人教A版高中数学必修五 第三章　不等式　检测试题

第三章　不等式　检测试题
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.若<<0,则下列结论正确的是(　A　)
(A)a>b (B)ab(C)+<-2 (D)a2>b2
解析:因为<<0,所以b故选A.
2.不等式(-x)(+x)<0的解集为(　A　)
(A)(-∞,-)∪(,+∞)
(B)(-,)
(C)(-∞,-)∪(,+∞)
(D)(-,)
解析:不等式(-x)(+x)<0,
即不等式(x-)(x+)>0,
解得x<-或x>,
故不等式的解集为(-∞,-)∪(,+∞),
故选A.
3.若点(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动,则t=x-y的取值范围是(　C　)
(A)[-2,-1] (B)[-2,1]
(C)[-1,2] (D)[1,2]
解析:先根据约束条件画出可行域,
如图阴影部分.
由得B(2,0),
由得A(0,1),
当直线t=x-y过点A(0,1)时,t最小,tmin=-1,
当直线t=x-y过点B(2,0)时,t最大,tmax=2,
则t=x-y的取值范围是[-1,2].
故选C.
4.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是(　C　)
(A) (B) (C)2 (D)
解析:由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2·(2x)·(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),所以12xy+3xy≤30,即xy≤2,所以xy的最大值为2.故选C.
5.若关于x的不等式x2+px+q<0的解集为{x|10的解集是(　D　)
(A)(1,2)
(B)(-∞,-1)∪(6,+∞)
(C)(-1,1)∪(2,6)
(D)(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)
解析:由题知x2+px+q=(x-1)(x-2),
故>0,
同解于(x-1)(x-2)(x+1)(x-6)>0,
得x<-1,或16.
故选D.
6.已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|,则不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为(　A　)
(A)[5-,6] (B)[5-,5+]
(C)[-1,5-] (D)[6,5+]
解析:当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15?x2-8x+18≤0?(x-4)2+2≤0,无解,
所以f(x)≥x2-8x+15的解集为空集;
当2所以f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5};
当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15?x2-8x+12≤0?2≤x≤6,
所以f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.
综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.
故选A.
7.若f(x)=|2x-1|+x+3,且f(x)≤5,则x的取值范围是(　C　)
(A)(-1,1) (B)[-1,1) (C)[-1,1] (D)(-1,1]
解析:f(x)≤5,即|2x-1|+x+3≤5,
即|2x-1|≤2-x,
即x-2≤2x-1≤2-x,解得-1≤x≤1.故选C.
8.若变量x,y满足约束条件且z=3x+y的最小值为-8,则k等于(　C　)
(A)3 (B)-3 (C)2 (D)-2
解析:目标函数z=3x+y的最小值为-8,
所以y=-3x+z,要使目标函数z=3x+y的最小值为-1,
则平面区域位于直线y=-3x+z的右上方,
即3x+y=-8,作出不等式组对应的平面区域如图,
则目标函数经过点A时,目标函数z=3x+y的最小值为-8,
由
解得
即A(-2,-2),同时A也在直线y+k=0上,
即-2+k=0,
解得k=2,故选C.
9.已知f(x)=a|x-2|,若f(x)(A)a≤-1 (B)-2(C)0解析:依题意,f(x)=易知当a≥0时,f(x)10.设M=a+(2(A)M>N (B)M(C)M≥N (D)M≤N
解析:因为M=a+=a-2++2,
而0所以M>(3-2)++2=4;
又0所以0≤()2=4.
所以M>N.故选A.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)
11.若实数x,y满足约束条件已知点(x,y)所表示的平面区域为三角形,则实数k的取值范围为　　　　,若z=x+2y有最大值8,则实数k=　　　　.?
解析:作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,要想点(x,y)所表示的平面区域为三角形,
则B(2,2)必须在直线2x-y=k的右下方,即2×2-2>k,则k<2,即实数k的取值范围为(-∞,2);
观察图象可知,当直线z=x+2y过点A时,z有最大值,联立解得即A(,),
代入z=x+2y中,即+2·=8,
解得k=-4.
答案:(-∞,2)　-4
12.不等式>0的解集是　　　　.?
解析:原不等式等价于或?解集为{x|x>3或-3答案:{x|x>3或-313.设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为　　　　.?
解析:设=m,=n,则m,n均大于零,
因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2,
所以m+n≤·,
所以+≤·=3,
当且仅当=,即a=,b=时“=”成立,
所以所求最大值为3.
答案:3
14.已知函数f(x)=-+,若f(x)+2x≥0在(0,+∞)上恒成立,则a的取值范围是　　　　　　　　.?
解析:因为f(x)+2x=-++2x≥0在(0,+∞)上恒成立,
即≤2(x+)在(0,+∞)上恒成立,
因为2(x+)≥4,
当且仅当x=1时等号成立.
所以≤4,
解得a<0或a≥.
答案:(-∞,0)∪[,+∞)
15.已知log2(x+y)=log 2x+log2 y,则+=　　　　,x+2y的最小值为　　　　.?
解析:由log2(x+y)=log2 x+log2 y得,
x+y=xy且x>0,y>0,
所以+=1.
x+2y=(x+2y)(+)
=3++
≥3+2
=3+2,
当且仅当=,
即x=1+,y=时取等号.
答案:1　3+2
16.规定一种运算:a?b=+a+b(a,b为正实数).若1?k=3,则k的值为　　　　,此时函数f(x)=的最小值为　　　　.?
解析:1?k=+1+k=3,即k+-2=0,
所以=1或=-2(舍去),
所以k=1,
f(x)===1++≥1+2=3,
当且仅当x=1时取“=”.
答案:1　3
17.如果实数x,y满足则的取值范围是　　　　,z=的最大值为　　　　.?
解析:画出可行域如图,
A(,),B(3,6),C(3,1),
的几何意义是区域上的点与坐标原点连线的斜率,
所以kOC≤≤kAB,
即≤≤2.
因为z==+=+k在[,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
所以当k=时,有zmax=.
答案:[,2]　
三、解答题(本大题共5小题,共74分)
18.(本小题满分14分)
解关于x的不等式x2-x-a(a-1)>0.
解:原不等式可化为(x-a)(x+a-1)>0,
对应方程的根为x1=a,x2=1-a.
当a<时,有a<1-a,解得x1-a;
当a=时,a=1-a得x∈R且x≠;
当a>时,a>1-a,解得x<1-a或x>a.
综上可得
当a<时,原不等式的解集为(-∞,a)∪(1-a,+∞);
当a=时,原不等式的解集为(-∞,)∪(,+∞);
当a>时,原不等式的解集为(-∞,1-a)∪(a,+∞).
19.(本小题满分15分)
某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,经营中,第一年支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元,设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年总收入-前n年的总支出-投资额72万元).
(1)该厂从第几年开始盈利?
(2)该厂前几年平均纯利润达到最大?并求出年平均纯利润的最大值.
解:(1)依题意,根据f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元,
可得f(n)=50n-[12n+×4]-72
=-2n2+40n-72,
由f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2由于n∈N*,故从第三年开始盈利.
(2)年平均纯利润为
=-2n+40-=40-2(n+),
因为n+≥12,
所以=40-2(n+)≤16,
当且仅当n=6时等号成立,此时年平均纯利润最大值为16万元,
即前6年投资商年平均纯利润达到最大,年平均纯利润最大值
为16万元.
20.(本小题满分15分)
设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果任意x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.
解:(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|.
由f(x)≥3得|x-1|+|x+1|≥3.
①当x≤-1时,不等式化为1-x-1-x≥3,即-2x≥3.
不等式组的解集为(-∞,-].
②当-1③当x>1时,不等式化为x-1+x+1≥3,即2x≥3.
不等式组的解集为[,+∞).
综上得,f(x)≥3的解集为(-∞,-]∪[,+∞).
(2)若a=1,f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.
若a<1,f(x)=
f(x)的最小值为1-a.
若a>1,f(x)=
f(x)的最小值为a-1.
所以任意x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,从而a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).
21.(本小题满分15分)
若+=,且a>0,b>0,求a3+b3的最小值.
解:因为a>0,b>0,
所以+≥,
又因为+=,所以ab≥2,当且仅当a=b=时取等号.
所以a3+b3≥2≥4,当且仅当a=b=时取等号.
所以a3+b3的最小值为4.
22.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x∈(-2,6)时,其值为正,而当x∈
(-∞,-2)∪(6,+∞)时,其值为负.
(1)求实数a,b的值及函数f(x)的解析式;
(2)设F(x)=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k取何值时,函数F(x)的值恒为负值?
解:(1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根,
所以
所以
所以f(x)=-4x2+16x+48.
(2)F(x)=-(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)
=kx2+4x-2.
当k=0时,F(x)=4x-2不恒为负值;
当k≠0时,若F(x)的值恒为负值,
则有
解得k<-2.
即当k<-2时,函数F(x)的值恒为负值.