第一课时 等差数列的概念与通项公式
1.已知数列{an}的通项公式为an=3n-5,则此数列是( A )
(A)公差为3的等差数列 (B)公差为-5的等差数列
(C)首项为3的等差数列 (D)首项为-5的等差数列
解析:因为当n≥2时,an-an-1=3n-5-[3(n-1)-5]=3,
所以此数列是公差为3的等差数列.故选A.
2.在等差数列{an}中,若a3=2,a5=8,则a9等于( C )
(A)16 (B)18 (C)20 (D)22
解析:设等差数列{an}的公差为d,
因为a3=2,a5=8,
所以
解得
则a9=a1+8d=-4+8×3=20.
故选C.
3.已知a=,b=,则a,b的等差中项为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:设a,b的等差中项为x,则有2x=a+b=+=(-)+(+)=2,所以x=,故选A.
4.已知x≠y,数列x,a1,a2,y与x,b1,b2,b3,y都是等差数列,则的值是( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:a2-a1=,b2-b1=,则=.故选A.
5.已知{an}为等差数列,首项为,它从第10项开始比1大,那么公差d的取值范围是( D )
(A)(,+∞) (B)(-∞,)
(C)(,) (D)(,)
解析:由题意可得a1=,且
根据等差数列的通项公式可得
从而解得6.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a3=2a1,则的值为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:a3=a1+2d=2a1,a1=2d,所以===,故选C.
7.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),这个问题中,甲所得为( C )
(A)钱 (B)钱 (C)钱 (D)钱
解析:甲、乙、丙、丁、戊五人依次设为等差数列的a1,a2,a3,a4,a5 , a1+a2=a3+a4+a5= ,即解得甲所得为钱,故选C.
8.在数列{an}中,若=+,a1=8,则数列{an}的通项公式为( A )
(A)an=2(n+1)2 (B)an=4(n+1)
(C)an=8n2 (D)an=4n(n+1)
解析:因为=+,所以-=,数列是等差数列,由等差数列通项公式得=2+(n-1)·=n+,所以an=2(n+1)2,选A.
9.等差数列{an}中,a2=-5,a6=11,则公差d= .?
解析:等差数列{an}中,a2=-5,a6=11,
可得d===4.
答案:4
10.已知{an}为等差数列,若a1=6,a3+a5=0,则数列{an}的通项公式为 .?
解析:设数列{an}的公差为d,由a3+a5=0有2a1+6d=0,又a1=6,所以d=-2,故an=6-2(n-1)=8-2n.
答案:an=8-2n
11.在△ABC中,若A,B,C的度数成等差数列,且lg a,lg b,lg c也成等差数列,则△ABC的形状一定是 .?
解析:因为三内角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又A+B+C=180°,所以B=60°,又lg a,lg b,lg c成等差数列,所以2lg b=lg a+lg c,即b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac,所以ac=a2+c2-ac,所以a2+c2-2ac=0,所以(a-c)2=0,所以a=c.故△ABC为正三角形.
答案:正三角形
12.已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则数列{an}的通项公式为an等于 .?
解析:因为an+1=(+3)2,所以-=3,
故数列{}是以=1为首项,以3为公差的等差数列,
所以=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=(3n-2)2(n∈N*).
答案:(3n-2)2
13.已知数列{an}是等差数列,且a6=10,a9=19,求an.
解:法一 由等差数列的通项公式直接列方程组求解.
由已知,得解得
故an=-5+3(n-1)=3n-8.
法二 利用等差数列的性质公式:am-an=(m-n)d求解.
因为a9-a6=3d=9,
所以d=3.
所以an=a6+(n-6)d=3n-8.
法三 利用公差的几何意义求解.
根据公差的几何意义有=,
代入已知数据可得an=3n-8.
14.已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗?
解:法一 设等差数列{an}的前三项分别为a1,a2,a3.
依题意得
所以
解得或
因为数列{an}是递减等差数列,
所以d<0.
故取a1=11,d=-5,
所以an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16,
即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16.
令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10.
所以-34是数列{an}的项,且为第10项.
法二 设等差数列{an}的前三项依次为a-d,a,a+d,
则
解得
又因为{an}是递减等差数列,即d<0.
所以取a=6,d=-5.
所以{an}的首项a1=11,公差d=-5.
所以通项公式an=11+(n-1)·(-5),
即an=-5n+16.
令an=-34,解得n=10.
即-34是数列{an}的项,且为第10项.
15.已知,,成等差数列,且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列.
证明:因为,,成等差数列,所以=+,
所以=,即2ac=b(a+c).
(a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac-4ac
=(a-c)2.
因为a+c,a+c-2b,a-c均为正数,上式左右两边同时取对数得,
lg[(a+c)(a+c-2b)]=lg(a-c)2,
即lg(a+c)+lg(a+c-2b)=2lg(a-c),
所以lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列.
16.设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则( D )
(A)d>0 (B)d<0
(C)a1d>0 (D)a1d<0
解析:法一 an=a1+(n-1)d,
所以=,
因为是递减数列,
故有==<1=20,
所以a1d<0.故选D.
法二 数列{}为递减数列等价于数列{a1an}为递减数列,等价于a1an-a1an-1<0,
即a1(an-an-1)<0,
即a1d<0.故选D.
17.已知数列{an}是首项为1,公差为d(d∈N*)的等差数列,若81是该数列中的一项,则公差d不可能是( B )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:由题设,an=1+(n-1)d,81是该数列中的一项,即81=1+(n-1)d,
所以n=+1,因为d,n∈N*,
所以d是80的因数,故d不可能是3,选B.
18.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有200项,则它们的公共项的个数为 .?
解析:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an},则a1=11.
因为数列5,8,11,…与3,7,11,…的公差分别为3和4,所以 {an}的公差d=3×4=12,
所以 an=11+12(n-1)=12n-1.
又5,8,11,…与3,7,11,…的第200项分别为602和799,
所以 an=12n-1≤602,
即n≤50.25.
又n∈N*,所以两数列有50个相同的项.
答案:50
19.已知数列{an},{bn}满足a1=2,b1=1,(n≥2, n∈N*).
则a1 008+b1 008= .?
解析:由题意可得an+bn=an-1+bn-1+2,所以数列{an+bn}是以a1+b1=3为首项,2为公差的等差数列,所以a1 008+b1 008=3+2×1 007=2 017.
答案:2 017
20.已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2;
(2)求{bn}的通项公式;
(3){bn}中的第503项是数列{an}中的第几项?
解:数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列.
(1)因为a1=3,d=-5,所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n.数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…,所以b1=a3=-7,b2=a7=-27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项,即bn=am,则m=4n-1,所以bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n.即{bn}的通项公式为bn=13-20n.
(3)由(2)知b503=13-20×503=-10 047,设它是{an}中的第x项,则-10 047=8-5x,则x=2 011,即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项.
课件29张PPT。2.2 等差数列
第一课时 等差数列的概念与通项公式课标要求:1.通过实例,理解等差数列和等差中项的概念,深化认识并能运用.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.自主学习知识探究1.等差数列的定义
(1)一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的 的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表示.
(2)由等差数列的定义知,等差数列{an}满足a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数.
因此,等差数列的定义可用数学符号语言描述为an-an-1=d对任意的n≥2,n∈
N*均成立,故an+1-an=d对任意的n∈N*均成立,上述两式通常作为判断数列是否为等差数列的依据.2前一项公差2.对等差数列定义的理解
(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.
(2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件.
(3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.4.等差数列的通项公式
以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为an= .
5.等差数列通项公式的推导
通项公式的推导,教材是根据等差数列的定义,通过归纳的方式得出的,还可以采用以下的推导方法:
法一(累加法) 因为{an}是等差数列,所以
an-an-1=d,
an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,
…
a2-a1=d,
两边分别相加得an-a1=(n-1)d,所以an=a1+(n-1)d.a1+(n-1)d法二(迭代法) {an}是等差数列,则有an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+
2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
法三(逐差法) {an}是等差数列,则an=an-an-1+an-1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ an-2=…=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.自我检测1.下列说法中正确的是( )
(A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,这个数列就叫等差数列
(B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列
(C)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和都等于常数,这个数列就叫等差数列
(D)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列D解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起;
②差为同一个常数,故选D.A3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( )
(A)6斤 (B)9斤 (C)9.5斤 (D)12斤A解析:由题意,金箠的每一尺的重量依次成等差数列,从细的一端开始,第一段重2斤,第五段重4斤,由等差中项知,第三段重3斤,第二段加第四段重3×2=6斤.故选A.4.等差数列{an}中,a2=2,a4=8,则通项公式an= .?5.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20= .?答案:1题型一 等差数列的通项公式课堂探究【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.方法技巧 求等差数列的通项公式的两种思路
(1)设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d,即可写出数列的通项公式.
(2)已知等差数列中的两项时,利用an=am+(n-m)d求出公差d就可绕过求首项a1,直接写出等差数列的通项公式.
注意:对于等差数列的通项公式,最终结果一般写成关于n的一次函数的 形式.即时训练1-1:在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28.求数列{an}的通项公式.题型二 等差数列的判定与证明(2)求数列{an}的通项公式.方法技巧 判断或证明一个数列{an}为等差数列的常用方法:
(1)定义法:若an-an-1=d(d是常数,n≥2且n∈N*),则数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法:若任意连续三项an-1,an,an+1都有:2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*),则数列{an}是等差数列.
(3)通项公式法:若an=kn+b(k,b为常数,n∈N*),则数列{an}是等差数列.(2)求an.题型三 等差中项的应用【例3】 一个等差数列由三个数组成,三个数的和为9,三个数的平方和为35,求这个数列.方法技巧 三个数或四个数成等差数列的设法
当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,
法一:可设出首项a1和公差d,列方程组求解.
法二:采用对称的设法,三个数时,设为a-d,a,a+d;四个数时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.变式探究:若将题中的三个数改为四个数成等差数列,且四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这个数列.点击进入 课时作业谢谢观赏！
