3.1.5 空间向量运算的坐标表示
1.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是( D )
(A)a+b=(10,-5,-6) (B)a-b=(2,-1,-6)
(C)a·b=10 (D)|a|=6
解析:a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6),a·b=22,|a|=6,所以选项A,B,C错误.故选D.
2.已知向量a=(x,2,4),b=(3,y,12),且a∥b,则x+y的值为( C )
(A)1 (B)6 (C)7 (D)15
解析:因为a∥b,
所以存在实数λ使得,b=λa,
所以
解得x=1,y=6.
所以x+y=7.故选C.
3.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q等于( A )
(A)-1 (B)1 (C)0 (D)-2
解析:因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1)
所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1.故选A.
4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( D )
(A)1 (B) (C) (D)
解析:由题意得,(ka+b)·(2a-b)=(k-1,k,2)·(3,2,-2)=3(k-1)+2k- 4=0,所以k=.故选D.
5.已知向量a=(0,2,1),b=(-1,1,-2),则a与b的夹角为( C )
(A)0° (B)45° (C)90° (D)180°
解析:设a与b的夹角为θ,
由向量夹角定义可得cos θ==0,
又0°≤θ≤180°,
所以θ=90°.故选C.
6.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( C )
(A)等腰三角形 (B)等边三角形
(C)直角三角形 (D)等腰直角三角形
解析:=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),
所以||==,
||==,
||==,
所以||2+||2=75+14=89=||2.
所以△ABC为直角三角形.故选C.
7.已知a=(sin θ,cos θ,tan θ),b=(cos θ,sin θ,),且a⊥b,则θ等于( D )
(A)- (B)
(C)2kπ-(k∈Z) (D)kπ-(k∈Z)
解析:因为a·b=2sin 2θcos θ+1=sin 2θ+1=0,所以2θ=2kπ-
(k∈Z),θ=kπ-(k∈Z).故选D.
8.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为( A )
(A) (B) (C)4 (D)8
解析:因为cos
=
==,
所以sin=,
所以面积S=|a||b| sin=,故选A.
9.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=且λ>0,则λ= .?
解析:因为a=(0,-1,1),b=(4,1,0),
所以λa+b=(4,1-λ,λ),因为|λa+b|=,
所以,16+(1-λ)2+λ2=29,所以λ2-λ-6=0,
所以λ=3或λ=-2,因为λ>0,所以λ=3.
答案:3
10.与a=(2,-1,2)共线且满足a·x=-18的向量x= .?
解析:因为x与a共线,所以设x=λa=(2λ,-λ,2λ),
又a·x=-18,所以4λ+λ+4λ=-18,所以λ=-2,
所以x=(-4,2,-4).
答案:(-4,2,-4)
11.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则= .?
解析:因为⊥,
所以·=0,
即1×3+5×1+(-2)×z=0,
所以z=4,
因为BP⊥平面ABC,所以⊥,⊥,
即
解得x=,y=-,于是=(,-,-3).
答案:(,-,-3)
12.若=(-4,6,-1),=(4,3,-2),|a|=1,且a⊥,a⊥,则a= .?
解析:设a=(x,y,z),由题意有代入坐标可解得或
答案:(,,)或(-,-,-)
13.已知向量a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),c=(2,x,-4).
(1)判断a,b的位置关系;
(2)若a∥c,求|c|;
(3)若b⊥c,求c在a方向上的投影.
解:(1)因为a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),
所以b=(-2,-4,4)=-2(1,2,-2)=-2a.
所以a∥b.
(2)因为a∥c,
所以==,
解得x=4,所以c=(2,4,-4),
从而|c|==6.
(3)因为b⊥c,
所以b·c=0.
所以(-2,-4,4)·(2,x,-4)=-4-4x-16=0,
解得x=-5.
所以c=(2,-5,-4).
所以c在a方向上的投影为|c|cos=|c|×===0.
14.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若∥,∥,求点D的坐标;
(2)问是否存在实数α,β使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.
解:(1)设D(x,y,z),
则=(-x,1-y,-z),
=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),
=(-1,1,0).
因为∥,∥,
所以
解得即D(-1,1,2).
(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),
=(0,-1,2).
假设存在实数α,β,使得=α+β成立,
则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以
故存在α=β=1,
使得=α+β成立.
15.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的 中点.
(1)求证:EF⊥CF;
(2)求与所成角的余弦值;
(3)求||的长.
解:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),E(0,0,), C(0,1,0),F(,,0),G（1,1,）,
所以=(,,-).
=(,-,0),
=(1,0,),=(0,-1,).
(1)因为·=×+×(-)+(-)×0=0,
所以⊥,即EF⊥CF.
(2)因为·=×1+×0+(-)×=,
||==,
==,
所以cos<,>===.
(3)||==.
16.在空间坐标中,点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于( B )
(A) (B) (C)2 (D)
解析:因为点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影,
所以B点的坐标是(0,2,3)
所以|OB|等于.故选B.
17.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则||的值为( A )
(A) (B)2 (C) (D)
解析:设BD中点为O,连接OA,OC,
则OC⊥平面ABD,
以O为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,
则A(,0,0),B(0,,0),
C(0,0,),D(0,-,0),
所以=(,-,0),=(0,-,),
=(0,-,0),
所以=-+
=(,-,0)-(0,-,)+(0,-,0)
=(,-,-),
所以||==.
故选A.
18.已知a=(3,2-x,x),b=(x,2,0),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是 .?
解析:因为a,b的夹角为钝角,
所以a·b<0,
即3x+2(2-x)+0·x=4+x<0,
所以x<-4.
又当夹角为π时,存在λ<0,使a=λb,
所以
此方程组无解,实数x的取值范围是(-∞,-4).
答案:(-∞,-4)
19.已知M1(2,5,-3),M2(3,-2,-5),设在线段M1M2上的一点M满足=4,则向量的坐标为 .?
解析:设M(x,y,z),
则=(1,-7,-2),
=(3-x,-2-y,-5-z).
又因为=4,
所以
所以
答案:(,-,-)
20.已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,且向量a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb.
(1)当|c|取最小值时,求t的值;
(2)在(1)的情况下,求b和c夹角的余弦值.
解:(1)因为关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,
所以Δ=(t-2)2-4(t2+3t+5)≥0,
即-4≤t≤-.
又c=a+tb=(-1+t,1,3-2t),
所以|c|=
=.
因为当t∈[-4,-]时,关于t的函数y=5(t-)2+是单调递减的,
所以当t=-时,|c|取最小值.
(2)由(1)知,当t=-时,c=(-,1,),
|b|==,|c|=,
所以cos==-.
课件31张PPT。3.1.5 空间向量运算的坐标表示课标要求:1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模,夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题. 自主学习知识探究1.空间向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),
λa=(λa1,λa2,λa3),
a·b=a1b1+a2b2+a3b3.注意:在空间直角坐标系中,已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =(x2-x1, y2-y1,z2-z1).即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2.空间向量的平行和垂直
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).(2)a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0.
注意:(1)空间两向量平行与平面两向量平行的表达式不一样,但实质一致,即对应坐标成比例,且比值为λ.
(2)空间中两向量垂直的充要条件与平面内两向量垂直类似.3.空间向量的模、夹角及距离公式
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),注意:(1)求向量的模(长度)的问题常转化成求空间两点间的距离问题,要熟记空间两点间的距离公式.4.特殊向量的坐标表示
(1)当向量a平行于x轴时,纵坐标、竖坐标都为0,即a=(x,0,0);
(2)当向量a平行于y轴时,横坐标、竖坐标都为0,即a=(0,y,0);
(3)当向量a平行于z轴时,横坐标、纵坐标都为0,即a=(0,0,z);
(4)当向量a平行于xOy平面时,竖坐标为0,即a=(x,y,0);
(5)当向量a平行于yOz平面时,横坐标为0,即a=(0,y,z);
(6)当向量a平行于xOz平面时,纵坐标为0,即a=(x,0,z). 自我检测1.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点A的坐标为(-1,2,1),点B的坐标为(1,3,4),则( )CCA 解析:因为b-c=(2,1,2)-(4,-2,1)
=(-2,3,1),
a·(b-c)=(-2,x,2)·(-2,3,1)=4+3x+2=0,
所以x=-2故选A.4.若a=(x,3,1),b=(2,y,4),且a=zb,则c=(x,y,z)= .?解析:因为a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),
所以|a|=|b|= ,
所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=0
所以a+b与a-b垂直,
所以向量a+b与a-b的夹角为90°.5.已知a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),则向量a+b与a-b的夹角是 .?答案:90°题型一空间向量的坐标运算 课堂探究【例1】 (1)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)·(2b) =-2,则x= ;?(1)解析:因为c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),(c-a)·2b=-2,
所以2(1-x)=-2,
所以x=2.
答案:2(2)已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3),D(10,14,17),试判断A,B,C,D四点是否共面.题型二利用向量解决平行与垂直问题(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.变式探究:将本例(2)中“若ka+b与ka-2b互相垂直”改为“若ka+b与a+kb互相平行”,其他条件不变,求k的值.方法技巧 向量平行与垂直问题的两种类型
(1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线;
②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0.
(2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②选择坐标形式,以达到简化运算的目的.即时训练2-1:(1)已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2).下列结论正确的是( )
(A)a∥b,a∥c (B)a∥b,a⊥c
(C)a∥c,a⊥b (D)以上都不对解析:(1)因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以a∥c.
又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.故选C.
答案:(1)C(2)若a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且a,b,c两两垂直,则x=_____
,y= ,z= .?答案:(2)-64 -26 -17利用向量的坐标形式求夹角与距离题型三方法技巧 (1)求空间中两向量夹角的方法
①基向量法:结合图形,选取一组合适的基底,将两向量用基向量表示出来,然后代入夹角公式求解;②坐标法:在图形中建立空间直角坐标系,然后求出两向量的坐标,代入向量的夹角坐标公式求解.利用坐标法要注意两点,一是坐标系的选取,二是要注意夹角的范围∈[0,π],要特别关注向量共线的情况.
(2)求空间中线段的长
①建立恰当的空间直角坐标系;
②求出线段端点的坐标,并求出对应向量的坐标;
③利用向量的模的坐标公式求向量的模,即线段的长.答案:(1)B(2)已知a=(5,3,1),b=(-2,t,- ),若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为 .?点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！