3.1.3 空间向量的数量积运算
1.下列命题中,不正确的有( D )
①=|a|;②m(λa)·b=(mλ)a·b;③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b=b2a.
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
解析:①②③正确,④不正确,因为等式左边表示与b共线的向量,右边表示与a共线的向量,两者方向不一定相同.故选D.
2.正方体ABCDA′B′C′D′中,<,>等于( D )
(A)30° (B)60° (C)90° (D)120°
解析:因为B′D′∥BD,所以A′B,B′D′的夹角即为A′B,BD的夹角.因为△A′BD为正三角形,所以∠A′BD=60°.由向量夹角的定义可知<,>=120°,即<,>=120°.故选D.
3.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件
解析:若a·b=|a||b|,则
=0°,所以a与b共线;反之,若a与b共线,则=0°或180°,a·b=±|a||b|.故选A.
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:①(++)2=3;②·(-)=0;③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)0
解析:①,②均正确;③不正确,因为与夹角为120°.
5.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为( B )
(A)- (B) (C) (D)
解析:如图,由图知直线AM与CN所成角等于<,>,=+,
=+,
所以·=(+)·(+)=·+·+·+·
=,||===,
||==.
所以cos<,>===.
6.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为( D )
(A)60° (B)30° (C)135° (D)45°
解析:因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,
所以a·a-a·b=|a|2-|a|·|b|·cos
=1-1··cos=0,
所以cos=.
因为0°≤≤180°,
所以=45°.
7.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是( A )
(A)与 (B)与
(C)与 (D)与
解析:因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥CD,故·=0,排除D;
因为AD⊥AB,PA⊥AD,
又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,
所以AD⊥PB,故·=0,排除B;
同理·=0,排除C.故选A.
8.设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·a)c-(c·a)b一定不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是( D )
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
解析:根据向量数量积的定义及性质,可知a·b和c·a是实数,而c与b不共线,故(a·b)c与(c·a)b不一定相等,故①错误;③因为[(b·a)c-(c·a)b]·c=(b·a)c2-(c·a)(b·c),所以当a⊥b,且a⊥c或b⊥c时,[(b·a)c-(c·a)b]·c=0,即(b·a)c-(c·a)b与c垂直,故③错误;易知②④正确.故选D.
9.已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,如图,则PC等于 .?
解析:因为=++,
所以||2=(++)2=+++2·+2·+2·= 36+36+36+0+0+2||||cos 60°=108+2×6×6×=144.
所以PC=12.
答案:12
10.已知a,b是异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2, CD=1,则a,b所成的角是 .?
解析:=++,
所以·=·(++)=||2=1,
所以cos<,>==,
所以异面直线a,b所成角是60°.
答案:60°
11.设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则向量a,b的夹角= ?
解析:因为(2m+n)⊥(m-3n),
所以(2m+n)·(m-3n)=0.
化简得m·n=-2,又|a|==
==6.
|b|====3.
所以a·b=(4m-n)·(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+m·n=18.
所以cos===1.
所以=0°
答案:0°
12.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两两夹角都是60°,则对角线AC1的长是 .?
解析:设=a,=b,=c,则a2=b2=c2=1,
所以a·b=a·c=b·c=|a|2cos 60°=,
所以=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2b·c+2a·c+2a·b=6,所以||=.
答案:
13.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成 的角.
解:不妨设正方体的棱长为1,
设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0,
=a-c,=a+b.
所以·=(a-c)·(a+b)
=|a|2+a·b-a·c-b·c
=1.
而||=||=,
所以cos<,>==,
所以<,>=60°.
因此,异面直线A1B与AC所成的角为60°.
14.如图,直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点.
(1)求证:CE⊥A′D;
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
(1)证明:设=a,=b,=c,
根据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,
所以=b+c,=-c+b-a.
所以·=-c2+b2=0.
所以⊥,即CE⊥A′D.
(2)解:因为=-a+c,所以||=|a|.
又||=|a|.
·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2,
所以cos<,>==,
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
15.如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长为.
(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;
(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.
(1)证明:=+,
=+.
因为BB1⊥平面ABC,
所以·=0,·=0.
又△ABC为正三角形,
所以<,>=π-<,>=π-=.
因为·=(+)·(+)
=·+·++·
=||||cos<,>+
=-1+1
=0,
所以AB1⊥BC1.
(2)解:由(1)知·=||||cos<,>+=-1.
又||===||,
所以cos<,>==,
所以||=2,即侧棱长为2.
16.设A,B,C,D是空间中不共面的四点,且满足·=0,·= 0,·=0,则△BCD是( B )
(A)钝角三角形 (B)锐角三角形
(C)直角三角形 (D)不确定
解析:·=(-)·(-)=·-·-·+=>0,
同理,可证·>0,·>0.
所以△BCD的每个内角均为锐角,故△BCD是锐角三角形.
17.已知在正四面体ABCD中,所有棱长都为1,△ABC的重心为G,则DG的长为( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:如图,连接AG并延长交BC于点M,连接DM,
因为G是△ABC的重心,
所以AG=AM,
所以=,
=+=+=+(-)=+(+)-=(++),
而(++)2=+++2·+2·+2·= 1+1+1+2(cos 60°+cos 60°+cos 60°)=6,
所以||=.故选D.
18.如图,在一个直二面角αABβ的棱上有两点A,B.AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD= .?
解析:由=++
=+++2·+2·+2·=36+16+64=116,
||=2.
答案:2
19.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下面给出的结论:
①|++|2=3||2;
②·(-)=0;
③与的夹角为60°;
④此正方体体积为|··|.
则错误结论的序号是 (填出所有错误结论的序号).?
解析:①因为|++|=||=||,故①正确;
②因为·(-)=(++)·(-)=+ ·+·-·-·-=0,故②正确;
③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°,但与的夹角为120°,注意方向;
④因为·=0,故④错误.
答案:③④
20.在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中,E,F分别是D′D,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为C′G的中点.
(1)求EF,C′G所成角的余弦值;
(2)求FH的长.
解:设=a,=b,=c,
则a·b=b·c=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.
(1)因为=+=-c+(a-b)=(a-b-c),
=+=-c-a,
所以·=(a-b-c)·(-c-a)
=(-a2+c2)=,
||2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=,
||2=(-c-a)2=c2+a2=,
所以||=,||=,
cos<,>==,
所以EF,C′G所成角的余弦值为.
(2)因为=+++
=(a-b)+b+c+
=(a-b)+b+c+(-c-a)
=a+b+c,
所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2=,
所以FH的长为.
课件32张PPT。3.1.3 空间向量的数量积运算课标要求:1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中一些简单的问题. 自主学习知识探究2.两个向量夹角的范围
通常规定 ,两个向量的夹角是惟一确定的,且=.0≤≤π特点地,如图.
当=0时,向量a,b ;
当=π时,向量a,b ;
当= 时,向量a,b互相垂直,记作a⊥b.同向共线反向共线注意:对空间两个向量夹角的理解,应注意以下几点:
(1)两个非零向量才有夹角,当两非零向量同向时,夹角为0;反向时,夹角为π.故=0或π?a∥b(a,b为非零向量).(2)零向量与其他向量之间不定义夹角,并约定0与任何向量a都是共线的,即0∥a.(3)对空间任意两个向量a,b,有:
①==<-a,-b>=<-b,-a>;②=<-a,b>=π-;3.空间向量的数量积的定义及几何意义
已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos叫做a,b的数量积,记作a·b,即
.零向量与任何向量的数量积为0.类比平面向量,我们可得a·b的几何意义 :数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积,或b的长度|b|与a在b的方向上的投影|a|cos的乘积.4.空间向量数量积的性质
(1)若a是非零向量,e是任意单位向量,则a·e=|a|cos.
(2)若a,b是非零向量,则a⊥b?a·b=0.
(3)a·a=|a||a|cos=|a|2.
(4)若θ为a与b的夹角,则cos θ= .a·b=|a||b|·cos5.空间向量数量积的运算律
(1)(λa)·b=λ(a·b);
(2)a·b=b·a(交换律);
(3)a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).注意:对于空间向量的数量积, 我们可以从以下几个方面理解:(1)向量a, b的数量积记为a·b,而不能表示为a×b或ab.
(2)向量的数量积的结果为实数,而不是向量,其符号由夹角θ的余弦值的符号决定.当θ为锐角时,a·b>0,但当a·b>0时,θ不一定是锐角,因为θ也可能为0;当θ为钝角时,a·b<0,但当a·b<0时,θ不一定是钝角,因为θ也可能为π.(3)对于任意一个非零向量a,我们把 叫做向量a的单位向量,记作a0,a0与a同方向.(4)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对于任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.自我检测1.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于( )CC3.已知空间四边形ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成
的角是( )
(A)30° (B)45°
(C)60° (D)90°C解析:(a+3c)·(3b-2a)=3a·b-2|a|2+9b·c-6a·c=-62.
答案:-624.设向量a与b互相垂直,向量c与它们构成的角是60°,且|a|=5,|b|=3, |c|=8,则(a+3c)·(3b-2a)= .?题型一空间向量数量积的运算 课堂探究【例1】 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.
求下列向量的数量积.即时训练1-1:如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,求下列向量的数量积:题型二 利用空间向量的数量积求夹角方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就是求两个向量夹角的平移法.(2)由两个向量的数量积定义得cos= ,求的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出的余弦值,进而求的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).即时训练2-1:如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线BA1与AC所成的角.利用空间向量解决垂直问题题型三【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB =∠C1CD=∠BCD.求证:CA1⊥B1D1.方法技巧 用向量法证明垂直关系的操作步骤
(1)把几何问题转化为向量问题;(2)用已知向量表示所证向量;(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0;(4)将向量问题回归到几何问题.即时训练3-1:已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC. M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点.求证:OG⊥BC.题型四 利用数量积求距离【例4】 如图1所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD =90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,如图2所示,求B,D间的距离.题后反思 用空间向量求两点间距离,首先用其他已知夹角和模的向量表示此向量,再利用a·a=|a|2,通过向量运算求|a|.即时训练4-1:如图所示,在空间四边形OABC中,OA,OB,OC两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E为OA的中点,F为BC的中点,试求E,F间的距离.点击进入 课时作业谢谢观赏！