2.3.2 双曲线的简单几何性质
1.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( A )
(A)2 (B)2 (C) (D)1
解析:因为双曲线-=1的一个焦点为F(4,0),其中一条渐近线方程为y=x,所以点F到x-y=0的距离为=2.故选A.
2.下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( C )
(A)x2-=1 (B)-y2=1
(C)-x2=1 (D)y2-=1
解析:双曲线-x2=1的焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x,选C.
3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则双曲线C的方程是( B )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
解析:依题意得,c=3,e=,所以a=2,从而a2=4,b2=c2-a2=5,故选B.
4.实轴长为2,虚轴长为4的双曲线的标准方程是( D )
(A)x2-=1
(B)y2-=1
(C)-=1或-=1
(D)x2-=1或y2-=1
解析:2a=1,2b=4,焦点在x轴时,双曲线的标准方程是x2-=1,焦点在y轴时,标准方程为y2-=1,故选D.
5.已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a等于( D )
(A)2 (B) (C) (D)1
解析:由双曲线方程知b2=3,
从而c2=a2+3,
又e=2,因此==4,又a>0,
所以a=1.故选D.
6.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( D )
(A) (B) (C)4 (D)
解析:由双曲线的定义知(|PF1|-|PF2|)2=4a2,
所以4a2=b2-3ab,即-3·=4,
解得=4(=-1舍去).
因为双曲线的离心率e==,
所以e=.故选D.
7.直线l经过P(1,1)且与双曲线x2-=1交于A,B两点,如果点P是线段AB的中点,那么直线l的方程为( D )
(A)2x-y-1=0 (B)2x+y-3=0
(C)x-2y+1=0 (D)不存在
解析:当斜率不存在时,方程为x=1,与双曲线相切不符合题意,当斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得两式相减得-=(-),整理求出k=2,则直线方程为y=2x-1,联立直线方程与双曲线方程消元后检验Δ<0,方程无解,所以不存在.
故选D.
8.若在双曲线-=1 (a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是( C )
(A)(,+∞) (B)(1,)
(C)(2,+∞) (D)(1,2)
解析:由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线-=1 (a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2.故选C.
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ;b= .?
解析:由2x+y=0,得y=-2x,所以=2.又c=,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.
答案:1 2
10.已知双曲线标准方程为-=1(a>0,b>0),一条渐近线方程为y=3x,则双曲线的离心率是 .?
解析:因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以=3,
则离心率e=====.
答案:
11.与双曲线-=1有相同渐近线,且经过点(3,-3)的双曲线的标准方程是 .?
解析:设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0),
因为所求双曲线经过点(3,-3),
所以-=λ,
所以λ=,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
12.过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线有 条.?
解析:依题意得右焦点F(5,0),所以过F且垂直于x轴的直线是x=5,代入-=1,得y=±,所以此时弦长为×2=.
当直线不垂直x轴时,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比长.因为两顶点间距离为4,即左右两支上的点的最短距离是4,所以如果交于两支的话,弦长不可能为,故只有一条.
答案:1
13.分别求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0);
(2)双曲线过点(3,9),离心率e=.
解:(1)设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).由已知得a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故双曲线C的标准方程为-y2=1.
(2)由e2=,得=,设a2=9k(k>0),则c2=10k,b2=c2-a2=k.于是,设所求双曲线方程为-=1,① 或-=1,② 把(3,9)代入①,得k=-161与k>0矛盾;
把(3,9)代入②,得k=9,故所求双曲线的标准方程为-=1.
14.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为且过点(4,-).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:点M在以F1F2为直径的圆上.
(1)解:因为离心率e=,
所以设所求双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),
则由点(4,-)在双曲线上,知λ=42-(-)2=6,
所以双曲线方程为x2-y2=6.
(2)证明:若点M(3,m)在双曲线上,则32-m2=6,
所以m2=3,由双曲线x2-y2=6知
F1(-2,0),F2(2,0),
所以·=(-2-3,-m)·(2-3,-m)
=(-2-3)×(2-3)+m2
=-12+9+m2
=0,
所以⊥,
故点M在以F1F2为直径的圆上.
15.斜率为k的直线过点P(0,1),与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点,求k的值.
名师点拨:(1)将直线方程与双曲线方程联立,消去一个未知数,利用判别式Δ>0求实数k的取值范围;(2)由于以AB为直径的圆过坐标 原点,
所以∠AOB=90°,
所以·=0,
所以x1x2+y1y2=0,由此建立关于k的方程,求k的值.
解:(1)由?(3-k2)x2-2kx-2=0,
?-故实数k的取值范围为(-,-)∪(-,)∪(,).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意知OA⊥OB,
所以x1x2+y1y2=0,
而x1+x2=,x1x2=-?y1y2=1,
所以1-=0?k=±1.
16.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2离心率之积为,则C2的渐近线方程为( C )
(A)x±y=0 (B)x±2y=0
(C)x±y=0 (D)2x±y=0
解析:椭圆C1的离心率为e1=,
双曲线C2的离心率为e2=,
由题意可得·=,
可得a2=2b2,即a=b,
又双曲线的渐近线方程为y=±x,
即为x±y=0.故选C.
17.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在一点M,使得(+)·=0(其中O为坐标原点),且||=||,则双曲线的离心率为( D )
(A)-1 (B)
(C) (D)+1
解析:因为=-,所以(+)·=(+)·(-)=0,即-=0,所以||=||=c,在△MF1F2中,边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半,可得⊥.
因为||=||,所以可设||=λ(λ>0),||=λ,得(λ)2+λ2=4c2,解得λ=c,
所以||=c,||=c,所以根据双曲线定义得2a=||-||=(-1)c,所以双曲线的离心率e==+1.故选D.
18.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .?
解析:由题2×=3×2c,得e=2.
答案:2
19.已知双曲线C的渐近线方程是y=±2x,右焦点F(3,0),则双曲线C的方程为 ,又若点N(0,6), M是双曲线C的左支上一点,则△FMN周长的最小值为 .?
解析:因为双曲线C的渐近线方程是y=±2x,右焦点F(3,0), 所以?所以双曲线C方程为x2-=1,设左焦点F′(-3,0),由双曲线定义可得MF=2a+MF′=2+MF′,
所以△FMN的周长为FN+MN+MF=FN+MN+MF′+2a≥FN+F′N+2a =++2=6+2.
答案:x2-=1 6+2
20.已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点,实半轴长为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.
解:(1)由椭圆方程知,椭圆的焦点坐标为(2,0),(-2,0),则双曲线C的焦点坐标为(2,0),(-2,0).
设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),
因为a=,c=2,所以b=1,
故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1得
(1-3k2)x2-6kx-9=0,
由得k2≠,且k2<1,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
由·>2得x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2
=(k2+1)+k+2>2,得又k2<1,所以即k的取值范围为(-1,-)∪(,1).
课件41张PPT。2.3.2 双曲线的简单几何性质课标要求:1.掌握双曲线的简单几何性质.2.能够利用双曲线的简单几何性质解题.3.能区分椭圆与双曲线的性质. 自主学习知识探究2.对称性
以-x代x可得双曲线关于y轴对称;以-y代y可得双曲线关于x轴对称;以-x代x,-y代y可得双曲线关于原点对称.即坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(2)实轴、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长.(2)范围
由c>a>0可知双曲线的离心率e>1.7.等轴双曲线与共轭双曲线
(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,等轴双曲线有如下性质:
①方程形式为x2-y2=λ(λ≠0);
②渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角;②两个共轭双曲线有相同的焦距;自我检测DBC题型一 双曲线的简单几何性质 课堂探究【例1】 (10分)求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.变式探究:将本例双曲线方程改为“4x2-y2=-4”,试求解之.方法技巧 由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)求双曲线9x2-y2=81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程、离心率.题型二由几何性质求双曲线的方程答案:(1)C 答案:(2)A 方法技巧⑤渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
⑥渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).(3)与双曲线x2-2y2=2有公共的渐近线,且过点M(2,-2).(5)过点P(2,-1),渐近线方程是y=±3x.直线与双曲线的位置关系题型三【例3】 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个公共点;(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;
(3)直线l与双曲线没有公共点.题后反思 直线与双曲线位置关系的处理方法
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元化为一元二次方程形式,在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式:
(1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的交点.
(2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.
(3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当二次项系数为0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点.即时训练3-1:直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.
(1)求实数k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.点击进入 课时作业谢谢观赏！
