第二课时 利用空间向量求角和距离
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l与平面α所成的角等于( B )
(A)30° (B)60° (C)150° (D)以上均错
解析:直线l与平面α所成的角范围是[0°,90°].故选B.
2.已知直线l1的方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的方向向量s2=(-1,2,-2),则l1与l2夹角的余弦值为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为s1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2),所以cos
===-.又两直线夹角的取值范围为[0,],所以l1 和l2夹角的余弦值为.
3.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为( A )
(A)0 (B) (C)- (D)
解析:建立如图坐标系,则D1(0,0,3),
B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
所以=(-2,-2,3),
=(-2,2,0).
所以cos<,>==0.
所以<,>=90°,其余弦值为0.故选A.
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<,>的值等于( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M(1,,0),
所以=(1,1,1),=(1,-,0).
所以cos<,>=
==.
所以sin<,>==.故选B.
5.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则空间P,D两点间的距离为( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:设P(x,y,z),因为=2,
所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),
所以 所以
所以P(-,,3),=(,-,-2)
所以||=.
6.已知A∈α,P?α,=(-,,),平面α的一个法向量n=(0,-, -),则直线PA与平面α所成的角为( C )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)150°
解析:设直线PA与平面α所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,n>|
=
=.
所以θ=60°.
7.已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成的角的余弦值为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,令正四棱锥的棱长为2,
则A(1,-1,0),D(-1,-1,0),
S(0,0,),E(,,),
所以=(-,,),
=(-1,-1,-),
所以cos<,>==-,
所以AE,SD所成的角的余弦值为.
故选C.
8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(1,1,),
所以=(1,0,1),=(1,1,).
设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,且n·=0,
即
令x=1,得y=-,z=-1,
所以n=(1,-,-1).
又平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1).
所以cos==-.
所以平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.
9.已知点M(a,0,a),平面π过原点O,且垂直于向量n=(-,,a),则点M到平面π的距离d为 .?
解析:=(a,0,a),则M到平面π的距离d==a.
答案:a
10.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为 .?
解析:设直线l与平面α所成的角是θ,a,n所成的角为β,
sin θ=|cos β|=||=.
答案:
11.直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=CC1,M是A1B1的中点,则AC1与BM所成角的余弦值为 .?
解析:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
设AB=AC=CC1=2,
则A(0,0,0),C1(0,2,2),B(2,0,0),
M(1,0,2),
所以=(0,2,2),=(-1,0,2),
所以cos<,>===.
答案:
12.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且直线l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到直线l的距离为 .?
解析:=(-2,0,-1),又n与l垂直,
所以P到l的距离为
||==.
答案:
13.如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,M是CE与AD的交点,AC⊥BC,且AC=BC.
(1)求证:AM⊥平面EBC;
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小.
(1)证明:因为四边形ACDE是正方形,
所以EA⊥AC,AM⊥EC.
因为平面ACDE⊥平面ABC,
所以EA⊥平面ABC.
以点A为原点,以过A点平行于BC的直线为x轴,分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴,建立空间直角坐标系Axyz.设EA=AC=BC=2,
则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2).
因为M是正方形ACDE的对角线的交点,
所以M(0,1,1).
因为=(0,1,1),=(0,2,-2),=(2,0,0),
所以·=0,·=0.
所以AM⊥EC,AM⊥CB.
又因为EC∩CB=C,
所以AM⊥平面EBC.
(2)解:因为AM⊥平面EBC,
所以为平面EBC的一个法向量.
因为=(0,1,1),=(2,2,0),
所以cos<,>==.
所以<,>=60°.
所以直线AB与平面EBC所成角的大小为30°.
14.如图所示,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,点E是AD的中点,将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置,使二面角D′ECB是直二面角.
(1)证明:BE⊥CD′;
(2)求二面角D′BCE的正切值.
(1)证明:因为AD=2AB=2,E是AD的中点,
所以△BAE,△CDE是等腰直角三角形.
易知∠BEC=90°,即BE⊥EC.
又因为平面D′EC⊥平面BEC,平面D′EC∩平面BEC=EC,
所以BE⊥平面D′EC,
又CD′?平面D′EC,
所以BE⊥CD′.
(2)解:如图,分别以EB,EC为x,y轴,过E垂直平面BEC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则B(,0,0),C(0,,0),D′(0,,),
=(-,,0),=(0,,-).
易知平面BEC的一个法向量为n1=(0,0,1),
设平面D′BC的法向量为n2=(x2,y2,z2),
由?
取x2=1,得n2=(1,1,1),
所以cos??n1,n2??==.
tan??n1,n2??=,
所以二面角D′BCE的正切值为.
15.如图,在多面体ABCDEF中,CDEF为矩形,ABCD为直角梯形,平面CDEF⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,ED=,M为线段EA上的动点.
(1)若M为EA中点,求证:AC∥平面MDF;
(2)线段EA上是否存在点M,使平面MDF与平面ABCD所成的锐二面角大小为?若存在,求出AM长度;若不存在,说明理由.
(1)证明:连接CE交DF于O,连接OM,
因为CDEF为矩形,
所以O为CE中点,
又M为EA中点,
所以OM∥AC,
又OM?平面MDF,AC?平面MDF,
所以AC∥平面MDF.
(2)解:存在.
因为平面CDEF⊥平面ABCD,
在矩形CDEF中,ED⊥DC,
平面CDEF∩平面ABCD=CD,
所以ED⊥平面ABCD,
又AD?平面ABCD,
所以ED⊥AD.
又CD⊥AD,则以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,则D(0,0,0),A(1,0,0),E(0,0,),F(0,2,).易知M,E重合时不符合,可设=λ(0≤λ<1),则M(1-λ,0,λ),=(1-λ,0,λ), =(0,2,),
设n=(x,y,z)为平面DMF的法向量,
则n·=0,n·=0,
即
取x=,y=-,z=1,则n=(,-,1),
又ED⊥平面ABCD,
所以平面ABCD的法向量可取m=(0,0,1).
依题意,|cos＜m,n＞|=
==,
解得λ=2-3∈[0,1)或λ=-(2+3)?[0,1)(舍去),
所以存在点M,当AM=(2-3)AE时,平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的大小为,此时AM=4-6.
16.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,则D(0,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),C(0,1,0),
=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0).
设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),
则取z=1,
则y=-2,x=2,
所以n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成角为θ,
则sin θ=|cos|= ||=||=.
17.已知矩形ABCD与ABEF全等,DABF为直二面角,M为AB中点,FM与BD所成角为θ,且cos θ=,则AB与BC的边长之比为( C )
(A)1∶1 (B)∶1 (C)∶2 (D)1∶2
解析:设AB=a,BC=b,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则相关各点坐标为F(b,0,0),M（0,,0）,
B(0,a,0),D(0,0,b),
=(-b,,0),=(0,-a,b),
所以||=,
||=,·=-,
|cos<,>|==,
整理得4×+5×-26=0,
所以==.故选C.
18.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为 .?
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(,,0),B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),
则=(,,-1),=(0,1,0),=(0,1,-1).
设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,1),
则有
解得n=(,1,1),
则所求距离为==.
答案:
19.在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,AB=2, AD=,∠BAD=120°,PA=a,则当a变化时,直线PD与平面PBC所成角的取值范围是 .?
解析:如图建立空间直角坐标系,
得B(0,2,0),C(,2-,0),
D(,-,0),P(0,0,a).
设平面PBC的法向量m=(x,y,z),=(,-,0),=(0,2,-a),
所以即
令x=1,则y=,z=,
得m=(1,,),
又=(,-,-a),
所以cos<,m>=,
sin θ=︱︱=2·
=≤,
所以sin θ∈(0,],则θ∈(0,].
答案:(0,]
20.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB =∠ABC=90°,E是CD的中点.
(1)证明:CD⊥平面PAE;
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥PABCD的体积.
(1)证明:如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
设PA=h,则相关的各点坐标为:
A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
易知=(-4,2,0),
=(2,4,0),=(0,0,h).
因为·=-8+8+0=0,·=0,
所以CD⊥AE,CD⊥AP.
而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,
所以CD⊥平面PAE.
(2)解:由题设和(1)知,,分别是平面PAE,平面ABCD的法向量,而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,
所以|cos＜,＞|=|cos＜,＞|,
即||=||.
由(1)知,=(-4,2,0),
=(0,0,-h),=(4,0,-h),
故||=||.
解得h=.
又梯形ABCD的面积为
S=×(5+3)×4=16,
所以四棱锥PABCD的体积为
V=×S×PA=×16×=.
课件43张PPT。第二课时 利用空间向量求角和距离课标要求:1.理解直线与平面所成角和点到平面的距离的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题及各种空间距离.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲. 自主学习知识探究1.异面直线所成的角
(1)异面直线所成角的定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.注意:两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,但是两者不完全相等,当两个方向向量的夹角是钝角时,其补角就是两条异面直线所成的角.2.直线与平面所成的角
(1)直线与平面所成角的定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.注意:用平面的法向量求线面角的大小时,直线与平面所成的角和法向量与直线的方向向量的夹角要区别清楚.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,直线与平面所成角为θ,则有3.二面角的向量求法注意:(1)设二面角的平面角为θ,则0°≤θ≤180°.当两个半平面重合时,θ=0°;当两个半平面相交时,0°<θ<180°;当两个半平面构成一个平面时,θ=180°.
(2)将求二面角转化为求二面角两个半平面的法向量的夹角,把问题转化为向量运算,要注意法向量的夹角与二面角相等或互补.在解题时,可根据法向量的方向来进行判断,以便准确求出二面角的大小.4.点到直线的距离
求点到直线距离的常用方法有
(1)找垂线段,求其长度;
(2)利用等面积法;
(3)借助向量的模,利用向量数量积的几何意义求解.
对方法(3)的说明具体如下:5.点到平面的距离(线面距离、面面距离)
解决此类问题的常用方法有
(1)确定垂线段法;
(2)等体积变换法;自我检测1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
(A)30° (B)150°
(C)30°或150° (D)以上均错
2.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为( )
(A)30° (B)45°
(C)60° (D)90°A B 3.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )D答案:4.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为 .?答案:4.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为 .?题型一求异面直线所成的角 课堂探究【例1】 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点.求异面直线AE与CF所成角的余弦值.规范解答:不妨设正方体棱长为2,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,变式探究:将题目中的点F改为“AB的中点”,求异面直线AE与C1F所成角的余弦值.方法技巧 (1)用基向量法求异面直线的夹角的方法
①作空间几何体的图形,并找出基底;
②用基底表示两异面直线的方向向量;
③利用公式cos= ,求出两直线的方向向量的夹角;
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.
(2)用坐标法求异面直线的夹角的方法
①建立恰当的空间直角坐标系;
②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式;
③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角;
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.即时训练1-1:在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.
(1)建立适当的坐标系,并写出点B,P的坐标;(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.题型二 求直线与平面所成的角【例2】 如图1所示,在边长为12的正方形AA′A′1A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA′1分别交BB1,CC1于点P,Q,将该正方形沿BB1,CC1折叠,使得A′A′1与AA1重合,构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1,请在图2中解决下列问题:(1)求证:AB⊥PQ;(2)求直线BC与平面A1PQ所成角的正弦值.方法技巧 利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系;(3)求平面的法向量n;(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°,试确定点M的位置.题型三 二面角的求法【例3】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC =2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的 中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(1)证明:设E为BC的中点,由题意得A1E⊥平面ABC,
所以A1E⊥AE.
因为AB=AC,所以AE⊥BC.
故AE⊥平面A1BC.
由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,
从而DE∥A1A且DE=A1A,
所以A1AED为平行四边形.故A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.方法技巧 用向量法求二面角的大小的求解步骤
(1)建立空间直角坐标系;
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量;
(3)求两个法向量的夹角;
(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角;
(5)确定二面角的大小.即时训练3-1:如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中侧面ABCD是梯形,AD∥BC,底面ABB1A1为菱形,∠DAB=∠DAA1.
(1)求证:A1B⊥AD;(1)证明:如图,连接AB1,A1D,BD,设AB1交A1B于点O,连接OD.
由AA1=AB,∠DAB=∠DAA1,AD=AD,
可得△AA1D≌△ABD,
所以A1D=BD.
由于O是线段A1B的中点,所以DO⊥A1B.
又根据菱形的性质得AO⊥A1B,所以A1B⊥平面ADO,从而A1B⊥AD.(2)若AD=AB=2BC,∠A1AB=60°,求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.(2)解:由题意知DO⊥平面ABB1A1.
因为底面ABB1A1为菱形,所以AB1⊥A1B,
分别以射线OB,射线OB1,射线OD为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,如图.题型四 求空间点到平面的距离【例4】 如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB, F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求点D到平面ACE的距离.解:以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.方法技巧 利用向量法求点到平面距离的特点是不必作出垂线段,而是转化为求已知点与平面内一点连线对应的向量在平面法向量上的投影,具体求解过程如下:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求出已知点P与平面α内任一点A对应的向量 ;
(3)求出平面α的法向量n;
(4)求点P到平面α的距离,即d= .点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！