3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
1.不等式组表示的平面区域是( D )
解析:不等式x-y+5≥0表示的区域为直线x-y+5=0及其右下方的区域,不等式x+y+1>0表示的区域为直线x+y+1=0右上方的区域,不等式组表示的平面区域为选项D.故选D.
2.不等式组表示的平面区域是( D )
(A)矩形 (B)三角形
(C)直角梯形 (D)等腰梯形
解析:作出平面区域如图,所以平面区域为等腰梯形.
3.不等式2x-y+6>0表示的平面区域在直线2x-y+6=0的( A )
(A)右下方 (B)右上方 (C)左下方 (D)左上方
解析:A=2>0,2x-y+6>0表示的平面区域在直线2x-y+6=0的右方;B=-1<0,2x-y+6>0表示的平面区域在直线2x-y+6=0的下方,所以不等式2x-y+6>0表示的平面区域在直线2x-y+6=0的右下方.故选A.
4.如图所示的平面区域所对应的不等式组是( A )
(A) (B)
(C) (D)
解析:由题图知,原点O(0,0)不在二元一次不等式x+y-1≥0表示的区域,但原点O在二元一次不等式x-2y+2≥0表示的平面区域,也在二元一次不等式2x-y-2≤0表示的平面区域,
故题图中的平面区域为不等式组表示的平面区域.故选A.
5.设点P(x,y),其中x,y∈N,满足x+y≤3的点P的个数为( A )
(A)10 (B)9
(C)3 (D)无数个
解析:作表示的平面区域,
如图所示,
符合要求的点P的个数为10,
故选A.
6.在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是( B )
(A)(-∞,1) (B)(1,+∞)
(C)(-1,+∞) (D)(0,1)
解析:易知不等式x-2y+4<0表示的区域在直线x-2y+4=0的左上方,所以-2-2t+4<0,
即t>1,所以t∈(1,+∞).故选B.
7.若不等式组:表示的平面区域Ω的面积为3,则实数k的值为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:平面区域Ω如图阴影部分所示.
则有3=×(-1)×2,
解得k=.故选B.
8.在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为( B )
(A) (B) (C) (D)2
解析:作出不等式组对应的平面区域,如图所示,
则A(0,1),D(0,-1),|AD|=2.
由得即
C(,-),
由得即B(-1,-2),则△ABC的面积S=|AD|×(+1)=×2×=.故选B.
9.已知实数x,y满足不等式组z=x+y,则满足z≥1的点(x,y)所构成的区域面积等于( C )
(A) (B) (C) (D)1
解析:作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,
则满足z≥1的点(x,y)所构成的区域为图中阴影部分.
联立
得B(2,2).
联立得C(,),
又A(1,0),
所以|AC|==.
点B到x+y=1的距离为=.
所以S△ABC=××=.故选C.
10.现有以下五个说法:
①原点在区域x+y+1≥0内;
②点(-1,-1)在区域x+y+1<0内;
③点(1,2)在区域y>2x内;
④点(0,2)在区域x-2y+5>0内;
⑤点(1,1)在区域-x-5y+6<0内.
其中正确的序号为 .?
解析:因为原点(0,0)的坐标满足不等式x+y+1≥0,
所以①正确;
因为点(-1,-1)的坐标满足不等式x+y+1<0,
所以②正确;
因为点(1,2)的坐标不满足不等式y>2x,
所以③不正确;
因为点(0,2)的坐标满足不等式x-2y+5>0,
所以④正确;
因为点(1,1)的坐标不满足不等式-x-5y+6<0,
所以⑤不正确.
答案:①②④
11.若不等式组表示的平面区域的面积为24,则a的值为 .?
解析:直线x+ay=4过定点(4,0),若a=-1,
则不等式组表示的平面区域不是封闭区域,不合题意;
若a≠-1,
则由得交点为(,),由
解得
因此平面区域的面积为[(4+2a)+2]×(+2)=24,解得a=3±2.
答案:3±2
12.已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤4},B={(x,y)||y|-|x|≤0},设集合C=A∩B,则集合C所对应的平面区域的面积为 .?
解析:画出集合A={(x,y)||x|+|y|≤4}表示的平面区域,
画出集合B={(x,y)||y|-|x|≤0}表示的平面区域,
如图所示,
取出它们的公共部分,
即集合C=A∩B所表示的平面区域正方形OABC和正方形ODEF;
则集合C所对应的平面区域的面积是2×(2)2=16.
答案:16
13.某校食堂基本以面食和米食为主,面食每百克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位;米食每百克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位.学校要求给学生配制成盒饭,每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,请在直角坐标系中画出每份盒饭中面食,米食的含量所满足的范围.
解:设每份盒饭中面食为x百克,米食为y百克,则由题意得
作出不等式组所表示的平面区域如图.
14.已知P(2,t)在不等式组表示的平面区域内,则点P(2,t)到直线3x+4y+10=0的距离的最大值为( B )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
解析:由已知得解得-2≤t≤1.
点P到直线3x+4y+10=0的距离d==.
由-2≤t≤1,得8≤4t+16≤20,
所以≤d≤=4.即dmax=4.故选B.
15.设不等式组表示的平面区域为D.若圆C:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)不经过区域D上的点,则r的取值范围是( D )
(A)[2,2] (B)(2,3]
(C)(3,2] (D)(0,2)∪(2,+∞)
解析:作出不等式组表示的平面区域,得到如图所示的△MNP及其内部,其中M(1,1),N(2,2),P(1,3).
因为圆C:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)表示以C(-1,-1)为圆心,r为半径 的圆,
所以由图可得,当半径满足r
CP时,
圆C不经过区域D上的点,
因为CM==2,
CP==2,
所以当r的取值范围为(0,2)∪(2,+∞)时,圆C不经过区域D上的点,故选D.
16.已知实数x,y满足约束条件设不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,则实数a的取值范围是 .?
解析:作出约束条件
所对应的可行域D(如图阴影),直线y=a(x+1)表示过点A(-1,0)且斜率为a的直线,联立可解得即B(3,3),由斜率公式可得此时a==,结合图象可得要使直线y=a(x+1)与区域D有公共点需a≤.
答案:(-∞,]
17.设m为实数,若{(x,y)|}?{(x,y)|x2+y2≤25},则m的取值范围是 .?
解析:设M={(x,y)|},N={(x,y)|x2+y2≤25}.
显然点集N表示的是以原点为圆心,5为半径的圆面.
又边界x-2y+5=0交圆周x2+y2=25于点A(3,4),C(-5,0),边界y=-mx恒过原点.
如图(1),当-m>0,即m<0时,M?N.
当m=0时,y=0即x轴,此时M?N;
如图(2),当y=-mx过点B(3,-4)时,m=,
此时M?N;
当0当m>时,M?N.
综上,得0≤m≤.
答案:[0,]
18.已知点M(a,b)在由不等式组确定的平面区域内,求点N(a+b,a-b)所在平面区域的面积.
解:因为点M(a,b)在由不等式组确定的平面区域内,
设得a=,b=
所以可得到关于a,b的不等式组即
由图知(x′,y′)所在区域面积为×4×2=4即(a+b,a-b)面积为4.
课件33张PPT。3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域课标要求:1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面区域.3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面区域表示二元一次不等式组的解.自主学习1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)二元一次不等式(组)及其解集的相关定义
①二元一次不等式的定义
我们把 的不等式称为二元一次不等式.
②二元一次不等式组的定义
我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
③二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.知识探究含有两个未知数,并且未知数的次数是1④二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系
有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标,于是,二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.
(2)二元一次不等式表示的平面区域
一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+ C=0某一侧所有点组成的平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包括边界.不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.①对于二元一次不等式的不同形式,其对应的平面区域有如下结论:②画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为:
第一步“ ”,即画出边界Ax+By+C=0,要注意是虚线还是实线;
第二步,“ ”,取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号就可以断定Ax+By+C>0(<0)表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域;
第三步,用阴影表示出平面区域.
(3)二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集,即各个不等式表示的平面区域的公共部分.直线定界特殊点定域2.二元一次不等式表示的区域位置的影响因素
(1)形如Ax+By+C>0(<0)的情境下,系数A,B对区域的影响
由于坐标系是表示方位的,x表示左右,y表示上下,因而可以通过考察其系数A,B的符号来判断区域.具体如表:对于Ax+By+C>0表示的平面区域与直线Ax+By+C=0的位置关系,可记为:A决定左右,A正在右,A负在左;B决定上下,B正在上,B负在下.【知识拓展】 由A的符号判断二元一次不等式表示的区域位置可简记为“同右异左”(“同”表示A的符号与Ax+By+C的符号相同),由B的符号判断二元一次不等式表示的区域位置可简记为“同上异下”(“同”表示B的符号与Ax+By+C的符号相同).即只需由A或B的符号与Ax+By+C的符号的异同可直接确定平面区域.(2)形如y>kx+b(y(<)”对区域的影响
事实上,ykx+b表示直线y=kx+b的上方区域.这是因为,假设点(x0,y)为y>kx+b表示的区域内一点,则y>kx0+b,其表示直线y=kx+b上的一点(x0,y0)的上方区域.【知识拓展】 由于斜截式在具体考题中比较常见,因此对其进行探讨十分必要,利用ykx+b)来判定十分方便快捷,但其前提是直线的斜率存在,即对于一般形式的不等式Ax+By+C>0,需要求B≠0.具体操作时,可以先画出直线,然后研究不等式的符号.3.复杂不等式(组)表示的平面区域
高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式(组),从而画出这些不等式(组)表示的平面区域.对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法:先分情况讨论去掉绝对值符号,从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式(组),然后按照“直线定界,特殊点定域”的方法作出所求的平面区域.【知识拓展】 (1)对顶区域
不等式(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)>0(A1B2-A2B1≠0,A1>0,A2>0)表示的区域为相交直线的左右对顶的区域,而(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)<0(A1B2-A2B1≠0,A1>0,A2>0)表示的区域为相交直线的上下对顶的区域.在取特殊点时只需取一个容易观察的点即可.
(2)平行四边形区域
满足a(A)右上方 (B)左上方
(C)右下方 (D)左下方D解析:直线x+3y-6=0表示的位置如图所示.
由于0+3×0-6<0,故x+3y-6<0表示的区域在直线x+3y-6=0的左下方.故选D.2.不在不等式3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是( )
(A)(0,0) (B)(1,1)
(C)(0,2) (D)(2,0)D解析:将点的坐标代入不等式3x+2y<6中,只有选项D不满足该不等式.故选D.3.图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )
(A)x+y-1<0
(B)x+y-1>0
(C)x-y-1<0
(D)x-y-1>0B解析:边界所在的直线方程为x+y-1=0,取点O(0,0),代入直线方程得-1<0,则不等式x+y-1>0表示阴影部分.故选B.4.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的异侧,则a的取值范围是____
.?解析:由题意知
(3×3-2×1+a)·[3×(-4)-2×6+a]<0,
即(7+a)(a-24)<0,
解得-7答案:(-7,24)5.画出二元一次不等式组 表示的平面区域,则这个平面区域的面积为 .?题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域课堂探究【例1】 画出下列不等式(组)表示的平面区域.
(1)2x+y-10<0;解:(1)先画出直线2x+y-10=0(画成虚线).
取原点(0,0),代入2x+y-10.
因为2×0+0-10<0,所以原点在2x+y-10<0表示的平面区域内,不等式2x+y-10<0表示的平面区域如图(1)阴影部分所示.(2)解:(2)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合;x+y+ 1≥0表示直线x+y+1=0上及右上方的点的集合;x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.所以不等式组表示的平面区域如图(2)阴影部分所示.误区警示 在画二元一次不等式(组)表示的平面区域时,注意区分边界的虚实.Ax+By+C≥0(≤0)表示的平面区域包括直线Ax+By+C=0,该直线要画成实线;Ax+By+C>0(<0)表示的平面区域不包括直线Ax+By+C=0,该直线要画成虚线.变式探究:将本例(2)中不等式组改为“(x-y-1)(2x-y-3)≤0”,试画出不等式表示的平面区域.解:不等式可表示为
所以表示的平面区域如图阴影部分所示.即时训练1-1:在△ABC中,A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.题型二 二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积与整点个数问题【例2】 已知不等式组
(1)画出不等式组表示的平面区域;解:(1)不等式4x+3y≤12表示直线4x+3y=12上及其左下方的点的集合;x>0表示直线x=0右方的所有点的集合;y>0表示直线y=0上方的所有点的集合,故不等式组表示的平面区域如图(1)所示.(2)求不等式组所表示的平面区域的面积;
(3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标.方法技巧 求平面区域面积的一般步骤:
第一步:画出不等式组表示的平面区域;
第二步:根据区域的形状设计计算过程,必要时可采用“割补法”;
第三步:求出区域的顶点坐标;
第四步:通过相应的距离公式、面积公式求出区域的面积.答案:(1)4题型三 二元一次不等式组表示平面区域的应用【例3】 一工厂生产甲、乙两种产品,生产每种1 t产品的资源需求如表:该厂有工人200人,每天只能保证160 kW·h的用电额度,每天用煤不得超过150 t,请在平面直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围.方法技巧 解决此类问题应先根据问题的需要选取起关键作用的、关联较多的量用两个字母表示,进而问题中的所有量都用这两个字母表示出来,再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的实际意义写出所有的不等式,再由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可.即时训练3-1:甲、乙、丙三种食物的维生素A,维生素D的含量如表:某食物营养研究所想把甲种食物、乙种食物、丙种食物配成10千克的混合食物,并使混合食物中至少含有560单位/千克维生素A和630单位/千克维生素D,请在平面直角坐标系中画出甲、乙两种食物的用量范围.点击进入 课时作业谢谢观赏！