1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.命题“若a>1,则a>0”的逆命题是( A )
(A)若a>0,则a>1 (B)若a≤0,则a>1
(C)若a>0,则a≤1 (D)若a≤0,则a≤1
2.命题“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题是( A )
(A)若A∪B≠A,则A∩B≠B
(B)若A∩B=B,则A∪B=A
(C)若A∩B≠B,则A∪B≠A
(D)若A∪B≠A,则A∩B=B
解析:命题“若p,则q”的否命题为“若非p,则非q”,故选A.
3.命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是( C )
(A)若α≠,则tan α≠1
(B)若α=,则tan α≠1
(C)若tan α≠1,则α≠
(D)若tan α≠1,则α=
解析:否定原命题的结论作条件,否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题,可知C正确.故选C.
4.若命题p的逆命题为q,命题q的否命题为r,则p是r的( C )
(A)逆命题 (B)否命题
(C)逆否命题 (D)以上判断都不对
解析:设命题p为:若a,则b,
则命题q为:若b,则a,
命题r为:若﹁b,则﹁a,
所以p是r的逆否命题.故选C.
5.命题“若x2>1,则x<-1或x>1”的逆否命题是( B )
(A)若x2>1,则-1≤x≤1
(B)若-1≤x≤1,则x2≤1
(C)若-1(D)若x<-1或x>1,则x2>1
6.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( B )
(A)能被3整除的整数,一定能被6整除
(B)不能被3整除的整数,一定不能被6整除
(C)不能被6整除的整数,一定不能被3整除
(D)不能被6整除的整数,能被3整除
解析:即写命题“若一个整数能被6整除,则一定能被3整除”的逆否命题.故选B.
7.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( B )
(A)若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
(B)若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
(C)若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
(D)若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
解析:原命题的条件是“f(x)是奇函数”,结论是“f(-x)是奇函数”,同时否定条件与结论,即得否命题:若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.故选B.
8.给出下列三个命题:
①“全等三角形的面积相等”的否命题;
②“若lg x2=0,则x=-1”的逆命题;
③“若x≠y或x≠-y,则|x|≠|y|”的逆否命题.
其中真命题的个数是( B )
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
解析:①否命题是“不全等的三角形面积不相等”,它是假命题;②逆命题是“若x=-1,则lg x2=0”,它是真命题;③逆否命题是“若|x|=|y|,则x=y且x=-y”,它是假命题.故选B.
9.命题“若a>b,则a+1>b”的逆否命题是 .?
答案:若a+1≤b,则a≤b
10.命题:“若a>b,则2a>2b-1”的否命题是
.?
答案:若a≤b,则2a≤2b-1
11.命题“x∈R,若x2>0,则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是 .?
解析:命题“x∈R,若x2>0,则x>0”为假命题,故其逆否命题也为假 命题;
其逆命题为“x∈R,若x>0,则x2>0”为真命题,故其否命题也为真 命题.
答案:2
12.命题“对任意x∈R,x2+ax+1<0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是 .?
解析:原命题等价于“对任意x∈R,x2+ax+1≥0恒成立”,
所以有Δ=a2-4≤0,
解得-2≤a≤2.
答案:[-2,2]
13.写出命题“若a>b,则ac2>bc2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.
解:该命题为假命题,因为当c=0时,有ac2=bc2.
逆命题:若ac2>bc2,则a>b.(真)
否命题:若a≤b,则ac2≤bc2.(真)
逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b.(假)
14.已知命题p:“若ac≥0,则二次不等式ax2+bx+c>0无解”.
(1)写出命题p的否命题;
(2)判断命题p的否命题的真假.
解:(1)命题p的否命题为“若ac<0,则二次不等式ax2+bx+c>0有解”.
(2)命题p的否命题是真命题.
判断如下:因为ac<0,
所以-ac>0?Δ=b2-4ac>0?二次方程ax2+bx+c=0有实根?ax2+bx+c>0有解.
所以命题p的否命题是真命题.
15.判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题,同时判断这些命题的真假.
(1)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形;
(2)在△ABC中,若a>b,则∠A>∠B.
解:(1)该命题为真命题.
逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则四边形的对角互补,为真 命题.
否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形,为真命题.
逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则四边形的对角不互补,为真命题.
(2)该命题为真命题.
逆命题:在△ABC中,若∠A>∠B,则a>b,为真命题.
否命题:在△ABC中,若a≤b,则∠A≤∠B,为真命题.
逆否命题:在△ABC中,若∠A≤∠B,则a≤b,为真命题.
16.命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是( A )
(A)若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
(B)若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减 函数
(C)若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增 函数
(D)若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数
解析:命题“若p,则q”的逆否命题为“若﹁q,则﹁p”,“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”,不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”.故选A.
17.下列有关命题的说法正确的是( C )
(A)“若x>1,则2x>1”的否命题为真命题
(B)“若cos β=1,则sin β=0”的逆命题是真命题
(C)“若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题
(D)命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>0
解析:A中,否命题“若x≤1,则2x≤1”为假命题,故A不正确;B中,sin β=0时,cos β=±1,则逆命题为假命题,故B不正确;D中,由已知条件得a的取值范围为[1,+∞),故D不正确.故选C.
18.已知命题“若m-1解析:由已知得,若1答案:[1,2]
19.下列命题中:
①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
②若一个四边形对角互补,则它内接于圆;
③正方形的四条边相等;
④圆内接四边形对角互补;
⑤对角不互补的四边形不内接于圆;
⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.
其中互为逆命题的有 ;互为否命题的有 ;互为逆否命题的有 .?
解析:命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”;命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断.
答案:②和④,③和⑥ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤
20.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若命题:对于任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2]使f(x1)=g(x2)为真命题,求实数a的取值 范围.
解:对于任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2]使f(x1)=g(x2),
则{f(x)|x∈[-1,2]}?{g(x)|x∈[-1,2]}.
又f(x)=x2-2x在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
所以-1≤f(x)≤3.
因为g(x)=ax+2(a>0)在[-1,2]上单调递增,
所以-a+2≤g(x)≤2a+2,
于是有
即a≥3.
故实数a的取值范围为[3,+∞).
课件29张PPT。1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系课标要求:1.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题.2.能够把一个“若p,则q”形式的命题熟练地写出其逆命题、否命题和逆否命题.3.掌握四种命题之间的关系及真假性之间的联系,会利用命题的等价性解决问题. 自主学习1.互逆命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.
2.互否命题
对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 .和 ,我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命题.知识探究结论和条件条件的否定结论的否定3.互为逆否命题
对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 .
和 ,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题.
用p和q分别表示原命题的条件和结论,用﹁p(读作“非p”)和﹁q(读作“非q”)分别表示p和q的否定,于是四种命题的形式就是:结论的否定条件的否定注意:(1)“逆命题、否命题、逆否命题”都是相对于原命题而言的,都是相对概念,如命题“若x≠2,则x2≠4”相对于命题“若x=2,则x2=4”是否命题,而相对于命题“若x2=4,则x=2”则是逆否命题;
(2)互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题之间的关系,把其中一个命题叫做原命题时,另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题,即要充分理解“互为”的相对性;
(3)不是“若p,则q”形式的命题,最好先改写成“若p,则q”的形式,然后讨论其他三种命题,这样容易分清条件和结论.4.四种命题间的相互关系
原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示.5.四种命题的真假性之间的关系
四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况:
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此这四种命题的真假性之间的关系如下:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有 ;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的 .相同的真假性真假性没有关系注意:四种命题中真命题个数的探究
因为原命题与逆否命题有相同的真假性,逆命题与否命题有相同真假性,所以四种命题中真命题的个数一定为偶数,即真命题的个数只可能为0,2,4.
说明:根据四种命题中真命题的个数只可能为0,2,4,可以检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确.自我检测B1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
(A)若一个数是负数,则它的平方不是正数
(B)若一个数的平方是正数,则它是负数
(C)若一个数不是负数,则它的平方不是正数
(D)若一个数的平方不是正数,则它不是负数C3.命题“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是( )
(A)若a,b都不是奇数,则a+b是偶数
(B)若a+b是奇数,则a,b都是偶数
(C)若a+b不是偶数,则a,b都不是奇数
(D)若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数
4.命题“若x>1,则x>0”的逆命题是 ,逆否命题是
. 答案:若x>0,则x>1 若x≤0,则x≤1D5.在原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 .?解析:逆命题为“若A∩B≠A,则A∪B≠B”;
否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”;
逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”;
全为真命题.
答案:4题型一四种命题的概念 课堂探究【例1】 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)全等三角形的对应边相等;解:(1)原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等;
逆命题:若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等;
否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形三边对应不相等;
逆否命题:若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等.(2)当x=2时,x2-3x+2=0;
(3)正数a的平方根不等于0.解:(2)原命题:若x=2,则x2-3x+2=0;
逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2;
否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0;
逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2.
(3)原命题:若a是正数,则a的平方根不等于0.
逆命题:若a的平方根不等于0,则a是正数.
否命题:若a不是正数,则a的平方根等于0.
逆否命题:若a的平方根等于0,则a不是正数.方法技巧 (1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件和结论同时否定即得否命题,将条件和结论互换的同时,进行否定即得逆否命题.
(2)如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.解:(1)改写成“若一个数是无理数,则它的平方是有理数”.
逆命题:若一个数的平方是有理数,则它是无理数.
否命题:若一个数不是无理数,则它的平方不是有理数.
逆否命题:若一个数的平方不是有理数,则它不是无理数.
(2)逆命题:若x=2或x=-3,则x2+x-6=0.
否命题:若x2+x-6≠0,则x≠2且x≠-3.
逆否命题:若x≠2且x≠-3,则x2+x-6≠0.即时训练1-1:写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.
(1)无理数的平方是有理数;
(2)当x2+x-6=0时,x=2或x=-3;(3)垂直于同一平面的两直线平行;
(4)若m·n<0,则方程mx2-x+n=0有实数根.解:(3)逆命题:如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一个平面.
否命题:如果两条直线不垂直于同一平面,那么这两条直线不平行.
逆否命题:如果两条直线不平行,那么这两条直线不垂直于同一平面.
(4)逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则m·n<0.
否命题:若m·n≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根.
逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则m·n≥0.题型二四种命题的关系及其真假判断【例2】 判断下列命题的真假.
(1)“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;
(2)“正三角形都相似”的逆命题;
(3)“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;解:(1)原命题的否命题为“若x2+y2=0,则x,y全为零”.真命题.
(2)原命题的逆命题为“若三角形相似,则这些三角形是正三角形”.假命题.(4)“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆命题;
(5)“若m>0,则mx2+x-1=0有实根”的逆否命题. 解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念,原命题与它的逆否命题同真同假,原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题,同真同假,故只判断两者中的一个即可.方法技巧即时训练2-1:(1)设m,n是向量,命题“若m=n,则|m|=|n|”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中,真命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4解析:(1)法一 原命题为真命题.
逆命题:“若|m|=|n|,则m=n”为假命题,
否命题:“若m≠n,则|m|≠|n|”为假命题.
逆否命题:“若|m|≠|n|,则m≠n”为真命题.
故四个命题中,真命题的个数是2.故选C.
法二 原命题为真命题,则其逆否命题也为真命题.
逆命题:“若|m|=|n|,则m=n”为假命题,则否命题也为假命题.故四个命题中,真命题的个数是2.故选C.等价命题的应用题型三【例3】 (12分)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).”
写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论.规范解答:逆命题:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.为真命题.2分
由于逆命题与否命题具有相同的真假性,因此可转化为证明其否命题为真,即证明“若a+b<0,则f(a)+f(b)因为a+b<0,则a<-b,b<-a.
因为f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,
则f(a)所以f(a)+f(b)因此否命题为真命题,即逆命题为真命题.………………………………12分变式探究:写出本例中命题的逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.解:逆否命题:若f(a)+f(b)因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同,
所以可证明原命题为真命题.
因为a+b≥0,所以a≥-b,b≥-a.
又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
所以逆否命题为真命题.方法技巧 直接证明困难时,命题是否定的形式或不等式的形式时,常常考虑用证明逆否命题的方法来证明.即时训练3-1:判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2
≤0的解集是空集,则a<2”的逆否命题的真假.解:法一 原命题的逆否命题为“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.
判断真假如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,
因为a≥2,所以4a-7>0,
即抛物线与x轴有交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真.点击进入 课时作业谢谢观赏！
