3.5 绝对值不等式
第一课时 绝对值不等式(1)
1.若|x-m|<ε,|y-m|<ε,则下列不等式中一定成立的是( B )
(A)|x-y|<ε (B)|x-y|<2ε
(C)|x-y|>2ε (D)|x-y|>ε
解析:|x-y|=|x-m-(y-m)|≤|x-m|+|y-m|<2ε.故选B.
2.如果a,b都是非零实数,则下列不等式中不成立的是( A )
(A)|a+b|>a-b (B)2≤|a+b|(ab>0)
(C)|a+b|≤|a|+|b| (D)｜+｜≥2
解析:令a=1,b=-1,则A不成立,B,C,D均恒成立.故选A.
3.函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为( A )
(A)2 (B) (C)4 (D)6
解析:y=|x-4|+|x-6|≥|x-4-(x-6)|=2.故最小值为2.故选A.
4.对于|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,下列结论正确的是( B )
(A)当a,b异号时,左边等号成立
(B)当a,b同号时,右边等号成立
(C)当a+b=0时,两边等号均成立
(D)当a+b>0时,右边等号成立;当a+b<0时,左边等号成立
解析:当a,b异号且|a|<|b|时左边等号不成立,A不正确,显然B正确;当a+b=0,且a,b不同为0时,右边等号不成立,C不正确,D显然不正确.故选B.
5.已知a,b,c∈R,且a>b>c,则有( D )
(A)|a|>|b|>|c| (B)|ab|>|bc|
(C)|a+b|>|b+c| (D)|a-c|>|a-b|
解析:因为a,b,c∈R,且a>b>c,令a=2,b=1,c=-6.
所以|a|=2,|b|=1,|c|=6,|b|<|a|<|c|,故排除A;
又|ab|=2,|bc|=6,|ab|<|bc|,故排除B;
又|a+b|=3,|b+c|=5,|a+b|<|b+c|,排除C;
而|a-c|=|2-(-6)|=8,|a-b|=1,
所以|a-c|>|a-b|.故选D.
6.已知函数f(x),g(x)(x∈R)且不等式|f(x)|+|g(x)|
0)的解集是M,不等式|f(x)+g(x)|(A)N?M (B)M=N
(C)M?N (D)以上都不对
解析:任意x0∈N有|f(x0)+g(x0)|根据|f(x)|+|g(x)|≥|f(x)+g(x)|,
因此|f(x0)|+|g(x0)|任意x0∈M有|f(x0)|+|g(x0)|根据|f(x)|+|g(x)|≥|f(x)+g(x)|有|f(x0)+g(x0)|7.不等式≤1成立的条件是( B )
(A)ab≠0 (B)a2+b2≠0
(C)ab≥0 (D)ab≤0
解析:因为|a+b|≤|a|+|b|,当|a|+|b|≠0时,≤1(*).因此(*)成立的条件是a≠0或b≠0,
即a2+b2≠0.故选B.
8.已知|x|<1,|y|<1,下列各式成立的是( D )
(A)|x+y|+|x-y|>2 (B)x2+y2<1
(C)x+y<1 (D)xy+1>x+y
解析:可用排除法.对于A选项,当x=y=0时,|x+y|+|x-y|>2不成立;
对于B选项,当x=y=时,x2+y2=1,
所以x2+y2<1不成立;
对于C选项,当x=y=时,x+y=1,
所以x+y<1不成立.
故选D.
9.|x+1|+|2-x|的最小值是 .?
解析:因为|x+1|+|2-x|≥|(x+1)+(2-x)|=3,
当且仅当(x+1)(2-x)≥0,即-1≤x≤2时,取等号.
因此|x+1|+|2-x|的最小值为3.
答案:3
10.不等式|x-1|-|x-2|解析:若使不等式|x-1|-|x-2|只需a>(|x-1|-|x-2|)max.
因为|x-1|-|x-2|≤|x-1-(x-2)|=1,
故a>1.
答案:(1,+∞)
11.设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是 .?
解析:因为|x-a|+|x-b|=|a-x|+|x-b|≥|(a-x)+(x-b)|=|a-b|>2,
所以|x-a|+|x-b|>2对x∈R恒成立,
故解集为(-∞,+∞).
答案:(-∞,+∞)
12.下列四个不等式:
①logx10+lg x≥2(x>1);
②|a-b|<|a|+|b|;
③｜+｜≥2(ab≠0);
④|x-1|+|x-2|≥1.其中恒成立的是 (把你认为正确的序号都填上).?
解析:logx10+lg x=+lg x≥2,①正确;
ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;
因为ab≠0时,与同号,
所以｜+｜=｜｜+｜｜≥2,③正确;
由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④正确.
综上可知①③④正确.
答案:①③④
13.设函数f(x)=｜x+｜+|x-a|(a>0),证明:f(x)≥2.
证明:由a>0,有f(x)=｜x+｜+|x-a|≥｜x+-(x-a)｜=+a≥2.
所以f(x)≥2.
14.求函数f(x)=|x-5|-|x+3|的最大值,并求出取最大值时x的范围.
解:f(x)=|x-5|-|x+3|≤|(x-5)-(x+3)|=8,
当x≤-3时,f(x)取得最大值8.
15.已知x,y∈R,且|x+y|≤,|x-y|≤,求证:|x+5y|≤1.
证明:|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|.
由绝对值不等式的性质,得|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|
=3|x+y|+2|x-y|≤3×+2×=1,即|x+5y|≤1.
16.设集合{x||x-3|-|x-4|>m}≠,则实数m的取值范围为( C )
(A)(1,+∞) (B)[1,+∞)
(C)(-∞,1) (D)(-∞,1]
解析:|x-3|-|x-4|≤|x-3-(x-4)|=1.集合非空即|x-3|-|x-4|>m有解,所以m<1.故选C.
17.不等式log3(|x-4|+|x+5|)>a对于一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .?
解析:由绝对值的几何意义知,|x-4|+|x+5|≥9,
则log3(|x-4|+|x+5|)≥2,
所以要使不等式log3(|x-4|+|x+5|)>a对于一切x∈R恒成立,则需a<2.
答案:(-∞,2)
18.若关于x的不等式|x-1|-|x+m|≥a有解时,实数a的最大值为5,则实数m的值为 .?
解析:设f(x)=|x-1|-|x+m|表示数轴上一点到1,-m对应点距离之差,若-m>1,m<-1,f(x)=|x-1|-|x+m|的最大值为-m-1,关于x的不等式|x-1|-|x+m|≥a有解,则a≤-m-1,实数a的最大值为5,则-m-1=5,m=-6;若-m<1,m>-1,f(x)=|x-1|-|x+m|的最大值为1+m,
关于x的不等式|x-1|-|x+m|≥a有解,则a≤1+m,实数a的最大值为5,则1+m=5,m=4;所以实数m的值为-6或4.
答案:-6或4
19.对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围.
解:因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,
所以|3a-3b|≤3,｜a-｜≤,
所以|4a-3b+2|=｜3a-3b+(a-)+｜≤|3a-3b|+｜a-｜+≤3++=6,
则|4a-3b+2|的最大值为6,
所以m≥|4a-3b+2|max=6,m的取值范围是[6,+∞).
课件27张PPT。3.5 绝对值不等式
第一课时 绝对值不等式(1)课标要求:1.掌握绝对值三角不等式的基本定理及其应用.2.会用绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的几何意义求最值.自主学习知识探究1.定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 时,等号成立.
几何解释:用向量a,b分别替换a,b.
(1)当a与b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义为 .
.
(2)若a,b共线,当a与b 时,|a+b|=|a|+|b|,当a与b 时,
|a+b|<|a|+|b|.
由于定理1与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.ab≥0三角形的两边之和大于第三边反向同向2.定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当 .
时,等号成立.
几何解释:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.当点B不在点A,C之间时:①点B在点A或点C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;②点B不在点A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.
应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.(a-b)(b-c)≥0自我检测B1.已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是( )
(A)|a+b|>|a-b| (B)|a+b|<|a-b|
(C)|a-b|<||a|-|b|| (D)|a-b|<|a|+|b|解析:因为ab<0,所以|a+b|<|a-b|.故选B.A2.若a,b∈R,则以下命题正确的是( )
(A)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
(B)|a|-|b|<|a-b|<|a|+|b|
(C)当且仅当ab>0时,|a+b|<|a-b|
(D)当且仅当ab≤0时,|a-b|=|a|-|b|解析:若a=1,b=-1,则B,D不正确.若a=b=1,则C不正确.故选A.3.若a,b,c∈R,且|a-c|<|b|,则正确的是( )
(A)|a|<|b|+|c| (B)|a|<|b|-|c|
(C)|a|>|b|+|c| (D)|a|>|b|-|c|A解析:因为||a|-|c||≤|a-c|<|b|,所以|a|-|c|<|b|,即|a|<|b|+|c|.故选A.4.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是 ,最小值是 .?解析:由定理得|a+b|≤|a|+|b|=5,当且仅当ab>0,即a=3,b=2或a=-3,
b=-2时等号成立.因为|a|最小为0,|b|最小为0,故|a+b|最小值为0.所以|a+b|的最大值是5,最小值是0.
答案:5 05.不等式|x-a|+|x-b|≥|a-b|中等号成立的条件是 .?解析:由定理2易知(a-x)(x-b)≥0时,等号成立.
答案:(a-x)(x-b)≥0题型一 利用绝对值三角不等式证明不等式课堂探究解:(1)由|a-b|>c及|b-c|由c-a<|c-a|知c-a<0,故c(A)|a+b|+|a-b|>2 (B)|a+b|+|a-b|<2
(C)|a+b|+|a-b|=2 (D)不可能比较大小解:(1)当(a+b)(a-b)≥0时,
|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2.
当(a+b)(a-b)<0时,
|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.故选B.题型二 利用绝对值三角不等式求最值【例2】 (1)函数y=|x+1|+|x-2|的最小值为 .?解析:(1)y=|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3,
所以y≥3.
所以函数的最小值为y=3,此时(x+1)(2-x)≥0,
即-1≤x≤2.
所以-1≤x≤2时,函数的最小值为3.答案:(1)3(2)若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .?解析:(2)设f(x)=|x-4|-|x-3|,
则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值.因为|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,
即f(x)max=1,
所以a≥1.
答案:(2)[1,+∞)方法技巧 (1)利用绝对值三角不等式求函数y=|f(x)|+|g(x)|的最小值,可利用|f(x)|+|g(x)|≥|f(x)+g(x)|或|f(x)+g(x)|≥|f(x)-g(x)|来求解,选择依据是看用哪个能消去变量x.此外,也可求y=|f(x)|-|g(x)|的最大值.
(2)求不等式恒有解时参数的取值范围,其原理是:若函数f(x)在D上存在最大值f(x)max(或最小值f(x)min),则对一切x∈D,不等式f(x)B)恒成立,当且仅当f(x)maxB).即时训练2-1:(1)若关于x的不等式|x-1|+|x+m|>3的解集为R,则实数m的取值范围是( )
(A)(-∞,-4)∪(2,+∞)
(B)(-∞,-4)∪(1,+∞)
(C)(-4,2)
(D)[-4,1]解析:(1)由于|x-1|+|x+m|>3表示数轴上的x对应点到1和-m的距离之和,它的最小值等于|1+m|,由题意可得|1+m|>3,解得m>2,或m<-4,故实数m的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).故选A.解析:(2)由题意得(|x-1|-|x-2|)max因为(|x-1|-|x-2|)max=2-1=1,
所以1解得实数a的取值范围为(-∞,-1)∪(0,+∞).故选D.(2)若关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1(x∈R)的解集为空集,则实数a的取值范围是( )
(A)(0,1) (B)(-1,0)
(C)(-∞,-1) (D)(-∞,-1)∪(0,+∞)题型三 绝对值三角不等式的综合考查方法技巧 (1)含绝对值不等式的证明,可考虑去掉绝对值符号,也可利用|a+b|≤|a|+|b|及推广形式|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|进行放缩.
(2)对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.应用绝对值不等式性质求函数的最值时,一定要注意等号成立的条件:当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|;当(a-b)(b-c)≥0时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.即时训练3-1:(1)对任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,则实数x的取值范围为 .?(2)当1≤x≤3时,|3a+2b|-|a-2b|≤|a|·(x+ +1)对任意实数a,b都成立,则实数的取值范围是 .?点击进入 课时作业谢谢观赏！第二课时 绝对值不等式(2)
1.不等式|x-2|<3的解为( B )
(A){x|x>5或x<-1} (B){x|-1(C){x|x<-1} (D){x|x>5}
解析:当x-2≥0时,原不等式化为x-2<3,
解得x<5,即2≤x<5,
当x-2<0时,原不等式化为-(x-2)<3,
解得x>-1,即-1综上可得,不等式的解集为{x|-12.不等式|x-2|>x-2的解集是( A )
(A)(-∞,2) (B)(-∞,+∞)
(C)(2,+∞) (D)(-∞,2)∪(2,+∞)
解析:因为|x-2|>x-2,所以x-2<0,所以x<2.故选A.
3.不等式3≤|5-2x|<9的解集为( D )
(A)[-2,1)∪[4,7) (B)(-2,1]∪(4,7]
(C)(-2,-1]∪[4,7) (D)(-2,1]∪[4,7)
解析:??
得(-2,1]∪[4,7).故选D.
4.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},集合B={x||2x-1|>3},则集合A∩B等于( C )
(A){x|2≤x≤3} (B){x|2≤x<3}
(C){x|2解析:A={x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1}.
所以A∩B={x|25.已知|x-a|(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由|x-a|由已知得解得a=3.故选C.
6.不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是( D )
(A)[-5,7] (B)[-4,6]
(C)(-∞,-5]∪[7,+∞) (D)(-∞,-4]∪[6,+∞)
解析:当x≤-3时,|x-5|+|x+3|=5-x-x-3=2-2x≥10,即x≤-4,所以x≤-4.当-37.若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a等于( C )
(A)8 (B)2 (C)-4 (D)-8
解析:由|ax+2|<6?-8当a>0时,-因为解集是(-1,2),
所以不存在;
当a<0时,由?a=-4.故选C.
8.设集合S={x||x-1|+|x+2|>5},T={x||x-a|≤4},S∪T=R,则a的取值范围为( B )
(A)(-∞,-2]∪[1,+∞) (B)[-2,1]
(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析:S={x|x<-3或x>2},T=[a-4,a+4],
所以?-2≤a≤1.故选B.
9.不等式|2x-1|-x<1的解集是 .?
解析:|2x-1|-x<1?|2x-1|或?0答案:(0,2)
10.不等式｜｜<1的解集为 .?
解析:因为x≠0,所以|x+2|<|x|,
即(x+2)2所以原不等式的解集为{x|x<-1}.
答案:{x|x<-1}
11.若不等式|x+1|+|x-2|解析:对于任意的x∈R都有|x+1|+|x-2|≥3.
即|x+1|+|x-2|的最小值为3,
所以若不等式|x+1|+|x-2|则a≤3,
所以a的取值范围是(-∞,3].
答案:(-∞,3]
12.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1(x∈R)的解集为 .?
解析:由||x-2|-1|≤1,得-1≤|x-2|-1≤1,
即0≤|x-2|≤2,
所以-2答案:[0,4]
13.设函数f(x)=|kx-1|(k∈R).
(1)若不等式f(x)≤2的解集为{x|-≤x≤1},求k的值;
(2)若f(1)+f(2)<5,求k的取值范围.
解:(1)由|kx-1|≤2,得-2≤kx-1≤2,
即-1≤kx≤3,所以-≤x≤1,
由已知,得=1,所以k=3.
(2)由已知,得|k-1|+|2k-1|<5.
当k≤时,-(k-1)-(2k-1)<5,
得k>-1,此时-1当此时当k>1时,(k-1)+(2k-1)<5,
得k<,此时1综上,k的取值范围是(-1,).
14.设函数f(x)=|2x-1|-|x+4|.
(1)解不等式:f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x+4|≥|a-1|对一切实数x均成立,求a的取值范围.
解:(1)原不等式即为|2x-1|-|x+4|>0,
当x≤-4时,不等式化为1-2x+x+4>0,
解得x<5,
即不等式组的解集是{x|x≤-4}.
当-40,
解得x<-1,即不等式组的解集是{x|-4当x≥时,不等式化为2x-1-x-4>0,
解得x>5,
即不等式组的解集是{x|x>5}.
综上,原不等式的解集为{x|x<-1或x>5}.
(2)因为f(x)+3|x+4|=|2x-1|+2|x+4|=|1-2x|+|2x+8|≥|(1-2x)+(2x+8)|=9.
所以由题意可知|a-1|≤9,
解得-8≤a≤10,
故a的取值范围是[-8,10].
15.已知函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为a.
(1)求实数a的值;
(2)解不等式f(x)≤5.
解:(1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a,
从而解得a=2.
(2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|=
故当x≤2时,令-2x+6≤5,得≤x≤2,
当2当x>4时,令2x-6≤5,得4故不等式f(x)≤5的解集为{x｜≤x≤}.
16.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为(-,),则t的值为( A )
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)2
解析:|2x-t|<1-t,t-1<2x-t<1-t,2t-1<2x<1,t-选A.
17.关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为{x|15的解为( C )
(A)(-1,4)
(B)(-4,1)
(C)(-∞,-4)∪(1,+∞)
(D)(-∞,-1)∪(4,+∞)
解析:因为关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为{x|15化为|2x+3|>5,
可得2x+3>5或2x+3<-5,解得x>1或x<-4,即不等式|bx+a|>5的解为(-∞,-4)∪(1,+∞).故选C.
18.已知不等式|x-2|<|x|的解集为(,+∞).若不等式a-5<|x+1|-|x-m|解析:不等式|x-2|<|x|的解集为(1,+∞),故m=2,
不等式|x+1|-|x-m|可化为|x+1|-|x-2|,
令f(x)=|x+1|-|x-2|,
则f(x)=|x+1|-|x-2|=
所以当x∈(0,+∞)时,-1不等式a-5<|x+1|-|x-m|所以1所以实数a的取值范围为(1,4].
答案:(1,4]
19.设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0).
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求实数a的取值范围.
(1)证明:a>0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|(x+)-(x-a)|=a+≥2,当且仅当a=1时取等号,
所以f(x)≥2.
(2)解:由于f(3)=|3+|+|3-a|,
当a>3时,有f(3)=a+<5,
解得3当0解得综上,实数a的取值范围是(,).
课件31张PPT。第二课时 绝对值不等式(2)课标要求:会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式.自主学习知识探究1.形如|x|a型不等式的解法2.形如|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
只需将ax+b看成一个整体,即化成|x|≤a,|x|≥a(a>0)型不等式求解.
|ax+b|≤c(c>0)型不等式的解法:先化为 ,再由不等式的性质求出原不等式的解集,
不等式|ax+b|≥c(c>0)的解法:先化为 或 ,再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集.-c≤ax+b≤cax+b≥cax+b≤-c3.形如|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点的距离;|x-a|±|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a,b的点的距离之和(差).形如|x-a|<|x-b|、|x-a|>|x-b|(a≠b)型的不等式可通过两边平方去绝对值符号的方法求解.
(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式取值的正、负性,进而去掉绝对值符号是解题关键.
(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键.自我检测A1.不等式|x2-x|<2的解集为( )
(A)(-1,2) (B)(-1,1)
(C)(-2,1) (D)(-2,2)B3.不等式|x+1|+|x-4|≥7的解集是( )
(A)(-∞,-3]∪[4,+∞) (B)[-3,4]
(C)(-∞,-2]∪[5,+∞) (D)[-2,5]C解析:当x<-1时,-x-1-x+4≥7,得x≤-2,当-1≤x<4时,x+1-x+4≥7,不成立,当x≥4时,x+1+x-4≥7,得x≥5,综上:不等式的解集为{x|x≤-2或x≥5}.故选C.4.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是 .?解析:若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,
只需|x-a|+|x-1|的最小值满足不大于3.在数轴上,|x-a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A的距离,|x-1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离,所以(|PA|+|PB|)min=|a-1|,从而|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.
答案:-2≤a≤4题型一 |ax+b|≤c与|ax+b|≥c(c>0)型的不等式的解法课堂探究【例1】 解下列关于x的不等式:
(1)|5x-2|≥8;(2)2≤|x-2|≤4;(3)ax+|x+1|≤1(-10时,|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c,|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c.②当c=0时,|ax+b|≥c的解集为R,|ax+b|(1)|3-2x|<9;解:(1)因为|3-2x|<9,所以|2x-3|<9.
所以-9<2x-3<9.
即-6<2x<12.
所以-3所以原不等式的解集为{x|-3x2-3x-4;(3)|x2-3x-4|>x+1.解:(3)不等式可转化为x2-3x-4>x+1或x2-3x-4<-x-1,所以x2-4x-5>0或x2-2x-3<0.
解得x>5或x<-1或-1所以不等式的解集是(5,+∞)∪(-∞,-1)∪(-1,3).题型二 |x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法【例2】 解不等式:
(1)|2x+1|-2|x-1|>0;(2)|x+3|-|2x-1|< +1.方法技巧 (1)用零点分段法画出分段函数的图象,结合图象的直观性求出不等式的解集,体现数形结合思想的应用.
(2)解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,零点分段法操作程序是:找零点,分区间,分段讨论.此外还常利用绝对值的几何意义求解.即时训练2-1:(1)解关于x的不等式:|2x-1|+|3x+2|<11.(2)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
①证明:-3≤f(x)≤3;②求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.题型三 含绝对值不等式的综合问题【例3】已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,函数g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)(1)分离参数法:运用“f(x)≤a?f(x)max≤a,f(x)≥a?f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.
(2)更换主元法:不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简便的解法.
(3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观地解决问题.即时训练3-1:设有关于x的不等式lg(|x+3|+|x-7|)>a.
(1)当a=1时,解此不等式;?解:(1)当a=1时,
lg(|x+3|+|x-7|)>1?|x+3|+|x-7|>10,
?x>7或x<-3.
所以不等式的解集为{x|x<-3或x>7}(2)当a为何值时,此不等式的解集是R?解:(2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,
则有f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,
当且仅当(x+3)(x-7)≤0,
即-3≤x≤7时,f(x)取得最小值10.
所以lg(|x+3|+|x-7|)≥1.
要使lg(|x+3|+|x-7|)>a的解集为R,只要a<1.点击进入 课时作业点击进入 周练卷(六)谢谢观赏！