第二课时 等比数列的性质及应用
1.公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a6=16,则a7等于( B )
(A) (B)1 (C)2 (D)4
解析:由a4a6=16得=16,因为{an}各项都是正数,
所以a5=4,
所以a7=a5q2=4×()2=1.故选B.
2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为( C )
(A)100 (B)-100
(C)10 000 (D)-10 000
解析:由lg(a3a8a13)=6,得a3a8a13=106,
所以=106,所以a8=100,
a1a15==10 000,故选C.
3.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于( C )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
解析:等比数列{an}中,a3a11==4a7,解得a7=4.等差数列{bn}中,b5+b9
=2b7=2a7=8.故选C.
4.记等比数列{an}的前n项积为Ⅱn,若a4·a5=2,则Ⅱ8等于( C )
(A)256 (B)81 (C)16 (D)1
解析:由题意可知a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=2,则Ⅱ8=a1a2a3a4a5a6a7a8
=(a4a5)4=24=16.
故选C.
5.(2017·浙江宁波效实中学期中)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=-1,a5=+1,则+2a2a6+a3a7等于( A )
(A)8 (B)6
(C)4 (D)8-4
解析:因为数列{an}是等比数列,所以+2a2a6+a3a7
=+2a3a5+=(a3+a5)2=8,故选A.
6.已知数列{an}的首项a1=2,数列{bn}为等比数列,且bn=.若b10b11=2,则a21等于( C )
(A)29 (B)210 (C)211 (D)212
解析:由已知,得b1b2…b20=··…·==.因为{bn}为等比数列,所以b1b2…b20=(b10b11)10=210,
所以a21=2b1b2…b20=211,故选C.
7.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=27,则a6等于( C )
(A)27 (B)81
(C)243 (D)729
解析:由题可得a1a2a3==27,即a2=3.因为S2n=4(a1+a3+…+a2n-1),所以当n=1时,有S2=a1+a2=4a1,从而可得a1=1,q=3,所以a6=1×35=243,故选C.
8.已知x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为( C )
(A)-3 (B)±3 (C)-3 (D)±3
解析:由等比中项知y2=3,所以y=±,
又因为y与-1,-3符号相同,所以y=-,y2=xz,
所以xyz=y3=-3.
9.等比数列{an}中,a1=3,a4=24,则a3+a4+a5等于( C )
(A)33 (B)72 (C)84 (D)189
解析:由已知,得q3==8,解得q=2,则有a3+a4+a5=a1(q2+q3+q4)=3×(4+8+16)=84.故选C.
10.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1+ln a2+…+ln a20= .?
解析:由{an}为等比数列,得a10a11=a9a12=a1a20=e5,
于是ln a1+ln a2+…+ln a20=ln (a1a2a3…a20)=ln (a1a20)10=ln (e5)10=ln e50=50.
答案:50
11.三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9就成为等比数列,则此三个数分别为 .?
解析:设所求三个数为a-d,a,a+d.
由题意得
解得或
又因为a-d,a,a+d为正数,
所以a=5,d=2,
故所求三个数分别为3,5,7.
答案:3,5,7
12.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于 平方 厘米.?
解析:依题意这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,n∈N*),则第10个正方形的面积S==[2×()9]2=4×29=2 048(平方厘米).
答案:2 048
13.已知数列{an}成等比数列.
(1)若a2=4,a5=-,求数列{an}的通项公式;
(2)若a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.
解:(1)由a5=a2q3, 得-=4·q3,
所以q=-,an=a2qn-2=4×(-)n-2=(-)n-4.
(2)由a3a5=,得a3a4a5==8.
解得a4=2.
又因为a2a6=a3a5=,
所以a2a3a4a5a6==25=32.
14.已知互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成为等比数列,也可成为等差数列,求这三个数排成的等差数列.
解:设三数为,a,aq(q≠1).
由题意,得a3=-8,解得a=-2.
①若-2是与-2q的等差中项,则+2q=4,
即q=1,与题设矛盾.
②若-2q是-2与的等差中项,则2+=4q,
即2q2-q-1=0.
因为q≠1,所以q=-.
所以三数为-2,1,4.
③若是-2与-2q的等差中项,则2+2q=,
即q2+q-2=0.
因为q≠1,所以q=-2.
所以三数为-2,1,4.
综上所述,由这三数排成的等差数列为-2,1,4或4,1,-2.
15.若{an}是公差d≠0的等差数列,{bn}是公比q≠1的等比数列,已知a1=b1=1,且a2=b2,a6=b3.
(1)求d和q;
(2)是否存在常数a,b,使对一切n∈N*都有an=logabn+b成立?若存在求出a,b的值,若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意得解得d=3,q=4.
(2)假设存在常数a,b.
由(1)易得an=3n-2,bn=4n-1,
代入an=logabn+b得3n-2=loga4n-1+b,
即(3-loga4)n+(loga4-b-2)=0对n∈N*都成立,
所以所以
所以存在常数a=,b=1,使对一切n∈N*,都有an=logabn+b成立.
16.在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为( B )
(A) (B) (C)1 (D)-
解析:因为a3a4a5=3π=,所以a4=.
log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2…a7)
=log3=7log3=,所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=.故选B.
17.已知数列{an}是首项a1=4的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,则其公比q等于( C )
(A)-1 (B)1 (C)1或-1 (D)
解析:因为4a1,a5,-2a3成等差数列,所以2a5=4a1-2a3,即2a1q4=4a1-
2a1q2,又因为a1=4,则有q4+q2-2=0,解得q2=1,所以q=±1,故选C.
18.在等比数列中,已知a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则a99+a100=
.?
解析:利用a9+a10,a19+a20,…,a99+a100成等比数列,得a99+a100=.
答案:
19.数列{an}的首项为a1=1,数列{bn}为等比数列且bn=,若b10b11=2 01,则a21= .?
解析:由bn=,且a1=1,得b1==a2;b2=,a3=a2b2=b1b2;b3=,a4=a3b3=b1b2b3;……;bn-1=,an=b1b2…bn-1,所以a21=b1b2…b20.因为数列{bn}为等比数列,所以a21=(b1b20)(b2b19)…(b10b11)=(b10b11)10=(2 01)10=2 018.
答案:2 018
20.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).
(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:因为an+1=an+6an-1(n≥2),所以an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).
因为a1=5,a2=5,所以a2+2a1=15,所以an+2an-1≠0(n≥2),所以=3(n≥2),
所以数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.
(2)解:由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,则an+1=-2an+5×3n,
所以an+1-3n+1=-2(an-3n).
又因为a1-3=2,所以an-3n≠0,
所以{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.
所以an-3n=2×(-2)n-1,
即an=2×(-2)n-1+3n.
课件26张PPT。第二课时 等比数列的性质及应用课标要求:1.掌握等比数列的几个基本性质,能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题.2.能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题.3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题.自主学习知识探究(3)当q=1时,等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0).
(4)当q<0时,等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项也同号,但是奇数项与偶数项异号).
显然等比数列的单调性要比等差数列的单调性复杂得多.2.等比数列常见性质
若{an}是等比数列,公比是q,则
(1)an=a1qn-1=a2qn-2=…= (n>m,n,m∈N*);
(2)对称性:a1an=a2an-1=a3an-2=…=am (n>m,n,m∈N*).amqn-man-m+1自我检测1.已知{an},{bn}都是等比数列,那么( )
(A){an+bn},{an·bn}都一定是等比数列
(B){an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列
(C){an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列
(D){an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列C解析:两个等比数列的对应项的和可能为0,即不一定为等比数列,但乘积仍是一个等比数列.故选C.A解析:lg a3+lg a4=lg(a3a4)=lg(a2a5)=lg 10=1.
答案:13.正项等比数列{an}中,a2a5=10,则lg a3+lg a4= .?答案:1 024题型一 等比数列性质的应用课堂探究(2)在等比数列{an}中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于 .?答案:(2)-213方法技巧 运用等比数列性 即时训练1-1:公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10等于( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7题型二 巧设“对称项”解等比数列问题【例2】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.方法技巧 等比数列的“对称设项”方法即时训练2-1:三个数成等比数列,其积为512.若第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.题型三 等比数列与等差数列的综合问题【例3】 已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3,4S2=S4.
(1)求数列{an}的通项公式;方法技巧 求解等差、等比数列综合的问题的技巧
(1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.
(2)发挥两个数列的基本量a1,d或b1,q的作用,并用好方程这一工具.
(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.即时训练3-1:设数列{an}的前n项和Sn=2an-2n.
(1)求a3,a4;(1)解:因为a1=S1=2a1-2,所以a1=2,S1=2.
因为Sn=2an-2n,所以2an=Sn+2n,
所以2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,
所以an+1=Sn+2n+1,所以a2=S1+22=2+22=6,
所以S2=2+6=8,所以a3=S2+23=8+23=16,
所以S3=2+6+16=24,所以a4=S3+24=40.(2)求证{an+1-2an}是等比数列;(3)求{an}的通项公式.点击进入 课时作业谢谢观赏！
