3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.2 空间向量的数乘运算
1.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)等于( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:+(+)=+×(2)=+=.故选A.
2.下列命题中正确的个数是( A )
①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;
②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面;
③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;
②中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内,故②错误;③当b为零向量,a不为零向量时,λ不存在.故 选A.
3.在平行六面体ABCDEFGH中,若=x-2y+3z,则x+y+z等于( C )
(A) (B) (C) (D)1
解析:=++,则x=1,y=-,z=,故选C.
4.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )
(A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D
解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A.
5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( A )
(A)P∈AB (B)P?AB
(C)点P可能在直线AB上 (D)以上都不对
解析:因为m+n=1,所以m=1-n,
所以=(1-n)+n,
即-=n(-),即=n,
所以与共线.又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.故选A.
6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( D )
(A)m,n,p共线 (B)m与p共线
(C)n与p共线 (D)m,n,p共面
解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.
7.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于( D )
(A) (B)9 (C) (D)
解析:因为a,b,c三向量共面,
所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,
即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).
所以所以λ=.
8.给出下列命题:
①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若,共线,则AB∥CD;④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:显然①正确;若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若,共线,则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.故选C.
9.下列命题:
①空间向量就是空间中的一条有向线段;
②不相等的两个空间向量的模必不相等;
③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;
④向量与向量的长度相等.
其中真命题有 .?
解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来.
②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可.
③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.
④真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的.
答案:①
10.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若=a,=b,=c,则= .?
解析:如图,
=-
=-=--(-)
=-c-(a-b)=-c-a+b.
答案:-c-a+b
11.已知点G是△ABC的重心,O是空间任一点,若++=λ,则λ的值为 .?
解析:连接CG并延长交AB于D,则=2,
所以-=2(-),
即3=2+.又2=+,
所以3=++.
因此,λ的值为3.
答案:3
12.有下列命题:
①若∥,则A,B,C,D四点共线;
②若∥,则A,B,C三点共线;
③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;
④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.
其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上).?
解析:根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且AB,AC有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2= -4·(-e1+e2)=-4b,所以a∥b.故③正确;易知④也正确.
答案:②③④
13.如图所示,已知几何体ABCDA1B1C1D1是平行六面体.
(1)化简++,并在图中标出其结果;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=α+β+γ,求α,β,γ的值.
解:(1)取DD1的中点G,过点G作DC的平行线GH,使GH=DC,连接AH (如图),
则++=.
(2)因为M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,
所以=+=+
=(-)+(+)
=++,
所以α=,β=,γ=.
14.如图,H为四棱锥PABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC,点G在AH上,AG=mAH.四边形ABCD为平行四边形,若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.
解:连接BD,BG.
因为=-且=,
所以=-.
因为=+,
所以=+-=-++.
因为=,
所以==(-++)
=-++.
又因为=-,
所以=-++.
因为=m,
所以=m=-++.
因为=-+=-+,
所以=(1-)+(-1)+.
又因为B,G,P,D四点共面,
所以1-=0,
即m=.
15.求证:四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分.
已知:如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G,H,P,Q分别是所在棱的中点.求证:EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.
证明:因为E,G分别为AB,AC的中点,
所以EGBC.
同时,HFBC,所以EGHF.
从而四边形EGFH为平行四边形,故其对角线EF,GH相交于一点O,且O为它们的中点.只要能证明向量=-,就可以说明P,O,Q三点共线且O为PQ的中点.
事实上,=+,=+.
因为O为GH的中点,
所以+=0.
又因为GPCD,QHCD,
所以=,=.
所以+=+++=0.
所以=-.
故PQ经过O点,且O为PQ的中点.
所以EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.
16.已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有( C )
①+与+是一对相反向量;
②-与-是一对相反向量;
③+++与+++是一对相反向量;
④-与-是一对相反向量.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:利用图形及向量的运算可知②是相等向量,①③④是相反向量.故选C.
17.若P,A,B,C为空间四点,且有=α+β,则α+β=1是A,B,C三点共线的( C )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:若α+β=1,则-=β(-),即=β,显然A,B,C三点共线;若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ,故-=λ(-),整理得=(1+λ)-λ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1.故选C.
18.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为零的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为 .?
解析:因为A,B,C三点共线,
所以存在惟一实数k,使=k,
即-=k(-),
所以(k-1)+-k=0,
又λ+m+n=0,
令λ=k-1,m=1,n=-k,则λ+m+n=0.
答案:0
19.如图所示,在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则= (用a,b,c表示).?
解析:=+=a+
=a+(-)=a+
=a+×(+)
=a+b+c.
答案:a+b+c
20.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平面外的一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心.
(1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面;
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.
(1)证明:分别连接PE,PF,PG,PH并延长,
交对边于点M,N,Q,R,连接MN,NQ,QR,RM,
因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,
所以M,N,Q,R是所在边的中点,且=,
=,=,
=.
由题意知四边形MNQR是平行四边形,
所以=+=(-)+(-)
=(-)+(-)
=(+).
又=-=-=.
所以=+,
由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.
(2)解:平行.
证明如下:由(1)得=,
所以∥,
所以∥平面ABCD.
又=-=-=,
所以∥.
即EF∥平面ABCD.
又因为EG∩EF=E,
所以平面EFGH与平面ABCD平行.
课件43张PPT。3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.2 空间向量的数乘运算课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共面向量定理及推论.自主学习课堂探究 自主学习1.空间向量及其长度的定义
与平面向量一样,在空间,我们把 叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模.知识探究具有大小和方向的量2.空间向量的表示方法
(1)几何表示:与平面向量一样,空间向量也用 表示,有向线段的 表示向量的模.
(2)符号表示:如图所示,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作 ,其模记为|a|或| |.空间向量在空间中是可以任
意平移的,这是向量与有向线段的本质区别.有向线段长度3.几个特殊的空间向量
(1)零向量:我们规定, 叫做零向量,记为0.当有向线段的起点A和终点B重合时 ,=0.长度为0的向量(2)单位向量: 称为单位向量.
(3)相反向量: 的向量,称为a的相反向量,记为-a.
(4)相等向量: 的向量称为相等向量,在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.模为1的向量 与向量a长度相等而方向相反 方向相同且模相等注意:(1)单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定方向,需注意单位向量有无数个,它们的方向不确定,因此,它们不一定相等;零向量也有无数个,它们的方向任意,但规定所有的零向量都相等.(2)在平面内,若以两个同向向量为对边可构成平行四边形,则这两个向量相等,在空间中,这个结论同样成立.
(3)和平面向量一样,若两个空间向量相等,则它们的方向相同,且模相等,但起点、终点未必相同.
(4)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.因此,关于两个向量的比较,我们仅研究两者是否相等.4.空间向量的加减运算
空间向量的加减运算类似于平面向量的加减运算,加法满足三角形法则和平行四边形法则,减法运算为加法运算的逆运算.5.空间向量的加法运算满足的运算律
(1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).6.空间向量的数乘运算的定义
(1)定义:与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.
(2)λa的方向和长度如下:
①方向:
当λ>0时,λa与向量a方向相同,如图(1);
当λ<0时,λa与向量a方向相反,如图(2);
当λ=0时,λa=0.
②大小:
λa的长度是a的长度的|λ|倍.7.空间向量的数乘运算的运算律
(1)分配律:λ(a+b)=λa+λb;(2)结合律:λ(μa)=(λμ)a.
8.共线向量
(1)共线向量的定义
如果表示空间向量的有向线段 ,则这些向量叫做共线向量或平行向量.
理解共线向量的定义时,要注意以下两点:
①零向量和空间任一向量是共线向量.
②共线向量不具有传递性,如a∥b,b∥c,那么a∥c不一定成立,因为当b=0时,虽然a∥b,b∥c,但a不一定与c共线.所在的直线互相平行或重合(2)向量共线的充要条件(又称共线向量定理)
类似于平面向量共线的充要条件,对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是 .
对向量共线的充要条件的理解,应从以下几个方面正确把握:
①在此充要条件中,要特别注意b≠0,若不加b≠0,则该充要性不一定成立.例如:若a≠0,b=0,则a∥b,但λ不存在,该充要性也就不成立了.②该充要条件包含两个命题:
a.a∥b?存在唯一的实数λ,使a=λb;
b.存在唯一的实数λ,使a=λb?a∥b.
③向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据,但必须注意在向量a(或b)上存在一点不在向量b(或a)上.存在实数λ,使a=λb9.共面向量
(1)共面向量的定义
平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
空间任意两个向量必共面,但空间任意三个向量不一定共面.(2)三个向量共面的充要条件(又称共面向量定理)
如果两个向量a,b ,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是 .不共线存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb注意:(1)0与空间任意向量a都是共线向量.
(2)a与b共线时,表示a与b的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线.
(3)共线向量定理中的b≠0不可去掉,否则实数λ可能不唯一.(5)空间任意两个向量必共面,但空间任意三个向量不一定共面.
(6)空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
(7)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.自我检测1.下列命题中,假命题是( )
(A)任意两个向量都是共面向量
(B)空间向量的加法运算满足交换律及结合律
(C)只有零向量的模等于0
(D)共线的单位向量都相等D解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故
选D.C 2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是( )
(A)a=b (B)a+b为实数0
(C)a与b方向相同 (D)|a|=3D答案:±1题型一 空间向量的有关概念 课堂探究答案:(1)D答案:(2)①②易错警示 (1)判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要元素,即大小和方向,两者缺一不可.
(2)要注意零向量的特殊性.对于零向量,应明确:
①零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的;
②零向量与任何向量都共线.
(3)对于共线向量应明确:
①当a与b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线,也可能是平行直线;
②共线(平行)向量不具有传递性,如a∥b,b∥c,那么a∥c就不一定成立,因为b=0时,虽然有a∥b,b∥c,但a不一定与c共线,若a,b,c都不是零向量,则具有传递性.解析:(1)①正确,零向量的方向是任意的.
②错误,空间向量可以平行移动.
③正确,向量的模可以比较大小,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大.
④错误,如果两个向量不相同,它们的长度可以相等.即时训练1-1:(1)给出下列命题:
①零向量没有确定的方向;
②空间向量是不能平行移动的;
③有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大;
④如果两个向量不相同,那么它们的长度也不相等.其中正确的是( )
(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①③④答案:(1)C(2)如图,在以长、宽、高分别为AB=4,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,单位向量共有 个,模为 的所有向量为 .?题型二 空间向量的加减和数乘运算答案:(2)①②③④ (1)利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法,一般地,可以找到的封闭图形不是唯一的,但无论哪一种途径,结果应是唯一的.
(2)应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提,一定要熟练掌握.方法技巧答案:(1)b-a+c a+b-c 空间向量共线问题题型三方法技巧 (1)判断向量共线的策略
①熟记共线向量充要条件:a∥b,b≠0,则存在惟一实数λ使a=λb;若存在惟一实数λ,使a=λb,则a∥b.
②判断向量共线的关键:找到实数λ.
(2)三点共线与直线平行的判断
①线线平行:证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a,b平行,还要证明一直线上有一点不在另一条直线上.题型四 空间向量共面问题(1)证明:A,E,C1,F四点共面;方法技巧 (1)证明空间三个向量共面,常用如下方法:
①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若a=xb+yc,则向量a,b,c共面;
②寻找平面α,证明这些向量与平面α平行.点击进入 课时作业谢谢观赏！
