3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的( B )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以当基底,否则不能当基底.当{a,b,c}为基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此pq,q?p.故选B.
2.在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是( D )
(A)向量的坐标与点B的坐标相同
(B)向量的坐标与点A的坐标相同
(C)向量与向量的坐标相同
(D)向量与向量-的坐标相同
解析:因为A点不一定为坐标原点,所以A不正确;同理B,C都不正确;由于=-,故选D.
3.有以下三个命题:
①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;③若a,b是两个不共线向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.其中真命题的个数是( C )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①②正确,③中,由平面向量的基本定理可知a,b,c共面,故③为假命题.选C.
4.若向量{a,b,c}是空间的一个基底,则一定可以与向量p=2a+b,q=2a-b构成空间的另一个基底的向量是( C )
(A)a (B)b (C)c (D)a+b
解析:因为p=2a+b,q=2a-b,所以a=p+q,所以a,p,q共面,故a,p,q不能构成空间的一个基底,排除A;因为b=p-q,所以b,p,q共面,故b,p,q不能构成空间的一个基底,排除B;因为a+b=p-q,所以a+b,p,q共面,故a+b,p,q不能构成空间的一个基底,排除D;故选C.
5.如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( D )
(A)-a+b+c (B)a-b+c
(C)a+b+c (D)a+b-c
解析:=+=++=+-=a+b-c.故选D.
6.已知平行六面体OABCO′A′B′C′,=a,=c,=b,D是四边形OABC的对角线的交点,则( D )
(A)=-a+b+c (B)=-b-a-c
(C)=a-b-c (D)=a-b+c
解析:=+=-+(+)=-+=a-b+c.故选D.
7.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,则等于( B )
(A)a-b+c
(B)-a+b+c
(C)a+b-c
(D)a+b-c
解析:连接ON(图略),
=-=(+)-=(b+c)-a=-a+b+c.故选B.
8.若向量i,j,k为空间直角坐标系上对应x轴,y轴,z轴上的单位向量,且设a=2i-j+3k,则向量a的坐标为 .?
解析:因为a=2i-j+3k,由空间向量的坐标表示可知,坐标(2,-1,3)与向量a=2i-j+3k对应,故向量a的坐标为(2,-1,3).
答案:(2,-1,3)
9.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+2c,若m与n共线,则x= ,y= .?
解析:因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+2λc,
于是有解得
答案:2 -2
10.如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记=a,=b,=c,则= (用a,b,c表示).?
解析:取BC中点为F,连EF,AF,
则EFBB1,
又ADBB1,
所以EFAD,
所以四边形ADEF为平行四边形,
所以DEAF,
所以==(+)=a+b.
答案:a+b
11.若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z,使得xa+yb+ zc=0,则x,y,z满足的条件是 .?
解析:若x≠0,则a=-b-c,即a与b,c共面.
由{a,b,c}是空间的一个基底知a,b,c不共面,故x=0,同理y=z=0.
答案:x=y=z=0
12.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)用向量a,b,c表示,;
(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
解:(1)如图,=+=-+-=a-b-c,
=+=+
=-(+)+(+)
=(a-c).
(2)=(+)=(-+)
=(-c+a-b-c)
=a-b-c,
所以x=,y=-,z=-1.
13.如图,已知正四面体ABCD的棱长为a,试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标.
解:建系不同,所得各点的坐标也不同.如图,过A作AG垂直于平面BCD,
由于AB=AC=AD,
所以G为△BCD的中心,
过G作GF∥CD,E为CD的中点,
以G为原点,,,分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为△BCD的边长为a,
所以BE=a,GE=a.
又BG=a,所以AG==a,
所以A(0,0,a),B(0,-a,0),C(,a,0),
D(-,a,0).
14.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别在线段A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC,以 点D为坐标原点,DA,DC,DD1分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).
(1)试求向量的坐标;
(2)求证:EF∥BD1.
解:(1)因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,根据题意知{,,}为单位正交基底,设=i,=j,=k,
所以向量可用单位正交基底{i,j,k}表示,
因为=++,与共线,与共线,
所以设=λ,=μ,则=λ++μ=λ(+)++μ(-)
=(λ+μ)+(1-μ)+λ
=(λ+μ)i+(1-μ)j+λk,
因为EF⊥A1D,EF⊥AC,即⊥,⊥,
所以·=0,·=0,
又=-i-k,=-i+j,
所以
整理得
即,解得
所以=i+j-k
所以的坐标是(,,-)
(2)因为=+=-i-j+k
=-,即与共线,
又EF与BD1无公共点,所以EF∥BD1.
15.以棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则平面AA1B1B对角线交点的坐标为( B )
(A)(0,,) (B)(,0,)
(C)(,,0) (D)(,,)
解析:如图,由题意知平面AA1B1B对角线交点的横坐标为AB的中点值,竖坐标为AA1的中点值,纵坐标为0,所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为(,0,).故选B.
16.设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( A )
(A)(,,) (B)(,,)
(C)(,,) (D)(,,)
解析:如图,由已知=
=(+)=[+(+)]
=+[(-)+(-)]
=++,从而x=y=z=.故选A.
17.如图在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若=a,=b,=c,则= .?
解析:=-=(+)-(+)=-+-=-a+b-c.
答案:-a+b-c
18.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,且e1,e2,e3不共面,当d=α a+β b+γ c时,α+β+γ= .?
解析:由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3.
所以故有α+β+γ=3.
答案:3
19.如图,在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,E,F,G分别是A′D′, DD′,D′C′的中点,请选择恰当的基底向量证明:
(1)EG∥AC;
(2)平面EFG∥平面AB′C.
证明:取基底{,,},
(1)因为=+=+,
=+=2,
所以EG∥AC.
(2)因为=+=+,
=+=2,
所以FG∥AB′,由(1)知EG∥AC,
所以平面EFG∥平面AB′C.
课件31张PPT。3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课标要求:1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标. 自主学习知识探究1.空间向量基本定理
(1)空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.(3)基底与基向量
如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+ yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.注意:(1)若p=xa+yb+zc,则xa+yb+zc叫做向量a,b,c的线性表示式或线性组合,或者说p可以由a,b,c线性表示.
(2)对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面外,还应明确以下三点:①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.②基底中的三个向量a,b,c都不是0.这是因为0与任意向量共线,与任意两个向量共面.③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的,是一个向量组,基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.2.空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,并且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}或{e1,e2,e3}表示.(2)空间直角坐标系
在空间任选一点O和一个单位正交基底{e1,e2,e3},以O为坐标原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.其中O叫坐标原点,向量e1,e2,e3叫坐标向量,经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,它们分别是xOy平面、xOz平面、yOz平面.(4)空间任一点P的坐标的确定
过点P(x,y,z)作面xOy的垂线,垂足为P′,在面xOy中,过点P′分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,C,则|x|=|P′C|,|y|=|AP′|,|z|=|PP′|,如图,x,y,z的符号视点P的位置而定,在写点P的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒.注意:(1)因为e1,e2,e3两两垂直,所以e1·e2=e1·e3=e2·e3=0.
(2)因为e1,e2,e3为单位向量,所以e1·e1=1,e2·e2=1,e3·e3=1.
(3)空间直角坐标系的画法:作空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°, ∠yOz=90°.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指能指向z轴的正方向,则称此坐标系为右手直角坐标系.本书中使用的坐标系一般都是右手直角坐标系,如图.自我检测1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
(A)3a,a-b,a+2b (B)2b,b-2a,b+2a
(C)a,2b,b-c (D)c,a+c,a-cC解析:对于A,有3a=2(a-b)+a+2b,则3a,a-b,a+2b共面,不能作为基底;同理可判断B,D错误.故选C.CD答案:(1,-3, )4.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,且向量p=i-3j+ k,则p的坐标为 .?题型一空间向量基本定理的理解 课堂探究【例1】 若{a,b,c}是空间一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底.变式探究:若本例条件不变,试判断{a+b,a-b,c}能否作为空间的一个基底.解:假设a+b,a-b,c共面,
则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b),
即c=(x+y)a+(x-y)b,
从而由共面向量知c与a,b共面,
这与a,b,c不共面矛盾.
所以a+b,a-b,c不共面,即可以作为空间的一个基底.方法技巧 判断某一向量组能否作为基底,关键是判断它们是否共面.如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.即时训练1-1:(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,则{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个题型二空间向量基本定理的应用方法技巧 (1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.
(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.空间向量的坐标表示题型三【例3】 如图所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,并求向量 的坐标.方法技巧 用坐标表示空间向量的方法步骤为
(1)观察图形特征,寻找两两垂直的三条直线.
(2)根据图形特征建立空间直角坐标系.
(3)用基底表示向量.
(4)确定向量的坐标.即时训练3-1:(1)设{i,j,k}是单位正交基底,已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是( )
(A)(12,14,10) (B)(10,12,14)
(C)(14,12,10) (D)(4,3,2)(1)解析:依题意知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在基底{i,j,k}下的坐标是(12,14,10).故选A.点击进入 课时作业谢谢观赏！
