1.1.1 命 题
1.下列语句不是命题的是( C )
(A)5>8
(B)若a>0,则是无理数
(C)x∈{-1,0,1,2}
(D)正弦函数是奇函数
解析:x∈{-1,0,1,2}不是命题,因为不能判断真假.故选C.
2.语句“若a>b,则a+c>b+c”( B )
(A)不是命题 (B)是真命题
(C)是假命题 (D)不能判断真假
3.下列命题中假命题是( B )
(A)若log2x<2,则0(B)若a·b=0,则a与b的夹角为90°
(C)已知非零数列{an}满足an+1-2an=0,则该数列为等比数列
(D)点(π,0)是函数y=sin x图象上一点
解析:B中当a=0,b≠0时,a与b的夹角是任意的,所以B是假命题.A,C,D为真命题.故选B.
4.下列语句中,是假命题的是( A )
(A)一条直线有且只有一条垂线
(B)不相等的两个角一定不是对顶角
(C)直角的补角必是直角
(D)两直线平行,同旁内角互补
5.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的一个值可以是( C )
(A)4 (B)2 (C)0 (D)-3
解析:方程无实根时,应满足Δ=a2-4<0.
故a=0时适合条件.
故选C.
6.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中,真命题是( B )
(A)若a·b=0,则a=0或b=0
(B)若λa=0,则λ=0或a=0
(C)若a2=b2,则a=b或a=-b
(D)若a·b=a·c,则b=c
解析:a·b=0,在a,b为非零向量时可得a⊥b;a2=b2可改写为|a|2=|b|2,只能得出|a|=|b|;a·b=a·c,可移项得a⊥(b-c),不可两边同除以向量.故选B.
7.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是( C )
(A)这个四边形的对角线互相平分
(B)这个四边形的对角线互相垂直
(C)这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直
(D)这个四边形是平行四边形
解析:把命题改写成“若p,则q”的形式后可知C正确.故选C.
8.下列命题正确的是( C )
(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
(C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
解析:A中这两条直线可平行、异面、相交,选项A错;B中,经过这三个点的平面与这个平面可相交,选项B不正确;
对于C,如图,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线a作平面β∩α=c,过直线a作平面γ∩β=d,因为a∥α,所以a∥c,因为a∥β,所以a∥d,所以d∥c,
因为c?α,d?α,所以d∥α,
又因为d?β,所以d∥b,所以a∥b,选项C正确;
若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D不正确.故选C.
9.把命题“函数f(x)=sin x是奇函数”改写成“若p,则q”的形式是 .?
答案:若一个函数是f(x)=sin x,则该函数是奇函数
10.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)”的条件p是 ,结论q是
,它是 (选填“真”或“假”)命题.?
解析:a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立,
所以x+y-1≥0表示直线的右上方区域,
所以命题为真命题.
答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真
11.下列语句中是命题的有 (写出序号),其中是真命题的有 (写出序号).?
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?
②一个数不是正数就是负数;
③大角所对的边大于小角所对的边;
④△ABC中,若∠A=∠B,则sin A=sin B.
解析:①疑问句.没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题;②是假命题,0既不是正数也不是负数;③是假命题,没有考虑在同一个三角形内;④是真命题.
答案:②③④ ④
12.已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是 .?
解析:因为x+3≥0,所以A={x|x≥-3}.
又因为a∈A是假命题,即a?A,
所以a<-3.
答案:(-∞,-3)
13.给定下列命题:
①若a>b,则2a>2b;②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;③命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是“这个四边形的对角线垂直”;④直线x=是函数y=sin x的一条对称轴;⑤在△ABC中,若· >0,则△ABC是钝角三角形.其中为真命题的个数是 .?
解析:①是真命题;②当a=,b=-时,a+b=0为有理数,故②为假命题;③为假命题;④为真命题;⑤·=||||cos(π-B)>0,所以cos B<0,所以B为钝角,故⑤为真命题.
答案:3
14.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题:若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于 对称,则函数g(x)= .(注:填上你认为可以成为真命题的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形)?
答案:x轴 -3-log2x或y轴 3+log2(-x)或(0,0) -3-log2(-x)(任选一种或其他正确的情形均可)
15.下列命题:
①若数列{an}是等比数列,则a2·a4>0;
②当x=时,有sin x>cos x;
③若<1,则x>1;
④若a=(0,1),b=(0,-1),则a与b的夹角为0°;
⑤函数y=log2x2在(1,+∞)上单调递增.
其中为真命题的是 .(填序号)?
解析:易知①②⑤为真命题;③中<1,解得x<0或x>1,故③为假命题;④a与b反向,从而a与b的夹角为180°,故④为假命题.
答案:①②⑤
16.对于直线m,n和平面α,下面命题中的真命题是( C )
(A)如果m?α,n?α,m,n是异面直线,那么n∥α
(B)如果m?α,n与α相交,那么m,n是异面直线
(C)如果m?α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
(D)如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
解析:对于A,n∥α或n与α相交,故A错;对于B,m,n是相交或异面直线,故B错;C对;对于D,m∥n或m,n相交,故D错.
故选C.
17.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)当ac>bc时,a>b;
(2)当m>时,mx2-x+1=0无实根;
(3)当ab=0时,a=0或b=0.
解:(1)若ac>bc,则a>b.
因为ac>bc,c<0时,a(2)若m>,则mx2-x+1=0无实根.
因为Δ=1-4m<0,所以是真命题.
(3)若ab=0,则a=0或b=0.真命题.
18.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)6是12和18的公约数;
(2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不等实根;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
解:(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.
(2)若a>-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不等实根,是假命题.
(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题.
(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.
19.已知A:5x-1>a,B:x>1,请选择适当的实数a,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.
解:若视A为p,则命题“若p,则q”为“若x>,则x>1”,由命题为真命题可知≥1,解得a≥4;若视B为p,则命题“若p,则q”为“若x>1,则x>”,由命题为真命题可知≤1,解得a≤4.故a取任一实数均可利用A,B构造出一个真命题.
课件26张PPT。第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题课标要求:1.理解命题的概念,能判断给定语句是否为命题.2.掌握命题的构成,能把命题改写成“若p则q”的形式.3.能够判断一些简单命题的真假. 自主学习1.命题的概念
一般地,在数学中,把用语言、符号或式子表达的,可以判断 的陈述句叫做命题(proposition).其中判断为 的语句叫做真命题(true proposition),判断为 的语句叫做假命题(false proposition).知识探究真假真假注意:(1)并非任何语句都是命题,只有那些能判断真假的陈述句才是命题;
(2)一般地,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题;
(3)有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现,但目前不能确定这些语句的真假,随着时间的推移,总能确定它们的真假,这一类语句仍然看成命题;
(4)命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断;
(5)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题;
(6)数学中要判定一个命题为真命题,需要经过严格的数学证明;要判定一个命题为假命题,只需要举出一个反例即可.2.命题的形式
在本章的学习中,只讨论具有“若p,则q”这种形式的命题,通常把这种形式的命题中的p叫做命题的 ,q叫做命题的 .
注意:(1)数学中有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式,但是把它的表述进行适当改变,就可以写成“若p,则q”的形式,这样条件p和结论q就明确了.“若p,则q”只是命题的一种形式,另外,“如果p,那么q”“只要p,应有q”也是常见的命题形式.
(2)将含有大前提的命题改写为“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件p中.
(3)改写前后命题的真假性不发生改变.
(4)还有一些命题不能写成“若p,则q”的形式,如“某些三角形没有外接圆”.条件结论3.判断命题真假的方法
(1)找反例:通过构造反例否定一个命题的正确性,是判定一个命题为假命题的常用方法.
(2)直接证明:由条件出发,运用相关的定义、性质、定理等.通过逻辑推理来推断命题为真,是判定一个命题为真命题的常用方法.
(3)取特例:特殊化思想是一种重要的数学思想,对于有些判断真假的选择题,通过构造符合条件的图形或函数、赋予具体的数值等方式,化抽象为具体,验证命题的真假.自我检测C1.下列语句中,命题的个数是( )
①空集是任何集合的真子集;
②请起立;
③单位向量的模为1;
④你是高二的学生吗?
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3B C4.给出下列几个命题:
①若x,y互为相反数,则x+y=0;
②若a>b,则a2>b2;
③若x>-3,则x2+x-6≤0;
④若a,b是无理数,则ab也是无理数.
其中的真命题有 个.?解析:①是真命题.
②设a=1>b=-2,但a2③设x=4>-3,但x2+x-6=14>0,假命题.答案:1题型一命题的概念 课堂探究【例1】 下列语句:
①作△ABC∽△A′B′C′;
②x,y都是无理数,则x+y是无理数;
③请把门关上;
④若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行;
⑤x>1;
⑥2030年1月1日北京会下雨.
其中为命题的是 .(填序号)?解析:①不是命题,因为它是一个祈使句;③不是命题,因为它不是陈述句;
④是命题,是假命题,直线l与平面α可以相交;
⑤不是命题,在没有给x赋值前,无法判断x>1的真假;
⑥是命题,它的真假取决于2030年1月1日北京的具体情况,是能够区分真假的,因此是命题.
答案:②④⑥方法技巧 判断语句是否是命题的策略
(1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,一般疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
(2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假,所以它不是命题.
(3)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题.(5)函数f(x)=3x(x∈R)是指数函数;
(6)x2-3x+2=0;
(7)函数y=cos x是周期函数吗?
(8)集合{a,b,c}有3个子集.解:(5)是命题,满足指数函数的定义,为真.
(6)不是命题,不能判定真假.
(7)不是命题,是疑问句,不能判断真假.
(8)是命题,因为{a,b,c}有23=8个子集,所以集合{a,b,c}有3个子集为假.
因此(1)与(4)是命题;(2)与(3)不是命题.题型二命题真假的判断【例2】 (1)下列命题中真命题有( )
①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个(1)解析:①中当m=0时,是一元一次方程;②中当Δ=4+4a<0时,抛物线与x轴无交点;③是正确的;④中空集不是本身的真子集.故选A.(2)判断下列命题的真假:
①已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d;
②若x∈N,则x3>x2成立;
③若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根;
④存在一个三角形没有外接圆.(2)解:①假命题.反例:1≠4,5≠2,而1+5=4+2.
②假命题.反例:当x=0时,x3>x2不成立.
③真命题.因为m>1?Δ=4-4m<0,
所以方程x2-2x+m=0无实数根.
④假命题.因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆. 命题真假的判断方法
(1)分清命题的条件和结论,是对命题进行真假判断的关键;
(2)判断一个命题是假命题,只需要举一个反例即可,判断一个命题为真命题,需经过严格的推理论证,在判断时,要有推理依据.数学中的定义、定理、公理和公式都是真命题.方法技巧即时训练2-1:(1)(2015·浙江卷)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l?α,m?β.( )
(A)若l⊥β,则α⊥β (B)若α⊥β,则l⊥m
(C)若l∥β,则α∥β (D)若α∥β,则l∥m答案:(1)A 解析:(1)对于面面垂直的判定,主要是两个条件,即l?α,l⊥β,如果这两个条件存在,则α⊥β.选A.答案:(2)①②④(2)给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;③对角线相等的四边形是矩形;④若xy=0,则x,y中至少有一个为0.其中是真命题的是 .?解析:(2)①中Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以①为真命题;②由不等式的乘法性质知命题正确,所以②为真命题;③如等腰梯形对角线相等,不是矩形,所以③是假命题;④由等式性质知命题正确,所以④是真命题.命题的结构形式题型三【例3】 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.
(1)实数的平方是非负数;
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形;
(3)当ac>bc时,a>b;
(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.解:(1)若一个数是实数,则它的平方是非负数.真命题.
(2)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形,假命题.
(3)若ac>bc,则a>b.假命题.
(4)若一个点在角的平分线上,则该点到这个角的两边的距离相等.真命题.(5)奇数不能被2整除;
(6)当(a-1)2+(b-1)2=0时,a=b=1;
(7)两个相似三角形是全等三角形;
(8)在空间中,平行于同一个平面的两条直线平行.解:(5)若一个数是奇数,则它不能被2整除,是真命题.
(6)若(a-1)2+(b-1)2=0,则a=b=1,是真命题.
(7)若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形是全等三角形,是假 命题.
(8)在空间中,若两条直线平行于同一个平面,则这两条直线平行,是假 命题.方法技巧 (1)对命题改写时,一定要找准命题的条件和结论,有些命题的形式比较简洁,条件和结论不明显,写命题的条件和结论时需要适当加以补充,例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”,结论为“这两个角相等”.
(2)在对命题改写时,要注意所叙述的条件和结论的完整性,有些命题中,还要注意大前提的写法,例如命题“在△ABC中,若a>b,则A>B”中,大前提“在△ABC中”是必不可少的.即时训练3-1:把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.
(1)全等三角形的面积相等;
(2)斜率相等的两条直线平行;
(3)钝角的余弦值是负数;
(4)奇函数的图象关于原点对称;解:(1)若两个三角形全等,则它们的面积相等,真命题.
(2)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行,真命题.
(3)若一个角是钝角,则这个角的余弦值是负数,真命题.
(4)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称,真命题.解:(5)已知x,y为正整数,若y=x+1,则y=3且x=2,假命题.
(7)若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行,真命题.
(8)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等,假命题.点击进入 课时作业谢谢观赏！
