第二课时 数列求和习题课
1.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,则{an}的前n项和Sn等于( B )
(A)n2 (B)n2+2n (C)2n2+n (D)n+2
解析:a1=2×1+1=3,Sn===n2+2n.故选B.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,并满足:an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则S7等于( C )
(A)7 (B)12 (C)14 (D)21
解析:由an+2=2an+1-an知数列{an}为等差数列,
由a5=4-a3得a5+a3=4=a1+a7,
所以S7==14.故选C.
3.已知数列{an}的通项公式是an=2n-3（）n,则其前20项和为( C )
(A)380-(1-) (B)400-(1-)
(C)420-(1-) (D)440-(1-)
解析:令数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20=2(1+2+…+20)-3(++…+)=2×-3×=420-(1-).故选C.
4.已知数列an=(n∈N*),则数列{an}的前10项和为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:an===（-),
所以S10=(-+-+…+-)=.故选C.
5.数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),且a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,则S21等于( B )
(A) (B)6 (C)10 (D)11
解析:依题意得an+an+1=an+1+an+2=,则an+2=an,即数列{an}中的奇数项,偶数项分别相等,则a21=a1=1,S21=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)+a21=10(a1+a2)+a21=10×+1=6,故选B.
6.数列{n·2n}的前n项和等于( B )
(A)n·2n-2n+2 (B)n·2n+1-2n+1+2
(C)n·2n+1-2n (D)n·2n+1-2n+1
解析:设{n·2n}的前n项和为Sn,
则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n, ①
所以2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②
①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1
=-n·2n+1,
所以Sn=n·2n+1-2n+1+2,故选B.
7.已知数列{an}的通项an=2ncos(nπ),则a1+a2+…+a99+a100等于( D )
(A)0 (B)
(C)2-2101 (D)·(2100-1)
解析:因为an=2ncos(nπ),
n为奇数时,cos(nπ)=-1,an=-2n,
n为偶数时,cos(nπ)=1,an=2n,
综上,数列{an}的通项公式an=(-2)n.
所以数列{an}是以-2为首项,-2为公比的等比数列.
所以a1+a2+…+a99+a100==(2100-1).故选D.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,把{Sn}的前n项和称为“和谐和”,用Hn来表示,对于an=3n,其“和谐和”Hn等于( A )
(A) (B)
(C) (D)
解析:由an=3n,可得Sn==(3n-1),
则Hn=(3+9+…+3n-n)=·[-n]
=.
故选A.
9.若等比数列{an}满足a1+a4=10,a2+a5=20,则{an}的前n项和Sn = .?
解析:由题意a2+a5=q(a1+a4),
得20=q×10,故q=2,
代入a1+a4=a1+a1q3=10,
得9a1=10,
即a1=.
故Sn==(2n-1).
答案:(2n-1)
10.已知数列{an}满足an+1=an+2(n∈N*)且a1=2,数列{bn}满足bn=,则数列{bn}的前10项和为 .?
解析:由an+1-an=2得{an}是首项为2,
公差为2的等差数列,
所以an=2n,
所以bn=,
数列{bn}的前10项和
S10=++…+
=×(-+-+…+-)
=×(-)=.
答案:
11.1+11+111+…+= .?
解析:因为=1+10+102+…+10n-1=(10n-1),
所以Sn=(101-1+102-1+103-1+…+10n-1)
=[(101+102+…+10n)-n]
=[-n]
=.
答案:
12.设数列{an}的通项为an=2n-7(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15| = .?
解析:因为an=2n-7,
所以a1=-5,a2=-3,a3=-1,a4=1,a5=3,…,a15=23,
所以|a1|+|a2|+…+|a15|=(5+3+1)+(1+3+5+…+23)=9+=153.
答案:153
13.已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
由b2=3,b3=9,得q==3,bn=b2qn-2=3·3n-2=3n-1,
即有a1=b1=1,a14=b4=27,
则d==2,
故an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由(1)知,cn=an+bn=2n-1+3n-1,
所以Tn=[1+3+…+(2n-1)]+(1+3+9+…+3n-1)=n·2n+=n2+.
14.已知数列{an}的首项a1=2,且an=2an-1-1(n∈N+,n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{n·an-n}的前n项和Sn.
解:(1)由an=2an-1-1得an-1=2(an-1-1),
故{an-1}构成首项为a1-1=1,公比q=2的等比数列,
所以an-1=2n-1,即an=2n-1+1.
(2)因为nan-n=n·2n-1+n-n=n·2n-1,
所以Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1, ①
2Sn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n,②
①-②得,-Sn=1+2+22+…+2n-1-n·2n
=-n·2n
=2n-1-n·2n.
得,Sn=n·2n+1-2n=(n-1)2n+1.
15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S5=25.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)设数列的前n项和为Tn,是否存在k∈N*,使得等式2-2Tk=成立,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
解:(1)设数列{an}的公差为d,由题意得
所以
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)不存在.理由如下:
由(1)得=
=(-),
所以数列 的前n项和
Tn=(1-+-+-+…+-)
=(1-)=.
因为2-2Tk=2-=1+,
而数列在k∈N*单调递减,
所以1<2-2Tk=1+≤,
又∈(0,],
所以不存在k∈N*,使得等式2-2Tk=成立.
16.数列{an}满足a1=1,且对任意的m,n∈N*都有am+n=am+an+mn,则++…+等于( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:令m=1,则an+1-an=n+1,
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=,所以=2(-),
++…+=2[(1-)+(-)+…+(-)]=.故选A.
17.数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(-1)nan(n∈N*),则{bn}的前50项的和为( A )
(A)49 (B)50 (C)99 (D)100
解析:因为数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,
所以a1=S1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,
故an=
所以bn=(-1)nan=
所以数列{bn}的前50项和为(-3+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-98+100)=1+24×2=49.故选A.
18.正项数列{an}满足:-(2n-1)an-2n=0,令bn=,则{bn}的前n项和Tn为 .?
解析:由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.
由于{an}是正项数列,
所以an=2n,bn==(-).
Tn=(1-+-+…+-+-)
=(1-)
=.
答案:
19.在数列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=1,记Sn是数列{an}的前n项和,则S60= .?
解析:由条件可知,a3-a1=1,a5-a3=1,…,
且a4+a2=1,a6+a4=1,a8+a6=1,…,
所以数列{an}的奇数项为等差数列,
即{}是等差数列,且=n,
偶数项每两项的和为1.
所以S60=(a1+a3+a5+…+a59)+(a2+a4+a6+…+a60)=+=480.
答案:480
20.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足:2-(3n2+3n-2)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)由2-(3n2+3n-2)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*可得
2-(3·12+3·1-2)S1-3(12+1)=0,又S1=a1,
所以a1=3.
(2)由2-(3n2+3n-2)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*可得
(Sn+1)·[2Sn-3(n2+n)]=0,n∈N*,
又an>0,所以Sn>0,
所以Sn=(n2+n),
所以当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=[n2+n-(n-1)2-(n-1)]=3n,
由(1)可知,此式对n=1也成立,
所以an=3n.
(3)由(2)可得bn===,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=+++…++,
所以Tn=+++…++,
所以Tn-Tn=++++…+-,
所以Tn=++++…+-=-=(1-)-=-,
所以Tn=-.
课件28张PPT。第二课时 数列求和习题课课标要求:1.通过具体实例,理解并掌握数列的分组求和法.2.通过具体实例,理解并掌握数列的裂项求和法.3.通过具体实例,理解并掌握数列求和的错位相减法.自主学习知识探究1.等差数列的前n项和公式2.等比数列的前n项和公式3.数列求和的常用方法
(1)公式法:等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和.
(2)分组转化法:把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差(比)数列,再求解.
(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.
常见的裂项公式(4)倒序相加法:把数列分别正写和倒写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.
(5)错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,
即等比数列求和公式的推导过程的推广.
(6)并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项 求和.
形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.4.一些常见数列的前n项和公式(2)1+3+5+7+…+2n-1=n2.
(3)2+4+6+8+…+2n=n(n+1).自我检测B B 2.已知数列{an}的通项公式为an=2n+n,前n项和为Sn,则S6等于( )
(A)282 (B)147
(C)45 (D)70B (A)9 (B)99
(C)10 (D)1004.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+ (n≥2),则数列{an}的前9项和等于
.?答案:27题型一 分组求和课堂探究【例1】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=n2-n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)n=1,2S1=2a1?a1=0,n≥2,
2an=2Sn-2Sn-1=n2-n-[(n-1)2-(n-1)]=2n-2,
?an=n-1,当n=1时,a1=1-1=0,
所以an=n-1.方法技巧 分组转化法求和的常见类型:(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.(2)通项公式为an=
的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.注意某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,注意在含有字母的数列中对字母的讨论.即时训练1-1:已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3an+1,求数列{an+bn}的前n项和Tn.题型二 裂项求和解:(1)n=1时,a1=S1=2,Sn=2n+1-2,
所以Sn-1=2n-2(n≥2),
所以an=Sn-Sn-1=2n(n≥2),
所以数列{an}的通项公式为an=2n.(2)求数列{bn}的前n项和Tn.方法技巧 裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.题型三 错位相减法求和 【例3】 已知数列{an}中,a1=2, = +3.
(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和.方法技巧 错位相减法求和:要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.即时训练3-1:已知数列{an}的前n项和Sn= (an-1),n∈N+.
(1)证明:数列{an}为等比数列,并求{an}的通项公式;(2)设bn=log3an,求数列{anbn}的前n项和.点击进入 课时作业点击进入 周练卷(四)谢谢观赏！
