北师大版数学本九上1.1菱形性质和判定课件（27张PPT）

特殊的平行四边形
-----菱形（1）

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
有一组 的 叫做
邻边相等
平行四边形
A
D
C
B
∵四边形ABCD是平行四边形
AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
菱形
如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O.
(1) 菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几
条对称轴？对称轴之间
有什么位置关系？
(2)图中有哪些线段是相
等的？哪些角是相等的？
(3)图中有哪些等腰三角
形、直角三角形？
(4)两条对角线AC，BD有
什么特定的位置关系？

O
D
C
B
A
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，因此我们得到：
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
菱形的性质：
菱形是轴对称图形, 对称轴有两条,是菱形两条对角线所在的直线.
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
已知:四边形ABCD是菱形，AB=AD,对角线AC和BD相交于点O
求:(1)AB=BC=CD=AD
(2) AC⊥BD，


证明：
菱形的性质2：
O
6
o
(1)∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）

同理：AC平分∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
∴ AC平分∠DAB (为什么?)
(2)∵AB=AD,
∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形AB是菱形
∴ OD=OB （菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD
∴AO⊥BD
即 AC⊥BD
同理：AC平分∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
∴ AC平分∠DAB (为什么?)
同理：AC平分∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
∴ AC平分∠DAB (为什么?)
同理：AC平分∠DCB
边
角
对角线
对称性
菱形的两组对边平行且相等
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
菱形的四条边相等
∴ AB=BC=CD=DA
菱形的两组对角分别相等
∴ ∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC
菱形的邻角互补
∴ ∠DAB+∠ABC= 180°
菱形的两条对角线互相平分
∴ OA=OC;OB=OD
菱形的两条对角线互相垂直，
每一条对角线平分一组对角。
∴ AC⊥BD
∠1=∠2
∠3=∠4
∠5=∠6
∠7=∠8

菱形是轴对称图形，有2条对称轴，是两条对角线所在的直线.
1
2
4
3
5
7
6
8
∵四边形ABCD是菱形，
说说理由
∴AD∥BC，AB∥CD ( )
AB=BC=CD=DA ( )
OA=OC，OB=OD ( )
AC⊥BD ( )
∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD
= ∠ADC= ∠ABC ( )
你都掌握了吗？
3cm
600
C
例1：
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD= 600 BD=6，求菱形的边长 和对角线的长。
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD（菱形的四条边相等）
AC⊥BD （菱形的对角线互相垂直）
∴ OD=OB=
= =3 （菱形的对角线互相平分）

在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD= 600
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD=2
在RT△AOB中，由勾股定理得
OA2+OB2=AB2
∴ OA=
∴AC=2OA=



1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.

分析：
1个定义:
2个公式:
3个特性:
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
特在“边、对角线、对称性”
3、练习：
1）菱形ABCD中，AD=10cm，则周长为___
2）菱形两条对角线长分别为6cm、8cm，则它
的周长为____
3）菱形周长为52cm，一条对角线长24cm，则
另一条对角线长为_____，面积为_____。
4）菱形ABCD中，两对角线之比为3:4，周长为
40，则较短的对角线长为___，面积为___
40cm
20cm
10cm
120平方厘米
12
96
5）菱形ABCD中，AB=4，∠DAB=60°，则两
条对角线长分别为________，面积为______
6）菱形ABCD中，BD=6，∠ADC=120°，则
周长为_______，另一条对角线长为_____
7）菱形两邻角之比为2:1，边长为10cm，则它
的两条对角线长分别为_______，面积为____
你能做出一个菱形吗？你是怎么知道做出的图形是菱形？
方法一：将一张长方形的纸横对折，再
竖对折，然后沿图中的虚线剪
下，打开即可。
你能说一说这样做的道理吗？
方法二：两张等宽的纸条交叉重叠在一
起，重叠的部分ABCD就是菱形.
你能说一说这样做的道理吗？
方法三：将一张长方形纸对折，再在折痕
上取任意长为底边，剪一个等腰
三角形，然后打开即是菱形.
菱形的判别可用下图来表示
判别一：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判别二：
四条边都相等的四边形是菱形
符号语言：∵□ABCD
AC⊥BD
∴菱形ABCD
符号语言：∵AB=BC=CD=DA
∴菱形ABCD
判别三：
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
符号语言： ∵□ABCD AB=BC
∴菱形ABCD
例1：如图，□ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点， AB= ，AO=2，OB=1．
（1）AC，BD有怎样的位置关系？
（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
解：1）
2）∵□ABCD
AC⊥BD
∴菱形ABCD
例2：如图△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
四边形AEDF是菱形吗？为什么？
证明：∵ DE∥AC
∴DE∥AF
同理：AE∥DF
∴□ABCD
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵DE∥AC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3（等量代换）
∴AE=ED（等边对等角）
∴菱形ABCD（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
1 2
3
变式：如图△ABC中，
DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
△ABC满足什么条件四边形AEDF是菱形吗？为什么？
练习：已知□ABCD，EF过AC的中点O
1）四边形AFCE是平行四边形吗？为什么？
2）EF与AC有怎样的关系时，四边形AECF是菱形？为什么？
2.已知如图，菱形ABCD中，E是 AB的中点，且DE⊥AB，AE=2.
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积.
课后作业: