2.3 等差数列的前n项和
1.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10等于( C )
(A)138 (B)135 (C)95 (D)23
解析:由a2+a4=4,a3+a5=10,可得d=3,a1=-4.
所以S10=-40+×3=95.
2.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1等于( D )
(A)5或7 (B)3或5 (C)7或-1 (D)3或-1
解析:由
即
解得或
故选D.
3.在等差数列{an}中,已知a6=1,则数列{an}的前11项和S11等于( C )
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
解析:S11==11×a6=11.故选C.
4.已知等差数列{an}中a1=1,Sn为其前n项和,且S4=S9,a4+ak=0,则实数k等于( C )
(A)3 (B)6 (C)10 (D)11
解析:因为等差数列{an}中a1=1,Sn为其前n项和,
且S4=S9,
所以S9-S4=a5+a6+a7+a8+a9=0,
所以5a7=0,即a7=0,
由等差数列的性质可得a4+a10=2a7=0,
因为a4+ak=0,所以k=10.
故选C.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则S9等于( B )
(A)45 (B)81 (C)27 (D)54
解析:因为数列{an}是等差数列,
所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.
所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),
即9+S9-36=2(36-9),
解得S9=81.故选B.
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于( A )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)5
解析:由a4+a6=-6,所以a5=-3,所以d=2,所以an=a1+(n-1)d
=-11+2(n-1)=2n-13,所以数列的前6项均为负数项,当Sn取最小值时,n等于6.故选A.
7.已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为( B )
(A)20 (B)10 (C)40 (D)30
解析:所有偶数项之和减去所有奇数项之和等于一半项数与公差的积,所以d=25-15?n=10,故选B.
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S2 016>0,S2 017<0,对任意正整数n,都有|an|≥|ak|,则k的值为( D )
(A)1 006 (B)1 007 (C)1 008 (D)1 009
解析:由S2 016>0,S2 017<0得a1+a2 016>0,a1+a2 017<0,所以a1 008+a1 009>0,2a1 009<0,
所以a1 009<0,a1 008>0,所以|a1 009|是{|an|}中最小的值,故选D.
9.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大.?
解析:因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,
所以a8>0.
又a7+a10=a8+a9<0,
所以a9<0.
所以当n=8时,其前n项和最大.
答案:8
10.已知一个等差数列共有103项,那么它的偶数项之和与奇数项之和的比为 .?
解析:数列共103项,则偶数项有51项,奇数项有52项,则S偶∶S奇=∶=51∶52.
答案:51∶52
11.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,且=,则= .?
解析:=====.
答案:
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=An2+Bn+1(A≠0),则= .?
解析:由题意设等差数列{an}的通项为an=a1+(n-1)d,
Sn=na1+d,故an+Sn=An2+Bn+1=n2+(a1+)n+a1-d,所以A=,
B=a1+,a1-d=1,==3.
答案:3
13.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,
解得a2=3a1=3,
由S3=a3,得3(a1+a2+a3)=5a3,
解得a3=(a1+a2)=6.
(2)由题设知当n=1时,a1=1.
当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1
整理得an=an-1,
于是a2=a1,a3=a2,…,an-1=an-2,
an=an-1,
将以上n-1个等式中等号两端分别相乘,
整理得an=.
当n=1时,也满足此式.
综上可知,{an}的通项公式为an=.
14.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn并求Tn的最小值.
解:因为{an}为等差数列,则设其前n项和Sn=an2+bn(a,b为常数),
所以=an+b,即数列{}仍为等差数列.
由S7=7,S15=75知数列{}中的第7项与第15项分别为=1,=5.
设数列{}的首项为c1,公差为d,
则c7=1,c15=5,则d===.
因为c7=c1+6d,所以c1=-2.
则数列{}的前n项和
Tn=nc1+·d=n2-n=(n-)2-,
所以当n=4或n=5时,(Tn)min=-5.
15.已知数列{an}的通项公式an=-3n+104,数列{|an|}的前n项和为Tn,求T18及T50的值.
解:由数列{an}的通项公式得Sn=-n2+n.
又由an=-3n+104≥0,得n≤34,
即当n≤34时,an>0;
当n≥35时,an<0.
所以T18=|a1|+|a2|+…+|a18|
=a1+a2+…+a18=S18
=-×182+×18
=1 359.
T50=|a1|+|a2|+…+|a50|
=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+a50)
=-(a1+a2+…+a50)+2(a1+a2+…+a34)
=2S34-S50
=2×(-×342+×34)+×502-×50
=2 127.
16.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=(n∈N*),则使得为整数的正整数n的个数是( C )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:======7+.
验证知,当n=1,2,3,5,11时为整数.故选C.
17.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S17>0,S18<0,则,,…,中最大的项为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:S17>0?>0?>0?a9>0,
S18<0?<0?<0?a10+a9<0?a10<0,
因此>0,>0,…,>0,>0,<0,
而S1a2>…>a8>a9,
所以<<…<<,故选C.
18.在等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=2,若某学生对其中连续10项进行求和,在遗漏掉一项的情况下,求得余下9项的和为185,则此连续10项的和为 .?
解析:等差数列{an}中的连续10项为ax,ax+1,ax+2,…,ax+9(x∈N*),遗漏的项为ax+n,n∈N*且1≤n≤9,则-ax+n=-(ax+2n)=9(3+2x-2)-2n+90=185,化简得9x=43+n,因为1≤n≤9,所以44≤9x≤52,所以x=5,a5=11,则连续10项的和为=200.
答案:200
19.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为 .?
解析:由题意得,因为数列{an}是等差数列,且S4≥10,S5≤15,所以即
所以所以≤a4≤3+d,5+3d≤6+2d,d≤1,所以a4≤3+d≤3+1=4,所以a4的最大值为4.
答案:4
课件36张PPT。2.3 等差数列的前n项和课标要求:1.掌握等差数列的前n项和公式,了解推导等差数列前n项和公式的方法——倒序相加法.2.能够利用等差数列的前n项和公式进行有关的计算.3.掌握等差数列前n项和的最值问题的解法.4.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.5.理解an与Sn的关系,会利用这种关系解决有关的问题.自主学习知识探究1.数列的前n项和的概念
一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an.3.等差数列的前n项和公式
首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn= ,
首项为a1,公差为d,项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn= .5.前n项和的最值
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则
(1)当a1<0,d<0时,Sn有最大值S1=a1,无最小值.
(2)当a1>0,d<0时,数列{an}只有前面的有限项为非负数,从某项开始其余所有项均为负数,所以Sn有最大值,无最小值.
(3)当a1<0,d>0时,数列{an}只有前面的有限项为负数,从某项开始其余所有项均为非负数,所以Sn有最小值,无最大值.
(4)当a1>0,d>0时,Sn有最小值S1=a1,无最大值.
(5)当d=0时,数列{an}为常数列.(2)若等差数列共有2n-1项,则S2n-1=(2n-1)an;若等差数列共有2n项,则S2n=
n(an+an+1).(5)“片段和”性质:等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公差为k2d的等差数列.自我检测1.在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S5等于( )
(A)10
(B)20
(C)30
(D)40C2.记在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11等于( )
(A)58 (B)88
(C)143 (D)176B解析:因为S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,
所以S2+(S6-S4)=2(S4-S2),
所以4+(S6-20)=2(20-4),
所以S6=48.
故选D.3.记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则S6等于( )
(A)42 (B)44
(C)46 (D)48D4.等差数列{an}中,若a1+a4+a7=15,a3+a6+a9=3,则S9= .?答案:275.记等差数列{an}前n项和为Sn.若am=10,S2m-1=110,则m的值为 .?答案:6 题型一 等差数列前n项和的基本运算课堂探究答案:(1)C (2)在等差数列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列{an}的前n项和,则S11等于( )
(A)18 (B)99 (C)198 (D)297
(3)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= .?答案:(2)B (3)-72方法技巧 (1)等差数列运算问题的通性通法
①等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
②等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.
(2)等差数列设项技巧
若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(2)因为S4=2+6d=20,所以d=3,故S6=3+15d=48.故选D.(3)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于( )
(A)-6 (B)-4 (C)-2 (D)2解析:(3)法一 (基本量法)设公差为d,则8a1+28d=4a1+8d,即a1=-5d,a7=a1+6d=-5d+6d=d=-2,所以a9=a7+2d=-6.
法二 (性质法)根据等差数列的定义和性质可得S8=4(a3+a6),又S8=4a3,
所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.故选A.题型二 等差数列前n项和的最值问题【例2】 等差数列{an}的首项a1>0,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则当n为何值时,Sn有最大值?方法技巧 求等差数列前n项和Sn最值的三种方法
(1)函数法
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解.即时训练2-1:等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn取得最大值.题型三 等差数列前n项和的性质及应用【例3】 已知{an}为等差数列,前10项的和为S10=100,前100项的和S100=10,求前110项的和S110.方法技巧 求数列的前n项和有着不同的途径,特别是运用一些等差数列的性质和等差数列前n项和的性质使问题解决变得很简单.熟练掌握性质,可以大大减少运算量,提高正确率.即时训练3-1:(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )
(A)63 (B)45 (C)36 (D)27解析:(1)由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列.
即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45,即a7+a8+a9=45,故选B.
答案:(1)B(2)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为( )
(A)13 (B)12 (C)11 (D)10答案:(2)A(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30= .?解析:(3)因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以2(S20-S10)=S10+S30-S20,
所以40=10+S30-30,所以S30=60.
答案:(3)60题型四 an与Sn的关系及其应用【例4】 已知正项数列{an}满足a1+a2+a3+…+an= (an+1)2(n∈N*).求数列{an}的通项公式.方法技巧 已知an与Sn的关系,求an的步骤
(1)当n≥2时,用an=Sn-Sn-1计算得到an.
(2)当n=1时,用a1=S1计算得到a1的值.
(3)检验(2)中a1的值是否满足(1)中得到的an,若满足,则通项公式就是an;若不满足,则用分段的形式表示.点击进入 课时作业点击进入 周练卷(三)谢谢观赏！
