人教A版高中数学选修2-1 第一章　常用逻辑用语　检测试题

第一章　常用逻辑用语　检测试题
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.命题“若x2<1,则-1(A)若x2≥1,则x≥1,或x≤-1
(B)若-1(C)若x>1,或x<-1,则x2>1
(D)若x≥1,或x≤-1,则x2≥1
2.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”的(　C　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:若l1∥l2,则2a-2=0,
所以a=1,故a=1是l1∥l2的充要条件.
3.已知命题①若a>b,则<,②若-2≤x≤0,则(x+2)(x-3)≤0,则下列说法正确的是(　D　)
(A)①的逆命题为真 (B)②的逆命题为真
(C)①的逆否命题为真 (D)②的逆否命题为真
解析:①的逆命题为<,则a>b,若a=-2,b=3,则不成立,故A错;②的逆命题为若(x+2)(x-3)≤0,则-2≤x≤0,是假命题,故B错;①为假命题,其逆否命题也为假命题,故C错;②为真命题,其逆否命题也为真命题.故选D.
4.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的(　A　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:要区分向量平行与向量相等,相反向量等基本概念,向量平行不一定向量相等,向量相等或相反必平行.故选A.
5.下列命题中,真命题是(　D　)
(A)命题“若|a|>b,则a>b”
(B)命题“若a=b,则|a|=|b|”的逆命题
(C)命题“当x=2时,x2-5x+6=0”的否命题
(D)命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”
解析:D.可以改写成“若角的终边相同,则它们的同名三角函数值相等”,是真命题,故选D.
6.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是(　A　)
(A)若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3
(B)若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3
(C)若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
(D)若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
解析:由题命题的否命题是若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3.
7.设a,b为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是(　D　)
(A)若a,b与α所成的角相等,则a∥b
(B)若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
(C)若a?α,b?β,a∥b,则α∥β
(D)若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
解析:A中,a,b还可能相交或异面,所以A错误.
B.平行于平行平面的两条直线不一定平行,所以B错误.
C.根据直线和平面的位置关系和直线平行的性质可知,当a?α,b?β,a∥b,则α∥β不成立,所以C错误.
D.根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知,若a⊥α,α⊥β,则a∥β或a?β,
又因为b⊥β,所以a⊥b成立,所以D成立.
8.下列结论错误的是(　C　)
(A)命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则 x2-3x-4≠0”
(B)“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件
(C)命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题
(D)命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则 m≠0或n≠0”
解析:命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”.若方程x2+x-m=0有实根,则Δ=1+4m≥0,解得m≥-.因为m≥-时,不一定有m>0,所以C错误.故选C.
9.f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(　B　)
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:若f(x),g(x)均为偶函数,则h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)
=h(x),所以h(x)为偶函数;若h(x)为偶函数,则f(x),g(x)不一定均为偶函数,可举反例说明,如f(x)=x,g(x)=x2-x+2,则h(x)=f(x)+g(x) =x2+2为偶函数.故选B.
10.有下列命题:
①“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题;
②“矩形的对角线相等”的否命题;
③“若m≥1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集是R”的逆命题;
④“若a+7是无理数,则a是无理数”的逆否命题.
其中正确的是(　D　)
(A)①②③ (B)②③④
(C)①③④ (D)①④
解析:①的否命题为“若x+y≤0,则x≤0或y≤0”,否命题为真;
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题;
③的逆命题为“若mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,则m≥1”.
因为当m=0时,解集不是R,
所以应有即m>1.所以③是假命题;
④原命题为真命题,逆否命题也为真命题.
故选D.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)
11.命题“若a?A,则b∈B”的逆否命题是　　　　.?
解析:逆否命题既否定其条件又否定其结论,然后交换其顺序.
答案:若b?B,则a∈A
12.命题p:“若x≥1,则a2x-ax+2≥0”的否命题为　　　　 　　　
　　　　　; ﹁p为　　　　　　　　　　　　.?
解析:由否命题的定义可知,命题“若x≥1,则a2x-ax+2≥0”的否命题为“若x<1,则a2x-ax+2<0”.
答案:若x<1,则a2x-ax+2<0　若x≥1,则a2x-ax+2<0
13.若xm+1是x2-2x-3>0的必要不充分条件、充分条件,则实数m的取值范围分别是　　　　、　　　　.?
解析:由已知易得{x|x2-2x-3>0},{x|xm+1},
又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1或x>3},
若为必要不充分条件,
则或
所以0≤m≤2.
若为充分条件,则
得m∈.
答案:[0,2]　
14.在R上定义运算☉:x☉y=x(1-y),?x∈R,不等式(x-a)☉(x+a)<1恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.?
解析:(x-a)☉(x+a)<1,即(x-a)(1-x-a)<1,
即x2-x-(a2-a-1)>0恒成立,
所以Δ=(-1)2+4(a2-a-1)<0,
即(2a+1)(2a-3)<0,解得-答案:(-,)
15.若命题p:“数列an=n2-2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题,则λ的取值范围是　　　　.若命题p的逆否命题为真命题,则λ的取值范围是　　　　.?
解析:若数列an=n2-2λn(n∈N*)为递增数列,
则有an+1-an>0,即2n+1>2λ对任意的n∈N*都成立,
于是可得3>2λ,即λ<.
故所求λ的取值范围是[,+∞).
若p的逆否命题为真命题,则p为真命题,λ<.
答案:[,+∞)　(-∞,)
16.设命题p:<0,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.若p:<0为假命题,则x的取值范围为　　　　.?
解析:由<0,得(2x-1)(x-1)<0,解得由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得[x-(a+1)](x-a)≤0,即a≤x≤a+1,即q:a≤x≤a+1,
要使p是q的充分不必要条件,则
解得0≤a≤,
所以a的取值范围是[0,].
由<0得答案:[0,]　(-∞,-]∩[1,+∞)
17.在△ABC中,“角A,B,C成等差数列”是“sin C=(cos A+sin A)cos B”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)?
解析:由角A,B,C成等差数列,得B=.
由sin C=(cos A+sin A)cos B,
得sin(A+B)=(cos A+sin A)cos B,
化简得cos Asin(B-)=0,
所以A=或B=.
所以在△ABC中,“角A,B,C成等差数列”?“sin C= (cos A+sin A)cos B”,
但“sin C=(cos A+sin A)·cos B”“角A,B,C成等差数列”.
所以“角A,B,C成等差数列”是“sin C=(cos A+sin A)cos B”的充分不必要条件.
答案:充分不必要
三、解答题(本大题共5小题,共74分)
18.(本小题满分14分)
把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)能被6整除的数一定是偶数;
(2)当+|b+2|=0时,a=1,b=-2;
(3)已知x,y为正整数,当y=x2时,y=1,x=1.
解:(1)若一个数能被6整除,则这个数一定为偶数,是真命题.
(2)若+|b+2|=0,则a=1且b=-2,真命题.
(3)已知x,y为正整数,若y=x2,则y=1且x=1,假命题.
19.(本小题满分15分)
在下列各题中,哪些p是q的充要条件?
(1)p:a>b,q:a2>b2;
(2)p:两直线平行,q:内错角相等;
(3)p:直线l与平面α所成角大小为90°,q:l⊥α;
(4)函数f(x)=logax(a>1),p:f(x1)>f(x2),q:x1>x2>0.
解:在(1)中,pq,qp,所以(1)中的p不是q的充要条件.
在(2)(3)(4)中,p?q,所以(2)(3)(4)中的p是q的充要条件.
20.(本小题满分15分)
已知p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若非p是非q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.
解:由题意p:-2≤x-3≤2,所以1≤x≤5.
所以非p:x<1或x>5.q:m-1≤x≤m+1,
所以非q:xm+1.
又因为非p是非q的充分而不必要条件,
所以
所以2≤m≤4.
得m的取值范围为[2,4].
21.(本小题满分15分)
设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
证明:充分性:因为∠A=90°,
所以a2=b2+c2.
于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.
所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0.
所以该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c),
同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0,
即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,
所以该方程有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).
可以发现,x1=x3,所以方程有公共根.
必要性:设x是方程的公共根,
则　
由①+②,得x=-(a+c)或x=0(舍去).
代入①并整理,可得a2=b2+c2.
所以∠A=90°.
所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是 ∠A=90°.
22.(本小题满分15分)
已知“?x∈(-1,1),使等式x2-x-m=0成立”是真命题.
(1)求实数m的取值集合M;
(2)设不等式(x-a)(x+a-2)<0解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件,求实数a的取值范围.
解:(1)由题意知方程x2-x-m=0在(-1,1)上有解,
即m的取值范围就为函数y=x2-x在(-1,1)上的值域,易得M=(m|-≤m<2).
(2)因为x∈N是x∈M的必要条件,所以M?N.
当a=1时,N=,不符合题意;
当a>1时,N={x|2-a则解得a>;
当a<1时,N={x|a则
解得a<-.
综上所述,实数a的取值范围为(a|a>或a<-).