2.3.1 双曲线及其标准方程
1.若方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是( B )
(A)(-1,3) (B)(-1,+∞)
(C)(3,+∞) (D)(-∞,-1)
解析:依题意应有m+1>0,即m>-1.故选B.
2.已知M(-2,0),N(2,0),||PM|-|PN||=3,则动点P的轨迹是( D )
(A)圆 (B)椭圆 (C)射线 (D)双曲线
解析:因为||PM|-|PN||=3<|MN|=4,所以由双曲线定义可知,点P的轨迹是双曲线.故选D.
3.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则|PF1|等于( A )
(A)8 (B)6 (C)4 (D)2
解析:依题意得解得|PF2|=6,|PF1|=8,故选A.
4.双曲线-=1的焦距为10,则实数m的值为( C )
(A)-16 (B)4 (C)16 (D)81
解析:因为2c=10,所以c2=25,所以9+m=25,所以m=16.故选C.
5.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是( D )
(A)焦点在x轴上的椭圆
(B)焦点在x轴上的双曲线
(C)焦点在y轴上的椭圆
(D)焦点在y轴上的双曲线
解析:方程mx2-my2=n可化为-=1.
因为mn<0,所以<0,->0.
方程又可化为-=1,
所以方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D.
6.已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则△ABF1的周长为( B )
(A)2a+2m (B)4a+2m
(C)a+m (D)2a+4m
解析:由双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a,
|BF1|-|BF2|=2a,
所以|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a.
所以|AF1|+|BF1|=4a+m.
所以△ABF1的周长是4a+2m.
故选B.
7.已知椭圆+=1与双曲线-=1有共同的焦点F1,F2,两曲线的一个交点为P,则·的值为( C )
(A)3 (B)7 (C)11 (D)21
解析:椭圆与双曲线同焦点,解得m=4,
设r1=|PF1|>r2=|PF2|,根据圆锥曲线定义
得r1+r2=10,r1-r2=4,
解得r1=7,r2=3,而焦距为6,由余弦定理得
cos∠F1PF2==,
因此·=3×7×=11.故选C.
8.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( A )
(A)x2-=1 (B)-y2=1
(C)y2-=1 (D)-=1
解析:由双曲线定义知,2a=-=5-3=2,
所以a=1.又c=2,所以b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-=1.故选A.
9.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m= .?
解析:由点F(0,5)可知双曲线-=1的焦点落在y轴上,
所以m>0,且m+9=52,解得m=16.
答案:16
10.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为 .?
解析:由题意可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由·=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.又根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a,两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1.
答案:-y2=1
11.已知椭圆+=1与双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,点P是两条曲线的一个公共点,则cos∠F1PF2的值为 .?
解析:设P在第一象限,由椭圆与双曲线的定义可得?
又|F1F2|=4,
由余弦定理得
cos∠F1PF2==.
答案:
12.从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M是线段PF的中点,O为原点,则|MO|-|MT|的值是 .?
解析:如图所示,设双曲线的右焦点为F1,连接PF1,则|PF|-|PF1|=2a,
在Rt△FTO中,|OF|=c,
|OT|=a,
所以|FT|===b,
又M是线段PF的中点,O为FF1中点,
所以|PF|=2|MF|=2(|MT|+b),
所以|MO|=|PF1|=(|PF|-2a)
=(2|MT|+2b-2a)
=|MT|+b-a
即|MO|-|MT|=b-a.
答案:b-a
13.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)a=3,c=4,焦点在x轴上;
(2)经过点(3,-4),(,5).
解:(1)由题设知,a=3,c=4,由c2=a2+b2得,b2=c2-a2=42-32=7.
因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
因为双曲线经过点(3,-4),(,5),
所以解得
故所求双曲线的标准方程为-=1.
14.已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
解:由-=1,
得a=3,b=4,c=5.
由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64.
所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
=×64×=16.
15.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别为左、右焦点,且|MF1|=2|MF2|,试求△MF1F2的面积.
解:(1)椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c=,
故设双曲线方程为-=1,则
解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)因为点M在双曲线上,又|MF1|=2|MF2|,
所以点M在双曲线的右支上,
则有|MF1|-|MF2|=2,故解得|MF1|=4,|MF2|=2,又|F1F2|=2,
因此在△MF1F2中,
cos∠F1MF2==,
所以sin∠F1MF2=,
所以=|MF1|·|MF2|·sin∠F1MF2
=×4×2×=2.
16.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是( A )
(A)-y2=1 (B)x2-=1
(C)-=1 (D)-=1
解析:因为·=0,
所以⊥,即MF1⊥MF2,
所以|MF1|2+|MF2|2=40.
则(|MF1|-|MF2|)2
=|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2
=40-2×2
=36.
所以||MF1|-|MF2||=6=2a,即a=3.
因为c=,所以b2=c2-a2=1.
所以该双曲线的方程是-y2=1.故选A.
17.已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是( D )
(A)x=0 (B)-=1(x≥)
(C)-=1 (D)-=1或x=0
解析:动圆M与两圆C1,C2都相切,有四种情况:
①动圆M与两圆都外切;
②动圆M与两圆都内切;
③动圆M与圆C1外切,与圆C2内切;
④动圆M与圆C1内切,与圆C2外切.
在①②情况下,显然动圆圆心M的轨迹方程是x=0;
在③的情况下,如图,设动圆M的半径为r,则|MC1|=r+,
|MC2|=r-,
故得|MC1|-|MC2|=2;
在④的情况下,
同理,得|MC2|-|MC1|=2.
由③④得||MC1|-|MC2||=2<8=|C1C2|,
根据双曲线定义,可知点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线,
且a=,c=4,b2=c2-a2=14,所以此时动圆圆心M的轨迹方程为-=1.故选D.
18.(2018·浙江衢州高三模拟)F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,☉A是△PF1F2的内切圆,☉A与x轴相切于点M(m,0),则m的值为 .?
解析:如图所示,易知|PB|=|PC|,|BF1|=|MF1|,
|CF2|=|MF2|,
|PF1|-|PF2|=|BF1|-|CF2|=|MF1|-|MF2|=2a,
所以点M在双曲线上,
因为a=4,
所以M(4,0),即m=4.
答案:4
19.已知F是双曲线-=1的左焦点,点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .?
解析:设右焦点为F′,依题意,
|PF|=|PF′|+4,
所以|PF|+|PA|=|PF′|+4+|PA|=|PF′|+|PA|+4≥|AF′|+4=5+4=9.
答案:9
20.已知△ABC的两个顶点A,B分别为椭圆x2+5y2=5的左焦点和右焦点,且三个内角A,B,C满足关系式sin B-sin A=sin C.
(1)求线段AB的长度;
(2)求顶点C的轨迹方程.
解:(1)将椭圆方程化为标准形式为+y2=1.所以a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4,
则A(-2,0),B(2,0),|AB|=4.
(2)因为sin B-sin A=sin C,所以由正弦定理得|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|=4,
即动点C到两定点A,B的距离之差为定值.所以动点C的轨迹是双曲线的右支,并且c′=2,a′=1,所以所求的点C的轨迹方程为x2-=1(x>1).
课件36张PPT。2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程课标要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 自主学习知识探究1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线定义的集合表示
设点M是双曲线上任意一点,点F1,F2是双曲线的焦点,则由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点M的集合,即点集P={M|||MF1|-|MF2||=常数,常数大于0且小于|F1F2|}.注意:(1)距离的差要加绝对值,否则只是双曲线的一支,若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,有两种情形:
①若点P满足|PF2|-|PF1|=2a(a>0),则点P在左支上.如图①所示.②若点P满足|PF1|-|PF2|=2a(a>0),则点P在右支上.如图②所示.(2)注意定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”.
①若2a=2c,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知识,当|PF1|-|PF2|= |F1F2|时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线.
②若2a>2c,即||PF1|-|PF2||>|F1F2|,根据平面几何知识,动点轨迹不存在.3.双曲线的标准方程注意:(1)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,它们恰好为一个直角三角形的三条边,其中c为斜边.注意与椭圆中b2=a2-c2相区别,在椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小则不确定.
(2)焦点F1,F2的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.可以根据项的正负来判断焦点所在的位置,即x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.简言之,“焦点跟着正项走”.自我检测D解析:双曲线的焦点坐标为(±5,0),令|PF2|=15,由||PF1|-|PF2||=8,解得|PF1|=23或|PF1|=7.D3.若k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是( )
(A)焦点在x轴上的椭圆
(B)焦点在y轴上的椭圆
(C)焦点在y轴上的双曲线
(D)焦点在x轴上的双曲线C解析:由已知a2=m,b2=3, 所以m+3=9,所以m=6.
答案:65.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为 .?题型一 双曲线定义的理解及应用 课堂探究【例1】 (1)已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是( )
(A)双曲线 (B)双曲线的一支
(C)直线 (D)一条射线解析:(1)F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.故选D.
答案:(1)D答案:(2)16答案:32误区警示 (1)在解决与双曲线有关的焦点三角形问题时,应注意双曲线定义条件||PF1|-|PF2||=2a的应用.
(2)解题的关键是“|PF1|·|PF2|”形式的“配凑”,将双曲线定义及图形的平面几何性质(结合正、余弦定理)“和谐”地结合起来,注意整体思想的应用,从而达到简化运算的目的.(2)已知一个动点P(x,y)到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离差的绝对值为定值a(a≥0),求点P的轨迹.解:(2)因为|F1F2|=2,
①当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x≥1)或y=0(x≤-1);
②当a=0时,轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即y轴,方程x=0;
③当0
④当a>2时,轨迹不存在.题型二双曲线标准方程的求法方法技巧 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:双曲线标准方程的理解题型三【例3】 (1)若θ是第三象限角,则方程x2+y2sin θ=cos θ表示的曲线是( )
(A)焦点在y轴上的双曲线
(B)焦点在x轴上的双曲线
(C)焦点在y轴上的椭圆
(D)焦点在x轴上的椭圆解析:(1)由题意知(k+1)(1-k)<0,
即(k+1)(k-1)>0,解得k>1或k<-1.
故选D.(2)已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是( )解析:(2)A中,由直线位置可知,m>0,n<0,曲线应为双曲线,故A错;B中,由直线位置可知,m<0,n>0,曲线应为双曲线,故B错;C中,由直线位置可知,m>0,n<0,曲线为焦点在x轴上的双曲线,故C正确;D中,由直线位置可知,m>0,n>0,曲线应为椭圆,故D错.故选C.点击进入 课时作业谢谢观赏！