3.2 立体几何中的向量方法
第一课时 空间向量与平行、垂直关系
1.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量.若l1∥l2,则( D )
(A)x=6,y=15 (B)x=3,y=
(C)x=3,y=15 (D)x=6,y=
解析:由l1∥l2得,==,解得x=6,y=.故选D.
2.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是( A )
(A)(2,2,6) (B)(-1,1,3) (C)(3,1,1) (D)(-3,0,1)
解析:因为A,B在直线l上,所以=(1,1,3),与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.故选A.
3.直线l的方向向量为a,平面α内两共点向量,,下列关系中能表示l∥α的是( D )
(A)a= (B)a=k
(C)a=p+λ (D)以上均不能
解析:A,B显然不能,而a=p+λ能表示l∥α或l?α.故选D.
4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量是( D )
(A)(1,1,-1) (B)(1,-1,1)
(C)(-1,1,1) (D)(-1,-1,-1)
解析:=(-1,1,0),=(-1,0,1).
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有
取x=-1,则y=-1,z=-1.
故平面ABC的一个法向量是(-1,-1,-1).故选D.
5.设平面α的法向量的坐标为(1,2,-2),平面β的法向量的坐标为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于( C )
(A)2 (B)-4 (C)4 (D)-2
解析:因为α∥β,所以==,所以k=4.
6.已知直线l1的方向向量是a=(2,4,x),直线l2的方向向量是b=(2,y,2).若|a|=6,且a·b=0,则x+y的值是( A )
(A)-3或1 (B)3或-1 (C)-3 (D)1
解析:由题意知|a|==6,
解得x=±4,由a·b=4+4y+2x=0,
得x=-2y-2.
当x=4时,y=-3,所以x+y=1,
当x=-4时,y=1,所以x+y=-3,
综上,x+y=-3或1.
7.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( B )
(A)(1,-1,1) (B)(1,3,)
(C)(1,-3,-) (D)(-1,3,-)
解析:依题意知,⊥n,所以·n=0,逐一验证可知,选B.
8.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( B )
(A)EF至多与A1D,AC之一垂直
(B)EF⊥A1D,EF⊥AC
(C)EF与BD1相交
(D)EF与BD1异面
解析:以D为原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz(图略),设正方体棱长为3,则
A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),D1(0,0,3),
A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),
所以=(1,1,-1),=(-3,-3,3),
=(-3,0,-3),=(-3,3,0),
因为·=-3+0+3=0,
·=-3+3+0=0,
=-3,
所以EF⊥A1D,EF⊥AC,EF∥BD1.故选B.
9.已知直线l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(1,,2),且l∥α,则m= .?
解析:因为l∥α,所以l的方向向量与α的法向量垂直.
所以(2,m,1)·(1,,2)=2+m+2=0.
解得m=-8.
答案:-8
10.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z= .?
解析:因为α∥β,所以u1∥u2,所以==,
所以y=1,z=-4,所以y+z=-3.
答案:-3
11.若平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则α与β的位置关系是 .?
解析:因为u与v既不平行也不垂直,所以α与β斜交.
答案:斜交
12.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z= .?
解析:=(1,-3,-),=(-2,-1,-),
由
得解得
则x∶y∶z=y∶y∶(-y)=2∶3∶(-4).
答案:2∶3∶(-4)
13.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量;
(2)若∠PDA=45°,求证为平面PCD的一个法向量.
(1)解:如图,取PD的中点E,连接NE,AE,
因为N是PC的中点,
所以NEDC.
又因为DCAB,AM=AB,
所以AMCD,所以NE??AM,
所以四边形AMNE是平行四边形,
所以MN∥AE.
所以为直线MN的一个以A为起点的方向向量.
(2)证明:在Rt△PAD中,∠PDA=45°,
所以AP=AD,所以AE⊥PD.
又因为MN∥AE,所以MN⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
又因为CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD.
因为AE?平面PAD,所以CD⊥AE.
又因为MN∥AE,所以CD⊥MN,
所以MN⊥平面PCD.
所以为平面PCD的一个法向量.
14.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形, AD=DE=2AB,F为CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求证:平面BCE⊥平面CDE.
证明:设AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a).
因为F为CD的中点,所以F(a,a,0).
(1)因为=(a,a,0),=(a,a,a),=(2a,0,-a),
所以=(+),
又AF?平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(2)因为=(a,a,0),=(-a,a,0),=(0,0,-2a),
所以·=0,·=0,
所以⊥,⊥.
因为CD∩ED=D,
所以AF⊥平面CDE.
又AF∥平面BCE,
所以平面CDE⊥平面BCE.
15.(2018·浙江温州高二检测)如图,已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点.
(1)证明:PF⊥FD;
(2)判断并证明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD.
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,
如图,建立空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).
不妨令P(0,0,t),所以=(1,1,-t),=(1,-1,0),
所以·=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,
所以⊥,即PF⊥FD.
(2)解:存在.
设平面PFD的法向量为n=(x,y,z),
由得
令z=1,解得x=y=,
所以n=(,,1).
设点G的坐标为(0,0,m),
又E(,0,0),则=(-,0,m).
要使EG∥平面PFD,只需·n=0,
即(-)×+0×+m×1=0,即m-=0,
解得m=t,从而满足AG=AP的点G即为所求.
16.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的值为( B )
(A)1∶2 (B)1∶1 (C)3∶1 (D)2∶1
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E(,1,0),P(0,0,a).
设点F的坐标为(0,y,0),
则=(-1,y,0),=(,1,-a).
因为BF⊥PE,
所以·=0,
解得y=,即点F的坐标为(0,,0),
所以F为AD的中点,
所以AF∶FD=1∶1.故选B.
17.在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( B )
(A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定
解析:建系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,2,2),A1(2,2,0),
C(0,0,2),B(2,0,2),所以M(2,1,1),N(1,1,2),所以=(-1,0,1).
又平面BB1C1C的一个法向量为n=(0,1,0),
因为-1×0+0×1+1×0=0,
所以⊥n,又MN?平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.故选B.
18.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4), =(4,2,0),=(-1,2,-1).给出下列结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的一个法向量.其中正确的是 (填序号).?
解析:因为·=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=-2-2+4=0,所以⊥,则AB⊥AP.
因为·=4×(-1)+2×2+0=0,
所以⊥,则AP⊥AD.又AB∩AD=A,
所以AP⊥平面ABCD,故是平面ABCD的一个法向量.
答案:①②③
19.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,则= .?
解析:因为⊥,所以·=0,
所以3+5-2z=0,
所以z=4.
因为=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,
所以即
解得所以=(,-,-3).
答案:(,-,-3)
20.在三棱锥PABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.
(1)求证:平面GEF⊥平面PBC;
(2)求证:EG与直线PG和BC都垂直.
证明:(1)如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz.
则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),
E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),
P(0,0,0).
于是=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).
设平面GEF的法向量是n=(x,y,z),
则即可取n=(0,1,-1).
显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.
又n·=0,所以n⊥,即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量 垂直,
所以平面GEF⊥平面PBC.
(2)由(1)知,=(1,-1,-1),=(1,1,0),=(0,-3,3),
所以·=0,·=0,
所以EG⊥PG,EG⊥BC,
所以EG与直线PG和BC都垂直.
课件46张PPT。第一课时 空间向量与平行、垂直关系课标要求:1.理解直线的方向向量与平面的法向量,并能运用它们证明平行问题和垂直问题.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系和垂直关系. 自主学习知识探究1.点的位置向量3.空间平面的向量表示4.平面法向量的定义
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.给定一点A和一个向量a,那么,过点A,以向量a为法向量的平面是完全确定的.5.平面法向量的性质
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行.6.平面的法向量的求法
已知平面内两条相交直线的方向向量,可求出该平面的一个法向量.
确定平面的法向量通常有两种方法:
方法一:在几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直.
方法二:在几何体中没有现成的有向线段,这时一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求平面的法向量.一般步骤如下:
(1)设平面的一个法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2, b2,c2).(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组:(4)解方程组,取其中的一组解,即得该平面的一个法向量.由于平面的法向量有无数个,故可在方程组的解中取一个较简单的作为平面的法向量.7.利用空间向量表示立体几何中的平行与垂直关系
因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线与平面的位置关系,所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量来研究空间直线、平面的平行(或垂直)问题.
设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则①线线平行:l∥m?a∥b?a=kb,k∈R;
线面平行:l∥α?a⊥u且l?α?a·u=0且l?α;
面面平行:α∥β?u∥v?u=kv,k∈R.②线线垂直:l⊥m?a⊥b?a·b=0;
线面垂直:l⊥α?a∥u?a=ku,k∈R;
面面垂直:α⊥β?u⊥v?u·v=0.8.用向量法证明空间中的平行关系
空间中的平行关系有:直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行.
(1)线线平行
设直线l1,l2的方向向量分别为v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2),则l1∥l2?v1∥v2?v1=λv2(λ∈R)?a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2.(2)线面平行
证法一:设直线l的方向向量是a=(x1,y1,z1),平面α的法向量是u=(x2,y2, z2),则l∥α?a⊥u,且l?α?a·u=0且l?α?x1x2+y1y2+z1z2=0且l?α.
证法二:根据线面平行的判定定理“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
证法三:根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可.(3)面面平行
证法一:由面面平行的判定定理知,要证明面面平行,只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可.
证法二:若能求出平面α,β的法向量u,v,要证明α∥β,只要证明u∥v即可.9.用向量法证明空间中的垂直关系
空间中的垂直关系有:线线垂直、线面垂直、面面垂直.
(1)线线垂直
设直线l1,l2的方向向量分别为a1,a2,要证明l1⊥l2,只要证明a1·a2=0即可.
(2)线面垂直
证法一:设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,要证l⊥α,只要证a∥u即可.
证法二:根据线面垂直的判定定理,转化为证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量垂直.
(3)面面垂直
设平面α,β的法向量分别为u1,u2,则只需证明u1⊥u2,即只需证明u1·u2=0即可.自我检测1.已知A(1,2,3),B(2,1,4)是直线AB上两点,单位向量e是直线AB的方向向量,则e等于( )C解析:问题即求与n共线的一个向量.即n=(2,-3,1)=-(-2,3,-1).2.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
(A)(0,-3,1) (B)(2,0,1)
(C)(-2,-3,1) (D)(-2,3,-1)D3.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于( )
(A)3 (B)6
(C)-9 (D)9C解析:因为l⊥α,v与平面α平行,所以u⊥v,即u·v=0,所以1×3+3×2+z×1=0,
所以z=-9.答案:-84.已知直线l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(1, ,2),且l∥α,则m= .?答案:-105.若平面α,β的法向量分别为(-1,2,4),(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为 .?题型一 求平面的法向量 课堂探究【例1】 如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD= ,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量.方法技巧 求平面法向量的方法与步骤(2)设平面的法向量为n=(x,y,z);(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.即时训练1-1:已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法
向量.题型二利用空间向量证明平行问题【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:FC1∥平面ADE.变式探究:在本例条件下,求证:平面ADE∥平面B1C1F.方法技巧 利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现,一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化,得到向量的共线关系;二是通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.即时训练2-1:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.证明:法一 如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
题型三 利用空间向量证明线线垂直方法技巧 用向量法证明空间两条直线相互垂直,主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直,具体方法为
(1)坐标法:根据图形的特征,建立恰当的直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表达出两直线的方向向量,证明其数量积为0.
(2)基向量法:利用向量的加减法运算,结合图形,将要证明的两直线所在的向量用基向量表达出来,利用数量积运算证明两向量的数量积为0.即时训练3-1:在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:A1F⊥C1E.题型四 利用空间向量证明线面垂直问题(1)设平面PAB∩平面PCD=m,求证:CD∥m;证明:(1)因为AB∥CD,
CD?平面PAB,AB?平面PAB,
所以CD∥平面PAB.
因为CD?平面PCD,平面PAB∩平面PCD=m,
所以CD∥m.(2)证明:BD⊥平面PAC.方法技巧 用向量法证明线面垂直的方法及步骤
(1)基向量法
①确定基向量作为空间的一个基底,用基向量表示有关直线的方向向量;
②找出平面内两条相交直线的方向向量,并分别用基向量表示;
③分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的方向向量的数量积,根据数量积为0,证得线线垂直,然后由线面垂直的判定定理得出结论.
(2)坐标法
方法一:①建立空间直角坐标系;
②将直线的方向向量用坐标表示;
③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;
④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
方法二:①建立空间直角坐标系;
②将直线的方向向量用坐标表示;
③找出平面的法向量;
④判断直线的方向向量与平面的法向量平行.即时训练4-1:如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1= .
证明:A1C⊥平面BB1D1D.题型五 利用空间向量证明面面垂直问题【例5】 如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2 ,侧棱长为4,E, F分别是棱AB,BC的中点,EF∩BD=G.求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1.证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意知方法技巧 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径,一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直.即时训练5-1:如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1= 1,E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.点击进入 课时作业谢谢观赏！
