要步骤可归纳为“先定位,后定量”.
(2)当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而达到了简化运算的目的.易错警示即时训练3-1:求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于6;(2)椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点.点击进入 课时作业谢谢观赏！
