3.4 基本不等式:≤
第一课时 基本不等式
1.不等式+(x-2)≥6(x>2)中等号成立的条件是( C )
(A)x=3 (B)x=-3
(C)x=5 (D)x=-5
解析:由基本不等式知等号成立的条件为=x-2,即x=5,故选C.
2.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则( A )
(A)> (B)<
(C)= (D)≤
解析:因为a+d=b+c,a,b,c,d均是正数且互不相等,
所以=>.故选A.
3.已知a,b∈(0,1),且a≠b,下列各式中最大的是( D )
(A)a2+b2 (B)2
(C)2ab (D)a+b
解析:因为a,b∈(0,1),所以a2
所以a2+b22ab(因为a≠b),
所以2ab又因为a+b>2(因为a≠b),所以a+b最大.故选D.
4.设0(A)a2+b2 (B)2ab (C)a (D)
解析:因为0所以a<=所以2b>1,
所以2ab-a=a(2b-1)>0,即2ab>a,
又a2+b2-2ab=(a-b)2>0,
所以a2+b2>2ab,
所以最大的一个数为a2+b2.故选A.
5.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是( D )
(A)4 (B)8 (C) (D)
解析:xy=·2x·y≤·()2
=×()2
=,
故选D.
6.下列不等式:
①x+≥2;②|x+|≥2;③若0(A)②④ (B)①② (C)②③ (D)①②④
解析:利用基本不等式进行判断,并注意符号成立的条件.
①由于式子x+≥2中的x的取值范围没有规定,
故当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时等号成立;
当x<0时,x+=-[(-x)+]≤-2,
当且仅当x=-1时等号成立.故①不正确.
②因为x与同号,所以|x+|=|x|+≥2,
当且仅当|x|=1时等号成立,故②正确.
③中,当0④由③可知,④不正确.故选C.
7.(2016·浙江慈溪中学期中)已知正实数a,b满足+=3,则(a+1)(b+2)的最小值是( B )
(A) (B) (C) (D)6
解析:+=3?2a+b=3ab≥2?ab≥,因此(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×+2=,当且仅当2a=b=时,等号成立,故选B.
8.设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系是 (用“>”连接).?
解析:因为a>1,所以a2+1>2a>a+1,
所以loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a+1),
所以m>p>n.
答案:m>p>n
9.函数y=的值域为 .?
解析:当x>0时,y==.
因为x+≥2,
所以0<≤,
所以0当且仅当x=(x>0),即x=1时取等号;
当x<0时,x+≤-2,
所以-≤<0,
所以-1≤y<0,
当且仅当x=(x<0),即x=-1时取等号;
当x=0时,y=0.
综上可得,函数y=的值域为[-1,1].
答案:[-1,1]
10.已知向量a=(x,2),b=(1,y),其中x>0,y>0.若a·b=4,则+的最小值为 .?
解析:a·b=4,即x+2y=4,
于是+=(+)(x+2y)=(5++)≥(5+2)=,
当且仅当x=y=时等号成立.
答案:
11.要挖一个面积为432 m2的矩形鱼池,周围两侧留出宽分别为3 m(宽的两端)、4 m(长的两端)的堤堰,要想使占地总面积最小,此时鱼池的长为 ,宽为 .?
解析:设矩形鱼池的长为x m,则宽为 m,
占地面积y=(x+8)(+6)=+6x+480≥480+2≥768(当且仅当=6x,即x=24时取最小值).
此时宽为=18(m).
答案:24 m 18 m
12.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,
求证:++≥9.
证明:因为++=++=3+(+)+(+)+(+)≥3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c=时取等号,
所以++≥9.
13.已知a,b,c为不全相等的三个正数,
求证:++>3.
证明:++
=+++++-3
=(+)+(+)+(+)-3,
因为a,b,c都是正数,所以+≥2,
即+≥2, ①
同理可证:+≥2, ②
+≥2. ③
①②③式两边分别相加得
(+)+(+)+(+)≥6. ④
因为a,b,c不全相等,所以①②③不能同时取到等号,
所以④取不到等号,
所以(+)+(+)+(+)>6.
所以++>3.
14.设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0).
(1)若不等式f(x)>0的解集是(-1,3),求a,b的值;
(2)若f(1)=2,a>0,b>0,求+的最小值.
解:(1)由f(x)>0的解集是(-1,3)知-1,3是方程ax2+(b-2)x+3=0的两根,由根与系数的关系可得
解得
(2)由f(1)=2得a+b=1,
因为a>0,b>0,
所以+=(a+b)(+)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=,b=时等号成立.
所以+的最小值是9.
15.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么( A )
(A)ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
(B)ab≥c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
(C)ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
(D)ab≥c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
解析:因为正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,
所以4=a+b≥2,即ab≤4,
当且仅当a=b=2时,等号成立,
又4=cd≤()2,
所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时,等号成立.
综上,ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值都为2.
故选A.
16.若正数x,y满足3x+y=5xy,则4x+3y的最小值是( D )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:3x+y=5xy?+=5,4x+3y=(4x+3y)=(13++)≥(13+2)=5,
当且仅当y=2x时取等号,即4x+3y的最小值是5.故选D.
17.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④+≥2,对满足条件的a,b恒成立的是 .?
解析:因为ab≤()2=1,所以①正确;因为(+)2=a+b+2=2+2≤2+a+b=4,故②不正确;a2+b2≥=2,所以③正确;+==≥2,所以④正确.
答案:①③④
18.已知a>b,二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立.又存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,则的最小值为 .?
解析:因为二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,所以又存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,所以4-4ab≥0,故只有4-4ab=0,即a>0,a>b,ab=1,所以=a-b+=a-b+≥2,当且仅当a-b=时取等号.
答案:2
19.已知函数f(x)=lg x(x∈R+),若x1,x2∈R+,判断[f(x1)+f(x2)]与f()的大小,并加以证明.
解:[f(x1)+f(x2)]≤f().证明如下:
f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),
f()=lg ,
因为x1,x2∈R+,所以x1x2≤()2,
当且仅当x1=x2时取等号.
又f(x)=lg x在(0,+∞)上为增函数,
所以lg(x1x2)≤lg()2,
所以lg(x1x2)≤lg,
即[f(x1)+f(x2)]≤f().
课件27张PPT。3.4 基本不等式: ≤
第一课时 基本不等式课标要求:1.掌握基本不等式,明确基本不等式成立的条件.2.了解基本不等式的证明过程.3.会用基本不等式证明一些简单的不等式.4.能用基本不等式比较代数式的大小.自主学习知识探究1.重要不等式
对于任意实数a,b,有 ,当且仅当a=b时,等号成立.
证明:(a-b)2≥0?a2+b2-2ab≥0?a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.a2+b2≥2ab【知识拓展】 (1)重要不等式的实质是实数平方的非负性,不等式中a,b的取值既可以是某个具体的数,也可以是一个代数式.自我检测DD 3.设00,b>0.
(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,不妨运用基本不等式试试看.题型三 利用基本不等式证明不等式方法技巧 利用基本不等式证明不等式的条件要求:
(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.点击进入 课时作业谢谢观赏！第二课时 基本不等式的应用习题课
1.下列函数中最小值是4的是( C )
(A)y=x+ (B)y=sin x+
(C)y=21+x+21-x (D)y=x2++3,x≠0
解析:对于A,当x=-2时,y=-4,不符合题意;
对于B,当sin x=-1时,y=-5,不符合题意;
对于C,21+x>0,21-x>0,
所以y=21+x+21-x≥2=4,
当且仅当x=0时取等号;由于x2++3≥4,
当且仅当x=0时取等号,故D项不符合题意.故选C.
2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于( C )
(A)1+ (B)1+ (C)3 (D)4
解析:f(x)=x+=x-2++2.
因为x>2,
所以x-2>0.
所以f(x)=x-2++2≥2+2=4,
当且仅当x-2=,
即x=3时“=”成立.
又f(x)在x=a处取最小值.
所以a=3.故选C.
3.已知x>1,y>1且xy=16,则log2x·log2y( D )
(A)有最大值2 (B)等于4
(C)有最小值3 (D)有最大值4
解析:因为x>1,y>1,
所以log2x>0,log2y>0.
所以log2x·log2y≤()2=[]2=4,
当且仅当x=y=4时取等号.
故选D.
4.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是( D )
(A)(-∞,2] (B)[2,+∞)
(C)[3,+∞) (D)(-∞,3]
解析:由于x>1,
所以x-1>0,>0,
于是x+=x-1++1≥2+1=3,
当=x-1即x=2时等号成立,
即x+的最小值为3,要使不等式恒成立,应有a≤3,
故选D.
5.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是( B )
(A) (B) (C)4 (D)8
解析:因为x>0,y>0,且2x+y=1,所以xy=×2xy≤()2=,当且仅当2x=y>0,即x=,y=时取等号,此时,xy的最大值是.故选B.
6.若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( C )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:法一 因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+≥2=(当且仅当a=b=2时取等号),所以≥2.又a+b≥2(当且仅当a=b时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.
法二 因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b
=(a+b)(+)=2++≥2+2=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.
7.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( C )
(A) (B)2
(C)2 (D)4
解析:法一 由已知得+==,
且a>0,b>0,
所以ab=b+2a≥2,所以ab≥2.
法二 由题设易知a>0,b>0,
所以=+≥2,即ab≥2.故选C.
8.若实数x,y满足x2+y2=4,则S=的最小值是( C )
(A)-2 (B)-
(C)2-2 (D)2(1+)
解析:x2+y2=4?(x+y)2-2xy=4?2xy=(x+y)2-4=(x+y+2)·(x+y-2),
于是S===x+y+2,
而x2+y2=4?(x+y)2-4=2xy≤2·()2?-2≤x+y≤2?S∈[2-2,2+2],
当且仅当x2+y2=4,x=y,
即x=y=±时等号成立.
验证知x=y=-时,S取得最小值,最小值为2-2.
故选C.
9.已知x,y>0,且满足x+y=1,则+的最小值为 .?
解析:+=(+)(x+y)=1+4++≥5+2=9.
当且仅当
即x=,y=时取等号.
答案:9
10.设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为 .?
解析:法一 (+)2=a+b+4+2·≤9+2·=9+a+b+4=18,
所以+≤3,
当且仅当a+1=b+3,a+b=5,
即a=,b=时等号成立,
所以+的最大值为3.
法二 本题也可利用≤进行求解,
即≤=,
当且仅当=,a+b=5,
即a=,b=时等号成立,
所以+的最大值为3.
答案:3
11.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是 .?
解析:因为x>0,
所以=≤=.
所以要使≤a恒成立,只需a≥.
答案:[,+∞)
12.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=csin A,则的最大值为 .?
解析:由=,a=csin A,得sin C=1,
即△ABC是直角三角形,C为直角,于是a2+b2=c2,
从而==1+≤1+=2,
即≤,当且仅当a=b=c时等号成立.
答案:
13.(1)求函数y=的最小值;
(2)求函数f(x)=2x(5-3x),x∈(0,)的最大值.
解:(1)y===+,
令t=,则t∈[2,+∞),
所以y=t+,t∈[2,+∞).
易证y=t+在t∈[2,+∞)上为单调递增函数,
所以y≥2+=.故ymin=.
(2)因为x∈(0,),
所以2x>0,5-3x>0,
f(x)=2x(5-3x)=[]2
≤()2=.
当且仅当3x=5-3x,即x=∈(0,)时,等号成立,
故所求函数的最大值为.
14.已知x+y=-1,且x,y都是负数,求xy+的最小值.
解:法一 因为x,y都是负数,
所以-x>0,-y>0.
由x+y=-1,得
1=(-x)+(-y)≥2=2,
则0令xy=t,t∈(0,],则xy+=t+.
因为当t∈(0,]时,f(t)=t+为减函数,
所以当t=,
即x=y=-时,xy+存在最小值,
最小值为+=.
法二 设x=-sin2α(sin2α≠0),y=-cos2α(cos2α≠0),
则xy+=sin2αcos2α+
=sin22α+
=(sin22α+),
sin22α∈(0,1].
设sin22α=q,
因为f(q)=q+在q∈(0,1]上为减函数,
所以当q=1时,f(q)取得最小值.
所以xy+的最小值为(1+)=.
15.函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求+的最小值.
解:因为函数y=logax的图象恒过定点(1,0),
所以函数y=loga(x+3)-1的图象恒过定点(-2,-1),
所以-2m-n+1=0,即2m+n=1,
所以+=(+)(2m+n)=2+1++≥3+2,当且仅当m=,n=-1时取等号.
所以+的最小值为3+2.
16.在下列各函数中,最小值等于2的函数是( D )
(A)y=x+
(B)y=cos x+(0(C)y=
(D)y=ex+-2
解析:对于A,若x<0,则y<0,y的最小值不为2.
对于B,因为02.
对于C,由于≥>1,
所以y==+>2.
对于D,y=ex+-2≥2-2=2,
当且仅当x=ln 2时取“=”,所以ymin=2.故选D.
17.设a,b,c>0,若(a+b+c)·(+)≥k恒成立,则k的最大值是( D )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:要求k的最大值,即求(a+b+c)(+)的最小值.因为a,b,c>0,
所以(a+b+c)(+)=2++≥2+2=4,
当且仅当=时,等号成立.
因为(a+b+c)(+)≥k恒成立,所以k≤4,
所以k的最大值是4.故选D.
18.若x>1,则函数y=x++的最小值为 .?
解析:y=x++=x++≥2=8,当且仅当x=2+时,等号成立.
答案:8
19.设a+b=2,b>0,则当a= 时,+取得最小值.?
解析:因为a+b=2,所以+=+=++①.当a>0时,①变为++≥+1=,当且仅当b2=4a2,即b=2a时取等号.当a<0时,①变为-++≥-+1=,当且仅当b2=4a2,即b=-2a时取等号.因为>,所以a<0,且b=-2a,又a+b=2,所以a=-2.
答案:-2
20.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元.从第二年起,包括维修费在内,每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入为50万元.
(1)问捕捞几年后总盈利最大?最大是多少?
(2)问捕捞几年后的平均利润最大?最大是多少?
解:(1)设捕捞n年后的总盈利为y万元,则
y=50n-98-[12×n+×4]
=-2n2+40n-98
=-2(n-10)2+102,
所以捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.
(2)年平均利润为=-2(n+-20)
≤-2(2-20)=12,
当且仅当n=,即n=7时上式取等号.
所以,捕捞7年后的平均利润最大,最大是12万元.
课件29张PPT。第二课时 基本不等式的应用习题课课标要求:1.进一步熟练掌握基本不等式,能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.3.能够利用基本不等式解决一些不等式的恒成立问题.自主学习知识探究最值定理
设a,b均为正数.
(1)若a+b为定值S,则当a=b时,积ab取最大值 ;
(2)若ab为定值G,则当a=b时,和a+b取最小值 .自我检测D 2.设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值为( )
(A)400 (B)100
(C)40 (D)20AC4.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 件.?题型一 利用基本不等式求函数的最值课堂探究方法技巧 (1)利用基本不等式求最大值或最小值时应注意:
①x,y一定要都是正数;
②求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值;
③等号是否能够成立.
以上三点可简记为“一正,二定,三相等”.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项,添项,配凑,变形”等方法创建应用基本不等式的条件.题型二 利用基本不等式求代数式的最值方法技巧 (1)配凑法即通过对式子进行变形,配凑出满足基本不等式的条件.
(2)通过消元,化二元问题为一元问题,要注意被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响.题型三 基本不等式的实际应用【例3】 某市近郊有一块500 m×500 m的正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为3 000平方米,其中阴影部分为通道,通道宽度为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.(1)分别用x表示y和S的函数关系式,并给出定义域;(2)怎样设计能使S取得最大值,并求出最大值.方法技巧 在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最大值或最小值.
(4)回到实际问题中,结合实际意义写出正确的答案.即时训练3-1:用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的高为 m,宽为 m.?题型四 利用基本不等式求解恒成立问题方法技巧 a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max;a>f(x)恒成立?a>f(x)max;a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min;a