2.5 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
1.等比数列{an}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )
(A)179 (B)211 (C)248 (D)275
解析:由16=81×q4,q>0得q=,
所以S5==211.
故选B.
2.在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )
(A) (B)- (C)± (D)±3
解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,
故a4>0,a8>0,
因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.
3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )
(A) (B)- (C) (D)-
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,
即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,
所以a1=.故选C.
4.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )
(A)2 (B) (C)4 (D)
解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,
所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,
即a4=4a3,
所以q==4,故选C.
5.等比数列{an}的前n项和Sn=3n-a,则实数a的值为( B )
(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在
解析:法一 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.
又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.
因为{an}是等比数列,
所以=3,得a=1.故选B.
法二 由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.
6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得
解之,得
则数列的项数为5.故选B.
7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )
(A)24里 (B)12里
(C)6里 (D)3里
解析:记每天走的路程里数为{an},易知{an}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,
故选C.
8.设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an= .?
解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,
可得a3=3a2,所以公比q=3,
故等比数列通项an=a1qn-1=3n-1.
答案:3n-1
9.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .?
解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{bn}构成等比数列,
其首项b1=1,公比为q==-2,
则{bn}的前5项和即为{an}的前15项和
S15==11.
答案:11
10.在等比数列{an}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .?
解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,
即=2100.
又an>0,所以a1=210,
所以S10=211-2.
答案:211-2
11.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是 .?
解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,
所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),
即(21-S10)2=S10(49-21).
所以S10=7或S10=63.
答案:7或63
12.已知数列{an} 的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,求Sn的值.
解:因为Sn=2an+1,
所以n≥2时,Sn-1=2an.
因为an=Sn-Sn-1=2an+1-2an,
所以3an=2an+1,所以=.
又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,
所以{an}从第二项起是以为公比的等比数列.
所以Sn=a1+a2+a3+…+an
=1+
=()n-1.
13.知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意得d===3,
所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).
设等比数列{bn-an}的公比为q,
由题意得q3===8,解得q=2.
所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.
从而bn=3n+2n-1(n=1,2,…).
(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,…).
数列{3n}的前n项和为n(n+1),
数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.
所以数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n-1.
14.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)求证是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)求证++…+<.
证明:(1)由an+1=3an+1得an+1+=3(an+).
又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.
所以an+=,因此{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,
所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.
15.数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则+++…+等于( B )
(A)(3n-1)2 (B)(9n-1)
(C)9n-1 (D)(3n-1)
解析:因为a1+a2+…+an=3n-1,n∈N*,
n≥2时,a1+a2+…+an-1=3n-1-1,
所以当n≥2时,an=3n-3n-1=2·3n-1,
又n=1时,a1=2适合上式,所以an=2·3n-1,
故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.
因此++…+==(9n-1).故选B.
16.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{an}的公比为( B )
(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3
解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,
故q≠1.因为==qm+1=9,
所以qm=8.
所以==qm=8=,所以m=3,
所以q3=8,所以q=2.故选B.
17.设各项都是正数的等比数列{an},Sn为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .?
解析:依题意,知数列{an}的公比q≠-1,
数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,
因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),
即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;
又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,
故S40-S30=80,S40=150.
答案:150
18.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{bn}的第2项,第3项,第4项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对于任意n∈N*均有+++…+=an+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值.
解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,
b3=a5=a1+4d,
b4=a14=a1+13d,
由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),
解得d=2或d=0(舍去),
因此an=1+2(n-1)=2n-1,
b2=3,b3=9,b4=27,
故数列{bn}是首项为1,公比为3的等比数列.
因此bn=3n-1.
(2)因为+++…+=an+1,
所以当n≥2时,+++…+=an,
两式作差得=an+1-an=d,
又d=2,故cn=2×3n-1,又=a2,
所以c1=3,因此数列cn=
因此c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016=3+=32 016.
课件28张PPT。2.5 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和课标要求:1.掌握等比数列的前n项和公式,了解推导等比数列前n项和公式的过程与方法.2.能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算.3.掌握等比数列的前n项和的性质及其应用.自主学习知识探究等比数列前n项和公式分q=1与q≠1两种情况,因此当公比未知时,要对公比进行分类讨论.自我检测1.等比数列{an}中,a1=2,a2=1,则S100等于( )
(A)4-2100 (B)4+2100
(C)4-2-98 (D)4-2-100CC解析:根据题意知,等比数列{an}的公比不是-1.由等比数列的性质,得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.故选C.3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6等于( )
(A)31 (B)32
(C)63 (D)64C答案:16答案:-11题型一 等比数列的前n项和的基本运算课堂探究【例1】 在等比数列{an}中,
(1)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;方法技巧 (1)解答关于等比数列的基本运算问题,通常是利用a1,an,q,
n,Sn这五个基本量的关系列方程组求解,而在条件与结论间联系不很明显时,均可用a1与q列方程组求解.
(2)运用等比数列的前n项和公式要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程组时,通常用两式相除约分的方法进行消元.即时训练1-1:已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于 .?答案:2n-1题型二 等比数列前n项和的性质答案:(1)B(2)已知等比数列{an}的首项a1=1,且a2,a4,a3成等差数列,则数列{an}的公比q= ,数列{an}的前4项和S4= .?答案:(1)A(2)若Sn为等比数列{an}的前n项和,且2S4=a5-2,2S3=a4-2,则数列{an}的公比q= .?答案:(2)3题型三 等比数列的综合应用【例3】 已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.
(1)求数列{an}的通项公式;方法技巧 处理探索性问题的一般方法是:假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立,然后在这个前提下进行逻辑推理.若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定结论,其中反证法在解题中起着重要的作用.还可以根据已知条件建立恒等式,利用等式恒成立的条件求解.即时训练3-1:在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an;解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.
所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+…+|an|.点击进入 课时作业谢谢观赏！
