2.1 数列的概念与简单表示法
第一课时 数列的概念与通项公式
1.下列说法中正确的是( C )
(A)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
(B)数列1,0,-1,-2与-2,-1,0,1是相同的数列
(C)数列{}的第k项为1+
(D)数列0,2,4,6,…可记为{2n}
解析:{1,3,5,7}是一个集合,故选项A错;
数虽相同,但顺序不同,不是相同的数列,故选项B错;
数列0,2,4,6,…可记为{2n-2},故选项D错,故选C.
2.数列1,-3,5,-7,9,…的通项公式为an等于( B )
(A)2n-1 (B)(-1)n(1-2n)
(C)(-1)n(2n-1) (D)(-1)n(2n+1)
解析:用验证法知选项B正确.
3.已知数列,,,,,…则5是它的( C )
(A)第19项 (B)第20项
(C)第21项 (D)第22项
解析:依题意,该数列的通项公式为an=.令an=5,得n=21,故
选C.
4.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于( C )
(A)11 (B)12 (C)13 (D)14
解析:因为数列为1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,设数列为{an},所以an=an-1+an-2(n≥3),所以x=a7=a5+a6=5+8=13.故选C.
5.已知数列{an}为1,0,1,0,…,则下列各式可作为数列{an}的通项公式的有( D )
(1)an=[1+(-1)n+1];(2)an=sin2;(3)an=[1+(-1)n+1]+(n-1)(n-2);(4)an=;
(5)an=
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:对于(3),将n=3代入,则a3=3≠1,易知(3)不是通项公式.根据三角中的半角公式可知(2)和(4)实质是一样的,都可作为数列{an}的一个通项公式.数列1,0,1,0,…的通项公式可猜想为an=+×(-1)n+1,即为(1)的形式.(5)是分段表示的,也为数列的一个通项公式.故选D.
6.下列说法中不正确的是( B )
(A)数列a,a,a,…是无穷数列
(B)数列{f(n)}就是定义在正整数集N*上或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数值
(C)数列0,-1,-2,-3,…不一定是递减数列
(D)已知数列{an},则{an+1-an}也是一个数列
解析:A,D显然正确;对于B,因为数列{f(n)}是定义在正整数集N*上或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数an=f(n),当自变量从小到大依次取值时,对应的一列函数值,所以B项不正确;对于C,数列只给出前四项,后面的项不确定,所以不一定是递减数列.故选B.
7.如图所示的是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两点之间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图有化学键( D )
(A)6n个 (B)(4n+2)个
(C)(5n-1)个 (D)(5n+1)个
解析:由题中图形知,各图中“短线”个数依次为6,6+5,6+5+5,…,若把6看作1+5,则上述数列为1+5,1+2×5,1+3×5,…,于是第n个图形有(5n+1)个化学键.故选D.
8.(2017·银川一中单元检测)数列{an}中,an=3n-1,则a2= .?
解析:a2=32-1=3.
答案:3
9.在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的第 项.?
解析:令=0.08,解得n=10(n=舍去),即为第10项.
答案:10
10.若数列{an}的通项公式是an=3-2n,则a2n= ,= .?
解析:根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项.
因为an=3-2n,
所以a2n=3-22n=3-4n,==.
答案:3-4n
11.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖 块.?
解析:第1个图案有白色地面砖6块,
第2个图案有10块,第3个图案有14块,……
可以看出每个图案较前一个图案多4块白色地面砖.
所以第n个图案有6+4(n-1)=(4n+2)块.
答案:(4n+2)
12.根据给出的下列各数,写出符合条件的一个通项公式.
(1)-2,6,-12,20;(2)3,8,15,24;(3)1,,,.
解:(1)可先将正负号去掉,然后用(-1)n或(-1)n+1调节.
2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,
所以通项公式为an=(-1)nn(n+1).
(2)3=22-1,8=32-1,15=42-1,24=52-1,
所以通项公式为an=(n+1)2-1,即an=n2+2n.
(3),,,,分母可写成2n-1,而分子可写成2n-1,
所以通项公式为an=.
13.已知数列的通项公式为an=2n2-n,n∈N*.
(1)求这个数列的第4项,第10项;
(2)试问:45是否是{an}中的项?
解:(1)因为an=2n2-n,所以当n=4时,a4=2×42-4=28;
当n=10时,a10=2×102-10=190.
(2)an=2n2-n,令an=45,则有2n2-n-45=0,解得n=5或n=-(舍去),所以45是该数列的第5项.
14.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q(p,q∈R),且a1=-,a2=-.
(1)求{an}的通项公式;
(2)-是{an}中的第几项?
(3)该数列是递增数列还是递减数列?
解:(1)因为an=pn+q,又a1=-,a2=-,
所以解得
因此{an}的通项公式是an=()n-1.
(2)令an=-,
即()n-1=-,
所以()n=,n=8.
故-是{an}中的第8项.
(3)由于an=()n-1,且()n随n的增大而减小,
因此an的值随n的增大而减小,故{an}是递减数列.
15.一个无穷数列的前三项是1,2,3,下列不可以作为其通项公式的是( C )
(A)an=n
(B)an=n3-6n2+12n-6
(C)an=n2-n+1
(D)an=
解析:根据题意,依次分析选项;对于A,若an=n,则有a1=1,a2=2,a3=3,符合题意;对于B,若an=n3-6n2+12n-6,则有a1=1,a2=2,a3=3,符合题意;对于C,an=n2-n+1,当n=3时,a3=4≠3,不符合题意;对于D,an=,则有a1=1,a2=2,a3=3,符合题意.故选C.
16.有下列数组排成一排:
(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),…
如果把上述数组中的括号都去掉,会形成一个数列:,,,,,,,,,,,,,,,…,则此数列中的第2 016项是( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:前63个括号中共有1+2+3+…+63=2 016个数,所以第2 016项应是第63个括号中的倒数第1个数,故分子应是1,分母应是63.故 选D.
17.如图1是第七届国际数学教育大全的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an= .?
解析:因为OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…,所以a1=1,a2=,a3=
,…,an=.
答案:
18.已知数列{an}满足an+1=若a3=1,则a1的所有可能取值为 .?
解析:当a2为奇数时,a3=a2-4=1,所以a2=5;当a2为偶数时,a3=a2=1,所以a2=2;当a1为奇数时,a2=a1-2=5,a1=7或a2=a1-2=2,a1=4(舍去);当a1为偶数时,a2=a1=5,a1=10或a2=a1=2,a1=4,故a1的取值为4,7,10.
答案:4,7,10
课件35张PPT。第二章 数 列
2.1 数列的概念与简单表示法
第一课时 数列的概念与通项公式课标要求:1.通过实例,了解数列的概念.2.掌握数列的两种分类,能对具体数列作出判断.3.理解数列通项公式的概念,能根据数列的前几项写出数列的通项公式.4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题.自主学习知识探究1.数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的 .
2.数列的表示
数列中的每一项都和它的 有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n位的数称为这个数列的第n项.
数列的项通常用字母加右下角标表示,其中右下角标表示项的位置序号,所以,数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},例如,数列1,2,3,4,…,n,…,可以简记为{n}.
我们还应注意到这里{an}与an是不同的:{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…;而an只表示这个数列的第n项.这里{an}是数列的简记符号,并不表示一个集合.项序号(1)数列与集合的区别 (2)数列与函数的区别与联系3.数列的分类4.通项公式的定义
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这 个公式叫做这个数列的通项公式.如数列2,4,6,8的通项公式是an=2n(1≤n
≤4,n∈N*);全体正偶数组成数列的通项公式是an=2n(n∈N*).5.对数列通项公式的理解
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,…,n}为定义域的函数表达式.
(2)正如有些函数关系不一定有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.例如,的不同近似值,精确到1,0.1,0.01,0.001,0.000 1,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,…就没有通项公式.
(3)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.例如:数列-1,1,-1,
1,…的通项公式可以写成an=(-1)n(n∈N*),也可以写成an=
(4)数列通项公式的作用
依次用1,2,3,…代替公式中的n就可以求出数列的各项;用数列的通项公式可以判断某数是否是数列中的项;借助通项公式能有利于对数列各种性质的研究.(5)掌握以下数列的通项公式自我检测1.下面三个结论:
①1,1,1,1,…是数列;
②cos 0,sin 1,tan 2不是数列;
③-3,-2,1,x,2,3,y,6是一个项数为8的数列.
其中正确的有( )
(A)0个 (B)1个
(C)2个 (D)3个B解析:①正确,是按一定次序排列的一列数,符合定义.②错误.cos 0,
sin 1,tan 2都是数,而且是按一定次序排列的,所以它是数列.③错误.因为数列必须是由一列数按一定次序排列而成,但x,y不一定为数.故 选B.C C5.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10= .?解析:法一 a1=(-1)1×(3×1-2)=-1,a2=(-1)2×(3×2-2)=4,a3=(-1)3× (3×3-2)=-7,a4=(-1)4×(3×4-2)=10,a5=(-1)5×(3×5-2)=-13,a6= (-1)6×(3×6-2)=16,a7=(-1)7×(3×7-2)=-19,a8=(-1)8×(3×8-2)=22, a9=(-1)9×(3×9-2)=-25,a10=(-1)10×(3×10-2)=28,则a1+a2+…+a10= -1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+ (-19+22)+(-25+28)=3×5=15.
法二 事实上,an+1=(-1)n+1[3(n+1)-2],则an+an+1=3(n为奇数),从而a1+a2
=a3+a4=…=a9+a10=3,则a1+a2+…+a10=5×3=15.
答案:15题型一 数列的概念与分类课堂探究解析:分析可知:(1)是有穷递增数列;(3)是无穷递减数列;
(4)是摆动数列,是无穷数列;
(5)是摆动数列,是无穷数列;
(6)是常数列,是有穷数列.
答案:(1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)方法技巧 (1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列时主要分析它的项数是有限的,还是无限的.
(2)判断一个数列的增减性主要分析每一项与其前一项的大小关系.解:(2),(4)是有穷数列,(1),(3),(5),(6)是无穷数列,(4)是递增数列(1)(2)是递减数列,(3)(5)是摆动数列,(6)是常数列.题型二 根据数列的前几项写出通项公式方法技巧 (1)根据数列的前几项写通项公式的方法
①统一项的结构,如都化成分数、根式等.
②分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式.
③对于符号交替出现的情况,可观察其绝对值,再以(-1)n或(-1)n+1(n∈N*)调节符号.
④对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等求通项.
(2)熟练掌握一些基本数列的通项公式
①数列-1,1,-1,1…的通项公式是an=(-1)n.
②数列1,2,3,4,…的通项公式是an=n.
③数列1,3,5,7,…的通项公式是an=2n-1.④数列2,4,6,8,…的通项公式是an=2n.
⑤数列1,2,4,8,…的通项公式是an=2n-1.
⑥数列1,4,9,16,…的通项公式是an=n2.(7)0,1,0,1,0,1,…;(8)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;
(9)2,-6,12,-20,30,-42,….(9)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,…,所以an=(-1)n+1n
(n+1)(n∈N*).题型三 数列通项公式的应用(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.方法技巧 (1)数列的通项公式给出的是第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项;反过来,判断一个数是不是该数列的某一项,只要看以n为未知数的方程有没有正整数解,若有就是,否则就不是.
(2)解决是否存在型问题,可先假设存在,然后代入条件或参数的值或范围,若符合题意,则存在;若不合题意,则不存在.点击进入 课时作业谢谢观赏！
