2.4 等比数列
第一课时 等比数列的概念与通项公式
1.在等比数列{an}中,已知a1=,a5=3,则a3等于( A )
(A)1 (B)3 (C)±1 (D)±3
解析:由a5=a1·q4=3,得q4=9,所以q2=3,a3=a1·q2=×3=1.故选A.
2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( D )
(A)a1,a3,a9成等比数列 (B)a2,a3,a6成等比数列
(C)a2,a4,a8成等比数列 (D)a3,a6,a9成等比数列
解析:由a3=a1q2,a6=a1q5,a9=a1q8得,a3·a9=≠0,
因此a3,a6,a9一定成等比数列.
故选D.
3.下列命题中正确的是( C )
(A)若a,b,c是等差数列,则lg a,lg b,lg c是等比数列
(B)若a,b,c是等比数列,则lg a,lg b,lg c是等差数列
(C)若a,b,c是等差数列,则10a,10b,10c是等比数列
(D)若a,b,c是等比数列,则10a,10b,10c是等差数列
解析:若a,b,c成等差数列,则2b=a+c,
所以10a·10c=10a+c=102b=(10b)2,
所以10a,10b,10c是等比数列.
故选C.
4.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an等于( B )
(A)4·()n (B)4·()n-1
(C)4·()n (D)4·()n-1
解析:因为数列{an}为等比数列,
所以(a+1)2=(a-1)(a+4),
所以a=5,即数列的前三项为4,6,9,公比为.
所以an=a1qn-1=4·()n-1.
故选B.
5.已知数列{an}满足1+log3an=log3an+1(n∈N*)且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是( D )
(A) (B)- (C)5 (D)-5
解析:由1+log3an=log3an+1(n∈N*),得an+1=3an,
即{an}是公比为3的等比数列.
设等比数列{an}的公比为q,
又a2+a4+a6=9,
则lo(a5+a7+a9)=lo[q3(a2+a4+a6)]
=lo(33×9)=-5.
故选D.
6.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于( B )
(A)21 (B)42 (C)63 (D)84
解析:设{an}的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(负值舍去),所以a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=21×2=42.故选B.
7.如果数列a1,,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,那么a5等于( A )
(A)32 (B)64
(C)-32 (D)-64
解析:由已知得=(-)n-1,
则=-,
=(-)2,
=(-)3,
=(-)4,
以上四式相乘得a5=(-)1+2+3+4,
解得a5=32.故选A.
8.已知下列命题:
①b2=ac,则a,b,c成等比数列;
②若{an}为等差数列,且常数c>0,则数列{}为等比数列;
③若{an}为等比数列,且常数c>0,则数列{}为等比数列;
④常数列既为等差数列,又是等比数列.
其中真命题的个数为( A )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:对于①,若b2=ac,且a,b,c均不为0,则a,b,c成等比数列,故①不正确;对于②,{an}为等差数列,设公差为d,==cd,常数c>0,则数列{}为等比数列,故②正确;对于③,{an}为等比数列,设公比为q,=不是常数,则数列{}不是等比数列;故③不正确;对于④,像常数列0,0,0,…,0,0,0,不是等比数列,故④不正确.故选A.
9.在数列{an}中,a1=2,且对任意正整数n,3an+1-an=0,则an= .?
解析:因为3an+1-an=0,
所以=,因此{an}是以为公比的等比数列,
又a1=2,所以an=2×()n-1.
答案:2×()n-1
10.在等差数列{an}中,a1,a3,a4成等比数列,则该等比数列的公比为 .?
解析:设等差数列{an}公差为d,因为a1,a3,a4成等比数列,
所以=a1a4,即(a1+2d)2=a1(a1+3d),
解得d=0或a1=-4d.
若d=0,则等比数列的公比q=1.
若a1=-4d,则等比数列的公比q===.
答案:或1
11.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值为 .?
解析:因为a1+a2=1+4=5,b2=2,所以=.
答案:
12.在3和243中间插入3个实数a1,a2,a3,使这5个数成等比数列,则a2= .?
解析:=3×243=272,又a2与3,243同号,所以a2=27.
答案:27
13.在等比数列中,
(1)若a2=18,a4=8,求a1与q;
(2)若a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
解:(1)由得
解得或
(2)由
得
即
解得或
所以a3=a1q2=±4.
14.数列{an}满足a1=1,前n项和为Sn,Sn+1=4an+2,求a2 017.
解:由Sn+1=4an+2,得Sn+2=4an+1+2,两式相减得an+2=4an+1-4an,
令bn=an+1-2an,则bn+1=2bn,所以数列{bn}是公比为2的等比数列.
又a1=1,所以S2=4a1+2=6,所以a2=5,所以b1=a2-2a1=3.
所以bn=3×2n-1,即an+1-2an=3×2n-1,两边同除以2n+1,令cn=,得cn+1-cn=,
所以数列{cn}是公差为的等差数列.
又c1==,所以cn=+(n-1)=,所以an=(3n-1)2n-2,
故a2 017=3 025×22 016.
15.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}唯一,求a的值.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q,
则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,
由b1,b2,b3成等比数列,
得(2+q)2=2(3+q2),
即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-,
所以{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.
(2)设{an}的公比为q,
则由=b1b3得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),
得aq2-4aq+3a-1=0,(*)
由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根,
由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,将q=0代入方程(*)得a=.
16.已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( C )
(A)n(2n-1) (B)(n+1)2
(C)n2 (D)(n-1)2
解析:由等比数列的性质可知=a5·a2n-5=22n,an>0,所以an=2n,故数列的首项a1=2,公比q=2,故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2a1a3…a2n-1=log2(a1)nq0+2+4+…+2n-2=log2(2n·)=log2=log2=n2.故选C.
17.在等比数列{an}中,各项均为正值,且a2a14+a2a6=48,a3a9=6,则a4+a8= .?
解析:因为a2a14+a2a6=48,a3a9=6,所以由等比数列的性质有+=48,
a8a4=6,所以=++2a4a8=48+2×6=60,因为等比数列{an}中各项均为正值,所以a4+a8=2.
答案:2
18.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2,a2=1,则a1= .?
解析:由题意得,根据等比数列的性质可知a3·a9==2,所以=q2=2?q=±,又因为等比数列的公比为正数,所以q=,又a2=a1q=1,所以a1=.
答案:
19.(1)已知数列{cn}中,cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常 数p;
(2)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,
证明:数列{cn}不是等比数列.
(1)解:因为{cn+1-pcn}是等比数列,所以(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1)对一切n≥2,n∈N*均成立.
将cn=2n+3n代入上式,得[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0,解得p=2或p=3.
(2)证明:设{an},{bn}的公比分别为p,q,且p≠q.要证{cn}不是等比数列,只需证≠c1c3.
因为=(a2+b2)2=(a1p+b1q)2=p2+q2+2a1b1pq,c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=p2+q2+a1b1(p2+q2),所以-c1c3=2a1b1pq-a1b1(p2+q2)=-a1b1(p-q)2.
由于p≠q,所以p-q≠0,又a1≠0,b1≠0,因此≠c1c3.
故{cn}不是等比数列.
课件29张PPT。2.4 等比数列
第一课时 等比数列的概念与通项公式课标要求:1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念,深化认识并能运用.2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题.3.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.自主学习知识探究1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 等于同一常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的 ,公比通常用字母q表示(q≠0).
等比数列的定义还可以用符号语言表述为:比公比3.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则这个等比数列的通项公式是an=
(n∈N*,q≠0).a1qn-1自我检测DCC解析:a4=a1q3=a1(-3)3=27,故a1=-1,
a7=a1q6=-1×(-3)6=-729.
答案:-7294.在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a7= .?5.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是
.?解析:设等比数列{an}的公比为q,q>0,则a8=a6+2a4即为a4q4=a4q2+2a4,解得q2=2(负值舍去),又a2=1,所以a6=a2q4=4.
答案:4题型一 等比数列的通项公式及其应用课堂探究【例1】 在等比数列{an}中,
(1)若a4=2,a7=8,求an;(2)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.方法技巧 等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1中含有四个量:首项a1,公比q,项数n和第n项an,只要知道其中的三个,就可以求出另一个.即时训练1-1:在等比数列{an}中,
(1)已知a3=9,a6=243,求a9;题型二 等比数列的判断与证明(2)Sn+1=4an.方法技巧 判定数列是等比数列的常用方法变式探究:本例中,将条件改为已知Sn=3an+1,如何证明{an}是等比数列,并求出通项公式?即时训练2-1: (1)已知a1=1,an+1=2Sn+1,试判断数列{an}是否为等比数列?并证明.解:(1)数列{an}是等比数列.
证明:因为an+1=2Sn+1,
所以an=2Sn-1+1(n≥2).
两式相减,得an+1-an=2an,
即an+1=3an(n≥2),
又a2=2S1+1=3,a1=1,
所以a2=3a1.
所以{an}是首项为1,公比为3的等比数列.(2)已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),判断数列{an}是不是等比数列,并说明理由.题型三 等比中项的应用【例3】 (1)已知等比数列{an}满足a2=4,a6=64,则a4等于( )
(A)-16 (B)16 (C)±16 (D)32解析:(1)由等比中项得=a2a6=4×64=256,又a4=a2q2>0,则a4=16,故选B.方法技巧 熟练掌握等差或等比数列的性质,尤其是等差中项、等比中项,要牢记等比中项有2个.(2)等差数列{an}的公差d≠0,且a3=0,若ak是a6与ak+6的等比中项,则k等于( )
(A)5 (B)6 (C)9 (D)11点击进入 课时作业谢谢观赏！
