第二课时 等差数列的性质及简单应用
1.若一个等差数列{an}中,a2=3,a7=6,则其公差为( A )
(A) (B) (C)- (D)-
解析:d===,故选A.
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为( B )
(A)12 (B)8 (C)6 (D)4
解析:因为a3+a6+a10+a13=32,
所以4a8=32,所以a8=8,又d≠0,am=8,所以m=8.
3.设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于( C )
(A)0 (B)37 (C)100 (D)-37
解析:设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,则{cn}也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100,
c2=a2+b2=100,
所以{cn}的公差d=c2-c1=0.
所以c37=100.
故选C.
4.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10
=0( A )
(A)无实根 (B)有两个相等实根
(C)有两个不等实根 (D)不能确定有无实根
解析:由a2+a5+a8=9得3a5=9,a5=3,
所以a4+a6=2a5=6,
于是方程的判别式Δ=(a4+a6)2-4×10=62-4×10<0,故方程无实根,故选A.
5.已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,cos(a3+a7)的值为( D )
(A) (B)- (C) (D)-
解析:因为{an}为等差数列,所以a1+a9=a3+a7=2a5,所以a1+a5+a9=3a5= 8π,则a5=π,所以cos(a3+a7)=cos(2a5)=cosπ=-.故选D.
6.有这样一道题:把120个面包分成5份,使每份的面包数成等差数列,且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍,则最少的那份面包个数为( C )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:记这五份面包的个数依次为a1,a2,a3,a4,a5,公差为d.不妨设d>0,由
得解得a1=2.故选C.
7.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法.
p1:数列{an}是递增数列;
p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列{}是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中正确的为( D )
(A)p1,p2 (B)p3,p4 (C)p2,p3 (D)p1,p4
解析:因为an=a1+(n-1)d,d>0,
所以an-an-1=d>0,命题p1正确.
nan=na1+n(n-1)d,
所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d与0的大小和a1的取值情况有关,
故数列{nan}不一定递增,命题p2不正确.
对于p3:=+d,
所以-=,
当d-a1>0,即d>a1时,数列{}递增,
但d>a1不一定成立,则p3不正确.
对于p4:设bn=an+3nd,
则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0.
所以数列{an+3nd}是递增数列,p4正确.
综上,正确的命题为p1,p4.
8.设等差数列{an}的公差为d,若数列{2a1an}为递减数列,则( C )
(A)d<0 (B)d>0
(C)a1d<0 (D)a1d>0
解析:因为数列{2a1an}为递减数列,a1an=a1[a1+(n-1)d]=a1dn+a1(a1-d),等式右边为关于n的一次函数,所以a1d<0.故选C.
9.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7= .?
解析:在等差数列{an}中,a3+a5=2a4,
由a3+a5=10,得2a4=10,
因为a1+a7=2a4,
又a1=2,
所以a7=2a4-a1=10-2=8.
答案:8
10.设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= .?
解析:设两等差数列组成的和数列为{cn},由题意知新数列仍为等差数列且c1=7,c3=21,则c5=2c3-c1=2×21-7=35.
答案:35
11.已知数列-1,x1,x2,9和-1,y1,y2,y3,9都是等差数列,则=
.?
解析:设两个等差数列的公差分别为d1和d2,
则3d1=9-(-1)=10,d1=,
4d2=9-(-1)=10,d2=,
于是===.
答案:
12.已知数列{an}中,a1=1,an=an+1·an+an+1,则{an}的通项公式为 .?
解析:an=an+1·an+an+1,
两边同除以an·an+1并整理得,
-=1,
又=1,
所以{}是以1为首项,以1为公差的等差数列,
所以=1+n-1=n.
故an=.
答案:an=
13.在等差数列-5,-3,-2,-,…的每相邻两项之间插入一个数,使之组成一个新的等差数列.
(1)求新数列的通项公式;
(2)28是新数列中的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.
解:(1)原数列的公差d=-3-(-5)=,所以新数列的公差d′=d=,故新数列的通项公式为an=-5+(n-1)=n-.
(2)设28是新数列的第n项,则-=28,解得n=45∈N*,所以28是新数列中的第45项.
14.若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m,n∈R且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列,求m+n的值.
解:设x2-x+m=0的两根为x1,x2,
x2-x+n=0的两根为x3,x4,
则x1+x2=x3+x4=1.
不妨设数列的首项为x1,则数列的第4项为x2,
所以x1=,x2=,公差d==.
所以中间两项分别是,.
所以x1x2=,x3x4=×=.
所以m+n=+=.
15.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫这个数列的公方差.
(1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列,求an和an-1(n≥2,n∈N*)的关系式;
(2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常 数列.
(1)解:由等方差数列的定义可知,
-=p(n≥2,n∈N*).
(2)证明:因为{an}是等差数列,设公差为d,
则an-an-1=an+1-an=d.
又{an}是等方差数列,所以-=-,
(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an),
即d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0,
所以d=0,即{an}是常数列.
16.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为( C )
(A)20 (B)22 (C)24 (D)28
解析:由a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,解得a8=24,且a8+a12=2a10,则2a10-a12=a8=24,故选C.
17.给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q,若a2=pq,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0( A )
(A)无实根 (B)有两个相等实根
(C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
解析:由题意可设等差数列的公差为d,则b=p+d,c=p+2d,q=p+3d,
a2=pq=p(p+3d),d≠0 ,所以Δ=4a2-4bc=-8d2<0 ,故选A.
18.已知等差数列{an}中,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q= .?
解析:由题设可得方程组?所以ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1-(p+q-1)=0.
答案:0
19.在等差数列{an }中,a2和a16是方程x2-6x-1=0的两根,则a5+a6+a9+a12+a13= .?
解析:等差数列{an}中,因为a2,a16是方程x2-6x-1=0的两根,所以a2+a16=2a9=6,所以a9=3;由等差数列的性质得a5+a6+a9+a12+a13=5a9=15.
答案:15
20.已知数列{an}满足a1=3,anan-1=2an-1-1(n≥2).
(1)求a2,a3,a4;
(2)求证:数列是等差数列,并写出{an}的一个通项公式.
解:(1)由anan-1=2an-1-1得an=2-.
又a1=3,所以a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=.
(2)由(1)知,当n≥2时,
an-1=1-=,
所以=,那么-=-=1.
又当n=2时,==,
所以是以为首项,1为公差的等差数列.
从而=+(n-1)×1=(n≥2),
所以当n≥2时,an=;当n=1时,a1=3也满足上式.
故数列{an}的一个通项公式为an=.
课件27张PPT。第二课时 等差数列的性质及简单应用课标要求:1.能根据等差数列的定义与通项公式,推导出等差数列的重要性质.2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题.3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题.自主学习知识探究若数列{an}是公差为d的等差数列,则有下列性质:
1.d>0,{an}是递增数列;d<0,{an}是递减数列;d=0,{an}是常数列.3.an=am+(n-m)d(m,n∈N*).
4.若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).6.若{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+an-i+1=….
7.数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.
因为λan+b=λ[a1+(n-1)d]+b=(λa1+b)+(n-1)λd,
所以公差为λd.
8.下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.
9.若数列{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k为非零常数)也是等差数列.
10.项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列.例如:a1,a3,a5,…构成等差数列,再比如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍构成等差数列.【知识拓展】 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)不可以推广为“若m,n∈N*,则am+an=am+n”.但可以推广到三项的情况,即“m+n+t=p+q+s,且m,n,t,p,q,s∈N*,则am+an+at=ap+aq+as”.自我检测1.若{an}是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有( )
①{|an|} ②{an+1-an} ③{pan+q}(p,q为常数) ④{2an+n}
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2.已知等差数列{an}中,a3=1,a7=-9,则a5等于( )
(A)-4 (B)4
(C)-8 (D)8CA解析:由a3+a7=2a5=1-9=-8得a5=-4.故选A.3.在等差数列{an}中,已知a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8= .?解析:因为a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,
所以a5=90,
a2+a8=2a5=2×90=180.
答案:180题型一 等差数列性质的应用课堂探究【例1】 等差数列{an}中:
(1)若a7=m,a14=n,则a21= ;?解析:(1)因为7+21=14+14,
所以a7+a21=2a14,
所以a21=2a14-a7=2n-m.
答案:(1)2n-m(2)若a1+a3+a5=-1,则a1+a2+a3+a4+a5= ;?(3)若a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,且a4>a2,则a5= .?答案:(3)13方法技巧 求解等差数列有关计算问题的常用方法:一是基本量方法,即建立关于a1和d的方程组求出a1和d再解决问题;二是运用等差数列的性质,若m+n=p+q=2k,且m,n,p,q,k∈N*,则am+an=ap+aq=2ak.即时训练1-1:(1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )
(A)14 (B)21
(C)28 (D)35解析:(1)因为a3+a4+a5=12,
所以3a4=12,则a4=4,
又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,
故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.(2)已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为( )
(A)-6 (B)6
(C)0 (D)10解析:(2)由于{an},{bn}都是等差数列,
所以{an-bn}也是等差数列,
而a1-b1=6,a20-b20=6,
所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.故选B.题型二 等差数列的综合问题(2)试问a1a2是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.方法技巧 解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.
(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.
(3)利用函数或不等式的有关方法解决.即时训练2-1:已知数列{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.
(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)设等差数列的公差为d.
因为a1+a2+a3=12,
所以a2=4,
因为a8=a2+(8-2)d,
所以16=4+6d,
所以d=2,
所以an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.故an=2n.(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出数列{bn}的通项公式.解:(2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.
当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.
所以数列{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.
所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.
故bn=4n.题型三 等差数列的实际应用【例3】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.
请根据提供的信息说明,求:
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由;
(3)哪一年的规模最大?请说明理由.(2)因为c6=a6b6=2×10=20所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.方法技巧 (1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决.
(2)解答等差数列应用题的一般步骤:①审题;②建模,将实际问题转化为数学问题;③判型,分清该数列是否为等差数列;④求解,按照等差数列的有关知识求出结果;⑤还原,将结果还原到实际问题中.即时训练3-1:某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是 8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.
试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次)解:设在相同的时间内,
从低到高每档次产品的产量分别为a1,a2,…,a10,
利润分别为b1,b2,…,b10,
则{an},{bn}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,
所以an=60-3(n-1)=-3n+63,
bn=8+2(n-1)=2n+6,
所以利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)
=-6n2+108n+378
=-6(n-9)2+864.
显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.
答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.点击进入 课时作业谢谢观赏！
