第二课时 数列的性质和递推公式
1.已知数列{an}满足a1=,an=2an-1+1(n>1),那么a4等于( B )
(A)5 (B)11 (C)23 (D)8
解析:由已知可得a2=2a1+1=2,a3=2a2+1=5,a4=2a3+1=11,故选B.
2.已知数列{an}满足a1>0且an+1=an,则数列{an}是( B )
(A)递增数列 (B)递减数列 (C)常数列 (D)摆动数列
解析:因为a1>0,an+1=an,所以an>0.
又因为an+1-an=an-an=-an<0,所以an+1
故数列{an}是递减数列.故选B.
3.数列{an}的通项公式为an=-2n2+21n,则该数列中最大的项为( B )
(A)第4项 (B)第5项 (C)第6项 (D)第7项
解析:因为f(n)=-2n2+21n=-2(n-)2+(n∈N*),所以n=5时,an最大.
a5=55,所以最大项为第5项.故选B.
4.已知数列{an},an=-2n2+λn,若该数列是递减数列,则实数λ的取值范围是( A )
(A)(-∞,6) (B)(-∞,4]
(C)(-∞,5) (D)(-∞,3]
解析:数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数,若数列是递减数列,则-<,即λ<6.故选A.
5.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10等于( C )
(A)-165 (B)-33 (C)-30 (D)-21
解析:a10=a8+a2,a8=2a4,a4=2a2,故a10=4a2+a2=5a2=-30.故选C.
6.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是( D )
(A)2n-1 (B)()n-1 (C)n2 (D)n
解析:因为an=n(an+1-an),所以=,
所以an=×××…×××a1
=×××…×××1=n.故选D.
7.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+n(n≥2,n∈N*),则a5等于( C )
(A)6 (B)10 (C)15 (D)21
解析:an-an-1=n,a5=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)=1+2+3+4+5=15,选C.
8.已知数列{an}满足:an+1=an-an-1(n≥2),Sn为数列{an}的前n项和,则S2 018等于( C )
(A)217a2-a1 (B)217a1-a2
(C)a1+a2 (D)a2-a1
解析:因为an+1=an-an-1(n≥2),
所以a3=a2-a1,a4=-a1,a5=-a2,a6=a1-a2,a7=a1,a8=a2,
所以数列{an}的周期为6,S2 018=S336×6+2=S2=a1+a2.
故选C.
9.数列{an}中,a1=1,an=+1,则a4= .?
解析:由a1=1,an=+1得,a2=1+1=2,a3=+1=,a4=+1=.
答案:
10.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2 018= .?
解析:因为a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),所以a3=a2-a1=5-1=4,同理得a4=-1,a5=-5,a6=-4,a7=1,a8=5,…,所以an+6=an.则a2 018=a6×336+2=a2=5.
答案:5
11.设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-,记数列{an}的前n项积为Tn,则T2 018的值为 .?
解析:由a1=2,an+1=1-,得
a2=1-=,a3=1-=-1,a4=1-=2,…,
可知数列{an}是以3为周期的周期数列.
又因为a1a2a3=2××(-1)=-1,且2 018=672×3+2,
所以T2 018=(-1)672×1=1.
答案:1
12.若数列[n(n+4)()n]中的最大项是第k项,则k= .?
解析:设数列的通项为an,
则an+1-an
=(n+1)(n+5)()n+1-n(n+4)()n=()n[(n2+6n+5)-n2-4n]
=(10-n2).
所以当n≤3时,an+1>an;
当n≥4时,an+1因此,a1a5>a6>…,
故a4最大,
所以k=4.
答案:4
13.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;
(2)对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
解:(1)由n2-5n+4<0,解得1(2)由an+1>an知该数列是一个递增数列,因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,k>-3.
14.数列{an}中,an=(a2-1)(n3-2n)(a≠±1)且数列{an}为递增数列.试确定实数a的取值范围.
解:因为数列{an}是递增数列,所以an+1>an.
所以an+1-an=(a2-1)(3n2+3n-1)>0.
因为n∈N*,所以3n2+3n-1=3(n+)2-≥5>0,
所以a2-1>0,所以a>1或a<-1.
故a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
15.已知数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2an,求其通项an.
解:因为a1+a2+…+an=n2an,①
所以a1+a2+…+an-1=(n-1)2an-1(n≥2).②
①-②得an=n2an-(n-1)2an-1,
即=(n≥2).
故···…·=××××…××,即=.又a1=,
所以an=(n∈N+).
16.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列第20项为( B )
(A)180 (B)200 (C)128 (D)162
解析:由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,可得偶数项的通项公式a2n=2n2.则此数列第20项为2×102=200.故选B.
17.已知数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=,则b2 017等于( A )
(A) (B)
(C) (D)
解析:因为数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=,所以b1=1-=,b2
==,a2=1-=,b3==,a3=1-=,
b4==,a4=1-=,由此猜想bn=,所以b2 017=,故选A.
18.数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1= .?
解析:因为an+1=,所以an=1-,又a8=2,所以a7=1-=,a6=1-=-1,a5=1-=2,故数列{an}的周期为3,所以a1=a7=.
答案:
19.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1·an=0(n∈N*),则它的通项公式为 .?
解析:对原关系式进行等价变形得(n+1)-n+an+1·an=0(n∈N*)?[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0,
因为{an}是正项数列,
所以(n+1)an+1-nan=0,
从而(n+1)an+1=nan,即nan=(n-1)an-1=…=2a2=a1=1,即an=.
答案:an=
20.已知数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).
(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围.
解:(1)因为an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0),
a=-7,所以an=1+(n∈N*).结合函数f(x)=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).
所以数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.
(2)an=1+=1+,已知对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,
可知5<<6,解得-10课件30张PPT。第二课时 数列的性质和递推公式课标要求:1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一种方法.2.能根据数列的递推公式写出数列.3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大(小)项.4.了解数列的周期性,能解决相关的简单问题.自主学习知识探究1.递推公式的定义
如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
拓展:类似bn=an·an+1的式子不是递推公式,它只是说明数列{bn}中的各项是由数列{an}中的项an与an+1的积构成的.2.理解数列的递推公式的注意点
(1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.
(2)用递推公式给出一个数列,必须给出;
①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项);
②递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.拓展:数列表示方法的优缺点3.由递推公式求通项公式的方法
给出递推公式求通项公式,常用方法有:
(1)从特例入手,归纳、猜想数列的通项公式,一般是依次写出前几项,观察项与项的序号的关系,从中寻找规律;
(2)从一般入手,抓住递推公式,充分运用迭代、累加、累乘等常用方法推导通项公式.
4.数列单调性的判断
(1)利用数列单调性的定义:
①作差法:即作差an+1-an后与0比较.
若an+1-an>0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是递增数列;
若an+1-an<0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是递减数列;
若an+1-an=0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是常数列.(2)利用数列的图象直观地判断.5.周期数列的概念
对于摆动数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,…,我们观察后可以发现,数列的项-1,1重复出现,用公式表示为an=an+2.若记f(n)=an,则可以表示为f(n)= f(n+2),即数列中的项循环出现,我们称此类数列为周期数列.
周期数列的递推公式的一般形式为an+k=an(n∈N*,k∈N*,k≥2),如数列1,2,
3,1,2,3,1,2,3,…是周期为3的周期数列,满足an+3=an(n∈N*).
6.判断周期数列的方法
要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列,主要方法是通过递推公式求出数列的若干项,观察得到规律或由递推公式直接发现规律.自我检测1.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是( )
(A)递增数列
(B)递减数列
(C)常数列
(D)不能确定A解析:an+1-an=3>0,所以an+1>an.故选A.C 答案:24.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3,则{an}中的最大项是第 项.?答案:7题型一 利用数列的函数性质判断数列的单调性课堂探究【例1】 已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断数列{an}的增减性.方法技巧 根据函数单调性的定义,采用作差法或作商法比较an与an+1的大小关系,从而判断数列{an}的单调性,若an+1>an恒成立,则{an}是递增数列;若an+10,即an+1>an(n∈N*),故数列{an}是递增数列.即时训练1-1:已知数列{an},其通项公式为an=3n2-n(n∈N*),判断数列{an}的单调性.题型二 求数列的最大(小)项【例2】 已知数列{an}的通项公式an=n2-7n-8.
(1)数列中有多少项为负数?解:(1)令an<0,即n2-7n-8<0,得-1又n∈N*,所以n=1,2,3,…,7,
数列从第1项至第7项均为负数,共7项.(2)数列{an}是否有最小项?若有,求出其最小项.解:(2)法一 an=n2-7n-8是关于n的二次函数,
当1≤n≤3时,{an}单调递减;
当n≥4时,{an}单调递增,
所以当n=3或4时,an最小,
且最小项a3=a4=-20.方法技巧 本题考查数列的单调性.(1)令an<0,求出n的范围,找出范围内的正整数.(2)由an是关于n的二次函数,可结合二次函数的知识,探求数列的最
小项;也可利用 解不等式组,寻求数列的最小项.
应用函数的有关知识解决数列问题时,要注意n的取值是正整数.题型三 由数列的递推公式求其通项公式方法技巧 数列的递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项.即时训练3-1:(1)已知数列{an},a1=2,an=2an-1(n≥2),求数列的通项公式an;点击进入 课时作业谢谢观赏！