1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( A )
(A)充分不必要条件 (B)充分必要条件
(C)必要不充分条件 (D)非充分非必要条件
解析:当x>3,则x2-2x>0,充分性成立;当x2-2x>0时,则x<0或x>2,必要性不成立.故选A.
2.“=π”是“曲线y=sin(2x+)过坐标原点”的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:由sin=0可得=kπ(k∈Z),
此为曲线y=sin(2x+)过坐标原点的充要条件,
故“=π”是“曲线y=sin(2x+)过坐标原点”的充分不必要条件.
故选A.
3.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:当四边形ABCD为菱形时,其对角线互相垂直,必有AC⊥BD;但当AC⊥BD时,四边形不一定是菱形,因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.故选A.
4.使|x|=x成立的一个必要不充分条件是( B )
(A)x≥0 (B)x2≥-x
(C)log2(x+1)>0 (D)2x<1
解析:因为|x|=x?x≥0,
所以选项A是充要条件,选项C,D均不符合题意.
对于选项B,因为由x2≥-x,得x(x+1)≥0,
所以x≥0或x≤-1.
故选项B是使|x|=x成立的必要不充分条件.
故选B.
5.直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+9=0平行的充要条件是( B )
(A)a=3 (B)a=-2
(C)a=3或-2 (D)a=-1
解析:直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+9=0平行的充要条件是a(a-1)=2×3且a≠,
解得a=-2.
故选B.
6.若a,b为实数,则“0
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:当0;反过来,b<,当a<0时,有ab>1.所以“07.已知p:x2+x-2>0,q:x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是( D )
(A)(-∞,-2) (B)(-2,+∞)
(C)(-2,1] (D)[1,+∞)
解析:由x2+x-2>0得x>1或x<-2,若q是p的充分不必要条件,则a≥1.故选D.
8.已知α,β是不同的两个平面,直线a?α,直线b?β.命题p:a与b无公共点;命题q:α∥β,则p是q的( B )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:a,b无公共点,α与β不一定平行,α∥β?a与b无公共点.故选B.
9.如果命题“若A,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的 (选填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件.?
解析:因为逆否命题为假,所以原命题为假,即AB.
又因否命题为真,所以逆命题为真,
即B?A,
所以A是B的必要不充分条件.
答案:必要不充分
10.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的
条件.?
解析:当A∩B={4}时,m2=4,所以m=±2.
所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
答案:充分不必要
11.满足tan α=1的一个充分条件是α= (填一角即可).?
解析:当α=时,tan α=1,故α=是tan α=1的一个充分条件.
答案:
12.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分而不必要条件是-2解析:根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系,应有(-2,-1)
{x|(a+x)(1+x)<0},
故有a>2.
答案:(2,+∞)
13.指出下列各组命题中p是q的什么条件,q是p的什么条件,并说明理由.
(1)p:|x|=|y|,q:x=y;
(2)在△ABC中,p:sin A>,q:A>.
解:(1)因为|x|=|y|?x=y或x=-y,
但x=y?|x|=|y|,
所以p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.
(2)因为0sin A单调递增,A∈[,π)时,
sin A单调递减,
所以sin A>?A>,
但A>sin A>.
所以p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
14.已知{an}为等差数列,且a1+a4=10,a1+a3=8,前n项和为Sn.求证:a1, ak,Sk+2成等比数列的充要条件是k=6.
证明:设数列{an}的公差为d,由题意得解得
所以an=2+2(n-1)=2n,
由此得Sn===n(1+n).
(充分性)当k=6时,a1=2,ak=a6=12,Sk+2=S6+2=S8=8×9=72,
因为===,
所以a1,a6,S6+2成等比数列,即a1,ak,Sk+2成等比数列.
(必要性)由a1,ak,Sk+2成等比数列,得=a1Sk+2,从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0,解得k=-1(舍去)或k=6.
综上可知,k=6是a1,ak,Sk+2成等比数列的充要条件.
15.已知p: |1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
解:由x2-2x+1-m2≤0(m>0),解得1-m≤x≤1+m.又由|1-|≤2,解得-2≤x≤10.
又p是q的充分不必要条件,
所以或
解得m≥9.即m的取值范围为[9,+∞).
16.已知X=logmn,则mn>1是X>1的( D )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:mn>1时X>1不一定成立,反之也不一定成立,故选D.
17.不等式ax2-2x+1<0的解集非空的一个必要而不充分条件是( D )
(A)a<1 (B)a<0
(C)0解析:要使不等式ax2-2x+1<0的解集非空,
当a=0时,不等式为-2x+1<0,其解集为x>;
当a>0时,Δ=4-4a>0,即0当a<0时,满足不等式ax2-2x+1<0的解集非空.
所以不等式ax2-2x+1<0的解集非空的充要条件为a<1.
所以不等式ax2-2x+1<0的解集非空的一个必要而不充分条件应该比a<1的范围大.故选D.
18.已知p是r的充分条件而不是必要条件,s是r的必要条件,q是r的充分条件, q是s的必要条件.现有下列命题:
①s是q的充要条件 ②p是q的充分条件而不是必要条件③r是q的必要条件而不是充分条件 ④r是s的充分条件而不是必要条件
则正确命题序号是 .?
解析:由p是r的充分条件而不是必要条件,可得p?r,由s是r的必要条件可得r?s,由q是r的充分条件得q?r,由q是s的必要条件可得s?q,故可得推出关系如图所示:
据此可判断命题①②正确.
答案:①②
19.已知定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=log3(x+1).若关于x的不等式f[x2+a(a+2)]≤f(2ax+2x)的解集为A,函数f(x)在[-8,8]上的值域为B,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .?
解析:因为f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=log3(x+1)为增函数,
所以f(x)在[-8,8]上也为增函数,
且f(8)=log3(8+1)=log39=2,
即函数f(x)在[-8,8]上的值域为B=[-2,2],
由f[x2+a(a+2)]≤f(2ax+2x)得x2+a(a+2)≤2ax+2x,
即x2-2(a+1)x+a(a+2)≤0,
则(x-a)[x-(a+2)]≤0,
即a≤x≤a+2,
即A=[a,a+2],
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,
即解得-2≤a≤0.
答案:[-2,0]
20.求二次函数y=-x2+mx-1的图象与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交点的充要条件.
解:线段AB的方程为x+y=3,
由题意得方程组
在[0,3]上有两组实数解,将①代入②,
得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3),
此方程有两个不同的实数根,
令f(x)=x2-(m+1)x+4,
则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根,
故有
解得3故m的取值范围是(3,].
课件33张PPT。1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件课标要求:1.理解充分、必要、充要条件的意义.2.会判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性. 自主学习1.充分条件与必要条件
一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p?q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.知识探究注意:(1)对于命题“若p,则q”的条件和结论,我们都视为条件,只看“?”的推出方向,“箭尾”是“箭头”的充分条件,“箭头”是“箭尾”的必要条件.
(2)若p?q,则p是q的充分条件,所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不 成立”.
(3)若p?q,则q是p的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”.
(4)p是q的充分条件反映了p?q,而q是p的必要条件同样反映了p?q,这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系,只是说法不同.2.充要条件
一般地,如果既有p?q,又有q?p,就记作p?q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
概括地说,如果p?q,那么p与q互为充要条件.注意:(1)充要条件的含义:若p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.虽然它们本质上是一样的,但是说法上不同,因为这两个命题的条件与结论不同.
(2)p是q的充要条件又常说成是q当且仅当p,或p与q等价.
(3)设原命题为“若p,则q”,则逆命题为“若q,则p”,得p与q的关系有以下四种情形:3.从集合角度看充分、必要条件
(1)依据
设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.
若A?B,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即p?q.类似地,B?A与q?p等价,A=B与p?q等价.(2)结论
如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表.
当所要研究的p,q含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集,或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系,利用Venn图或数轴解题.自我检测A1.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤ sin B”的( )
(A)充要条件
(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件C2.设命题甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R,命题乙:0(A)充分不必要条件 (B)充要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
3.“直线a2x-y+6=0与直线4x-(a-3)y+9=0互相垂直”的充要条件是 .
.?答案:a= 或a=-14.若“x0”的充分不必要条件,则m的取值范围为
.?答案:(-∞,1]题型一充分、必要、充要条件的判断 课堂探究【例1】(1)(2015·天津卷)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件答案:(1)A(2)(2015·安徽卷)设p:11,则p是q成立的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件答案:(2)A(3)已知如下三个命题中:
①若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件;
②对于实数a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件;
③直线l1:ax+y=3,l2:x+by-c=0.
则“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件;
④“m<-2或m>6”是“y=x2+mx+m+3有两个不同零点”的充要条件.
正确的结论是 .?解析:(3)①中,当a=2时,有(a-1)(a-2)=0;但当(a-1)(a-2)=0时,a=1或a=2,不一定有a=2.
所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件,①正确.④中,y=x2+mx+m+3有两个不同零点?Δ=m2-4(m+3)>0?m<-2或m>6.
所以是充要条件,④正确.
答案:(3)①③④方法技巧解析:(1)若a,b相交,则α,β一定相交;若α,β相交,则不能得出a,b相交.故选A.即时训练1-1:(1)(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(2)(2015·陕西卷)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件解析:(2)因为cos 2α=cos2α-sin2α,
所以当sin α=cos α时,cos 2α=0,充分性成立,
当cos 2α=0时,
因为cos2α-sin2α=0,
所以cos α=sin α或cos α=-sin α,必要性不成立.故选A.题型二 充要条件的证明【例2】 (1)求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0;(2)求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充要条件是k<-2. 一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q?p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p?q.方法技巧(2)已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.充分、必要、充要条件的应用题型三【例3】 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.变式探究1:若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.变式探究2:本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件.方法技巧 涉及含参数的与集合有关的充要条件问题,应注意将条件与结论转化为集合的包含关系,利用数形结合思想列不等式(组)解.即时训练3-1:(1)已知P={x|a-40且a≠1)有意义,q:关于实数t的不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0.
①若命题p为真,求实数t的取值范围;②若命题p是q的充分条件,求实数a的取值范围.点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！